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多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用設(shè)空間曲線的方程(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).一、空間曲線的切線與法平面;),,,(0000ttzyxM=對(duì)應(yīng)于設(shè).),,(0000tttzzyyxxMD+=D+D+D+￠對(duì)應(yīng)于考察割線趨近于極限位置——切線的過(guò)程上式分母同除以割線的方程為曲線在M處的切線方程切向量：切線的方向向量稱(chēng)為曲線的切向量.法平面：過(guò)M點(diǎn)且與切線垂直的平面.,0,時(shí)即當(dāng)?D?￠tMM例1

求曲線,,,32tztytx===在點(diǎn)處的(1,1,1)切線與法平面方程。解因?yàn)?3=,2=,1=2tztyxttt而點(diǎn)(1,1,1)對(duì)應(yīng)的參數(shù),1=t所以

)3,2,1(=T

于是，切線方程為

,312111-=-=-zyx法平面方程為

6=3+2+zyx

1.空間曲線方程為法平面方程為特殊地：切線方程為,),,(000處在zyxM2.空間曲線方程為切線方程為法平面方程為例2求曲線6222=++zyx，0=++zyx在點(diǎn))1,2,1(-處的切線及法平面方程.解1直接利用公式;解2

將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)并移項(xiàng)，得所求切線方程為法平面方程為由此得切向量令則切平面方程為由于曲線是曲面上通過(guò)M的任意一條曲線，M的切線都與同一向量nr垂直，故曲面上通過(guò)M的一切曲線在點(diǎn)M的切線都在同一平面上，這個(gè)平面稱(chēng)為曲面在點(diǎn)M的切平面.它們?cè)谠O(shè)曲面方程為曲線在M處的切向量在曲面上任取一條通過(guò)點(diǎn)M的曲線二、曲面的切平面與法線法線方程為曲面在M處的法向量即垂直于曲面上切平面的向量稱(chēng)為曲面的法向量.

通過(guò)點(diǎn)而垂直于切平面的直線),,(000zyxM稱(chēng)為曲面在該點(diǎn)的法線.特殊地：空間曲面方程形為曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量因?yàn)榍嬖贛處的切平面方程為全微分的幾何意義的全微分在點(diǎn)函數(shù)),(),(00yxyxfz=),(yxfz=在),(00yx的全微分，表示曲面),(yxfz=在點(diǎn)),,(000zyx處的切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量其中

若a、b、g表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它與z軸的正向所成的角g是銳角，則法向量的方向余弦為解切平面方程為法線方程為例3求旋轉(zhuǎn)拋物面122-+=yxz在點(diǎn))4,1,2(處的切平面及法線方程.解令切平面方程法線方程14222=++zyx例4求球面在處的切平面及法線

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