陜西省石泉縣高中數學第一章計數原理1.5.2二項式系數的性質教學設計北師大版選修2-3主備人備課成員教材分析哎呀，同學們，咱們今天要學習的是第一章的計數原理，重點落在1.5.2這個部分，就是“二項式系數的性質”。這可是北師大版選修2-3里的重要內容哦！咱們要一起探索二項式系數的秘密，看看它有哪些神奇的性質，這可是在數學世界里的大發現呢！??核心素養目標學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：

同學們在之前的學習中，已經接觸過組合數和排列數的概念，對二項式定理也有一定的了解。這意味著他們對計數原理有一定的認識基礎，能夠理解基本的數學符號和公式。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

咱們班的學生對數學普遍抱有濃厚的興趣，尤其是對那些能揭示事物內在規律的數學問題。他們在解決問題時，既有較強的邏輯思維能力，也有一定的動手操作能力。在學習風格上，有的同學喜歡通過圖形來理解抽象概念，有的則更傾向于通過公式推導來掌握知識。

3.學生可能遇到的困難和挑戰：

部分同學在理解二項式系數的性質時可能會感到困難，因為這部分內容涉及到了組合數學的深入探討。此外，對于一些抽象的數學概念，如組合數的遞推關系，部分同學可能難以從直觀上理解。同時，學生在應用二項式系數的性質解決實際問題的時候，可能會遇到如何選擇合適的公式和如何處理復雜問題的情況。這些都是我們需要在教學過程中特別關注和引導的地方。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學資源-多媒體教學設備：電腦、投影儀、電子白板

-教學軟件：數學教學軟件、幾何畫板

-課程平臺：學校內部教學平臺

-信息化資源：二項式系數性質相關的教學視頻、在線習題庫

-教學手段：實物教具（如骰子、撲克牌等用于演示組合情況）、黑板、粉筆教學流程1.導入新課

詳細內容：

-首先回顧上一節課的內容，提問學生對于二項式定理的掌握情況。

-展示一些生活中常見的組合現象，如撲克牌游戲、體育比賽等，引發學生對組合數應用的興趣。

-提出問題：“如何計算在一定條件下的事件發生的可能性？”以此引出本節課的主題——二項式系數的性質。

用時：5分鐘

2.新課講授

詳細內容：

-第一條：介紹二項式系數的定義，展示其與組合數的關聯。

-展示例子：計算組合數\(C_n^k\)，讓學生觀察二項式系數的排列規律。

-提問學生：如何計算\(C_n^k\)？引導學生使用組合數的性質進行計算。

-第二條：講解二項式系數的性質，如對稱性、遞推關系等。

-展示例子：計算\(C_n^k\)和\(C_n^{n-k}\)的關系，讓學生發現對稱性。

-提問學生：如何根據\(C_n^k\)的遞推關系計算\(C_{n+1}^k\)？

-第三條：應用二項式系數的性質解決實際問題。

-展示例子：計算某次考試的及格人數可能性，引導學生將實際問題轉化為二項式系數的計算。

-提問學生：如何根據實際情況選擇合適的二項式系數性質進行計算？

用時：20分鐘

3.實踐活動

詳細內容：

-第一條：分組進行小組練習，讓學生應用二項式系數的性質解決實際問題。

-每組發放練習題，包括計算題和應用題，讓學生在規定時間內完成。

-巡視指導，解答學生疑問，確保每個學生都能跟上進度。

-第二條：展示學生的練習成果，分享解題思路和方法。

-每組選派代表展示解題過程，其他學生進行點評和補充。

-老師點評，總結解題要點，強調二項式系數性質的應用。

-第三條：組織課堂討論，讓學生探討二項式系數性質在其他數學領域的應用。

-提出問題：“二項式系數的性質在概率論、統計學等領域有哪些應用？”

-引導學生思考，激發他們對數學知識的探究欲望。

用時：10分鐘

4.學生小組討論

詳細內容：

-第一方面：討論如何將實際問題轉化為二項式系數的計算問題。

-舉例回答：如計算在一次投籃中命中目標的概率，可以將投籃次數視為試驗次數，命中次數視為成功次數，從而將問題轉化為二項式系數的計算。

-第二方面：討論二項式系數的性質在實際生活中的應用。

-舉例回答：如計算生日悖論中的概率問題，利用二項式系數的性質可以快速計算出在多少人中至少有兩個人生日相同的概率。

-第三方面：討論如何將二項式系數的性質與其他數學知識相結合。

-舉例回答：如將二項式系數的性質與二項式定理結合，推導出二項式定理的證明過程。

用時：10分鐘

5.總結回顧

內容：

-回顧本節課所學的二項式系數的性質，強調其在數學學習和實際問題中的應用價值。

-總結學生在實踐活動中的表現，指出優點和不足，鼓勵學生繼續努力。

-布置課后作業，鞏固所學知識，布置思考題，引導學生思考二項式系數性質在更廣泛領域的應用。

用時：5分鐘

總用時：45分鐘教學資源拓展1.拓展資源：

-二項式定理的應用：介紹二項式定理在物理、化學、生物等學科中的應用實例，如氣體分子的分布、化學反應的平衡常數計算等。

-組合數學的實際應用：介紹組合數學在計算機科學、密碼學、經濟學、社會學等領域的應用，如組合優化問題、數據加密、市場分割策略等。

-排列組合在實際生活中的應用：通過案例展示排列組合在日常生活中如何幫助我們解決問題，如旅游路線設計、廣告宣傳效果評估等。

2.拓展建議：

-鼓勵學生閱讀有關組合數學和二項式定理的科普書籍，如《數學之美》、《數學的樂趣》等，以拓寬他們的數學視野。

-建議學生利用網絡資源，如數學論壇、教育網站等，尋找與二項式系數性質相關的討論和解答，提高他們的自學能力。

-推薦學生參加數學競賽或挑戰，如美國數學競賽（AMC）、國際數學奧林匹克（IMO）等，通過實戰演練提升解題技巧。

-鼓勵學生參與數學研究項目，與教師或同學合作，探討二項式系數性質在特定領域的應用，培養他們的科研興趣和能力。

-建議學生通過實驗探究二項式系數的性質，如設計實驗驗證二項式系數的遞推關系，增強他們的實踐操作能力。

-建議學生利用編程語言（如Python、MATLAB等）對二項式系數的性質進行模擬和分析，提高他們的計算機應用能力。

-鼓勵學生參加數學俱樂部或社團，與志同道合的同學一起學習交流，共同進步。課堂1.課堂評價

-提問：在課堂教學中，我會通過提問的方式來檢驗學生對二項式系數性質的理解程度。例如，我會問：“誰能解釋一下二項式系數的對稱性是如何體現的？”通過學生的回答，我可以了解他們對這一性質的理解是否準確。

-觀察：我會仔細觀察學生在課堂上的參與度，比如他們是否能夠積極回答問題，是否能夠獨立完成練習題，以及他們是否能夠與其他同學進行有效的合作。

-測試：在課程結束后，我會設計一些小測驗來評估學生對二項式系數性質的記憶和應用能力。這些測試可以是選擇題、填空題或簡答題，旨在檢驗學生對知識點的掌握情況。

-舉例：在講解完二項式系數的遞推關系后，我會讓學生嘗試自己推導\(C_{n+1}^k\)的表達式，并觀察他們的推導過程。如果學生能夠正確推導出公式，那么說明他們對這一性質的理解是扎實的。

2.作業評價

-批改：我會對學生的作業進行認真批改，確保每個學生的作業都得到了細致的反饋。在批改過程中，我會注意學生的解題思路是否清晰，計算是否準確，以及他們是否能夠靈活運用所學知識解決實際問題。

-點評：在作業的評語中，我會針對學生的具體表現進行點評，既指出他們的優點，也指出需要改進的地方。例如，如果學生在應用二項式系數的性質解決實際問題時出現錯誤，我會指出錯誤的原因，并提供正確的解題方法。

-反饋：我會及時將作業批改結果反饋給學生，讓他們知道自己的學習效果，并鼓勵他們在接下來的學習中繼續努力。對于表現優異的學生，我會給予表揚，以增強他們的學習動力；對于表現不佳的學生，我會提供個性化的輔導，幫助他們克服學習中的困難。

-舉例：在作業中，我會要求學生計算一個具體的二項式系數問題，并解釋他們的解題過程。例如，計算\(C_5^2\)的值，并說明如何使用二項式系數的性質來簡化計算。在批改作業時，我會檢查學生是否正確應用了組合數的遞推關系，以及他們是否能夠解釋自己的計算步驟。板書設計①知識點

-二項式系數的定義

-組合數的性質：對稱性、遞推關系

-二項式定理及其應用

②詞句

-“二項式系數”的定義：從n個不同元素中，任取r個元素的組合數記作\(C_n^r\)或\(\binom{n}{r}\)。

-“對稱性”表述：\(C_n^k=C_n^{n-k}\)。

-“遞推關系”表述：\(C_{n+1}^k=C_n^{k}+C_n^{k-1}\)。

③知識點

-二項式定理的表達式

-二項式定理的證明思路

-二項式定理在解決問題中的應用

②詞句

-“二項式定理”表達式：\((a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k\)。

-“證明思路”概述：利用數學歸納法證明二項式定理。

-“應用實例”舉例：計算多項式展開的特定項的系數。典型例題講解例題1：計算\(C_5^2\)的值。

解答：根據組合數的定義，\(C_5^2\)表示從5個不同元素中取出2個元素的組合數。根據組合數的計算公式，我們有：

\[C_5^2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\]

例題2：證明\(C_n^k=C_n^{n-k}\)。

解答：根據組合數的定義，我們有：

\[C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]

\[C_n^{n-k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}\]

由于\(n!=n\times(n-1)!\)，我們可以將\(C_n^k\)和\(C_n^{n-k}\)中的\(n!\)相消，得到：

\[C_n^k=C_n^{n-k}\]

例題3：計算\((2x+3y)^4\)展開后\(x^3y\)的系數。

解答：根據二項式定理，\((2x+3y)^4\)的展開式中\(x^3y\)的系數為\(C_4^1\times2^3\times3^1\)。計算如下：

\[C_4^1\times2^3\times3^1=4\times8\times3=96\]

因此，\(x^3y\)的系數為96。

例題4：在5個人中選出3個人擔任隊長、副隊長和隊員，有多少種不同的組合方式？

解答：這是一個排列問題，因為隊長的角色和副隊長的角色是不同的。我們需要計算\(A_5^3\)的值。計算如下：

\[A_5^3=5\times4\times3=60\]

因此，有60種不同的組合方式。

例題5：在一個班級中，有10名男生和15名女生，要從中選出5名學生參加比賽，至少要有2名女生參加，有多少種不同的組合方式？

解答：這是一個組合問題，我們需要計算在至少有2名女生參加的情況下，所有可能的組合方式。可以分為以下三種情況：

-2名女生和3名男生

-3名女生和2名男生

-4名女生和1名男生

計算每種情況的組合數，然后相加：

\[C_15^2\timesC_{10}^3+C_{15}^3\timesC_{10}^2+C_{15}^4\timesC_{10}^1\]

\[=\frac{15\times14}{2\times1}\times\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}+\frac{15\times14\times13}{3\t