阿克蘇市實驗中學2024—2025學年第二學期高一年級第一次月考數學試卷一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.化簡得（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的加法、減法法則求解.【詳解】.故選：A2.已知，，，則實數（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據共線向量的坐標表示即可求得結果.【詳解】已知，，所以，解得：故選：B3.在中，點在線段上，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據給定條件，利用向量的線性運算求解即得.【詳解】在中，由，得，則，所以.故選：A4.在△ABC中，，，，則（）A.12 B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量數量積的定義求解.【詳解】△ABC中，，，，與的夾角為角的補角，則.故選：C5.已知向量，且，則（）A.2 B. C. D.10【答案】C【解析】【分析】先根據向量垂直得向量數量積為零，解得值，再根據向量的模坐標表示得結果.【詳解】因此故選:C.6.中，角所對的邊分別為，若，則（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可得，再由邊角關系確定角的大小即可.【詳解】由題意，在中，則，所以，因為，所以或，又，所以．故選：A7.在中，若，，，則c的值為（）A.1 B.4 C.1或4 D.無解【答案】B【解析】【分析】根據題意和余弦定理計算即可得出結果.【詳解】由題意知，，由余弦定理，得，即，整理，得，由，解得.故選：B.8.如圖，某船在A處看見燈塔P在南偏東15°方向，后來船沿南偏東45°的方向航行30km后，到達B處，看見燈塔P在船的西偏北15°方向，則這時船與燈塔的距離是（）A.10km B.20km C.km D.km【答案】C【解析】【分析】為等腰三角形，利用正弦定理求出的長，即為這時船與燈塔的距離．【詳解】根據題意，可得，即，，在中，利用正弦定理得，得,則這時船與燈塔的距離是.故選：C．二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，則【答案】BD【解析】【分析】根據向量的相關概念，可得答案.【詳解】向量為矢量，既有大小又有方向，不等比較大小，故A錯誤；相等向量的方向與大小都相同，所以也共線，也具有傳遞性，故BD正確；當時，向量不一定共線，故C錯誤.故選：BD.10.已知點、、、，則（）A B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用平面向量共線的坐標表示可判斷A選項；利用平面向量的模長公式可判斷B選項；利用平面向量垂直的坐標表示可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，，，則，故，A對；對于B選項，，所以，，B對；對于C選項，，所以，，C對；對于D選項，，則，D錯.故選：ABC.11.在中，角的對邊分別是.下面四個結論正確的是（）A.，，則的外接圓半徑是4B.若，則C.若，則一定是鈍角三角形D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據正弦定理可得，即可判斷A；由正弦定理即可求解BD，利用余弦定理，判斷出為鈍角，即可判斷C.【詳解】A．，，設的外接圓半徑是，則，解得，故A錯誤；對于B，由可得，由正弦定理可得，故B正確，對于C．，則，為鈍角，故一定是鈍角三角形，因此C正確；對于D，由以及正弦定理可得：，，因為，故D正確；故選：BCD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，，則與的夾角為_______．【答案】【解析】【分析】根據已知及向量的夾角公式求夾角的余弦值，進而確定角的大小.【詳解】設與的夾角為，因為，，，所以，因為，所以，即與的夾角為．故答案為：13.向量在向量上的投影向量的坐標為________．【答案】【解析】【分析】根據投影向量的定義求解.【詳解】向量在向量上的投影向量為．故答案為：.14.三邊長分別為，，，則BC邊上的中線AD的長為___________.【答案】【解析】【分析】先由余弦定理得到，由平面向量基本定理得到，兩邊平方，結合向量數量積運算法則得到答案.【詳解】由余弦定理得，，兩邊平方得，故.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知向量，．（1）求；（2）求；（3）求．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據平面向量線性運算的坐標表示計算可得.（2）根據向量模的計算公式計算可得.（3）利用向量夾角余弦公式可求出答案.【小問1詳解】因為，,所以【小問2詳解】因為，,所以，所以,【小問3詳解】.16.在中，角、、的對邊分別為、、，，.（1）若，求；（2）若的面積，求，.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由條件結合正弦定理求結論，（2）先結合三角形面積公式求，再利用余弦定理求.【小問1詳解】由正弦定理定理可得，又，，，所以，所以，【小問2詳解】由三角形面積公式可得的面積，所以，又，，所以，由余弦定理可得，所以，所以.17.已知平面向量，的夾角為，且，．（1）；（2）求；（3）若與垂直，求實數的值．【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）根據數量積公式，即可求解；（2）利用向量數量積運算律，代入數量積，即可求解；（3）根據向量垂直，則，再結合向量數量積的運算律和公式，即可求解.小問1詳解】；【小問2詳解】【小問3詳解】由題意可知，即，解得：18.已知是平面內兩個不共線的非零向量，，，，且三點共線．（1）求實數的值；（2）若，，求坐標；（3）已知點，在（2）的條件下，若四點按逆時針順序構成平行四邊形，求點的坐標．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據已知可得，結合三點共線可得，列方程組求參數即可；（2）根據平面向量線性運算坐標表示求解即可；（3）根據平行四邊形中的坐標表示列方程組求解即可.【小問1詳解】因為，，所以，因為三點共線，所以存在實數使得，即，又因為是平面內兩個不共線的非零向量，所以，解得.【小問2詳解】由（1）可知，，所以，若，，則.【小問3詳解】由四點按逆時針順序構成平行四邊形可得，設，則，由（2）得，所以，解得，所以.19.在中，角所對的邊分別為，已知．（1）求角的大小．（2）若，的面積為，求的周長．（3）若為銳角三角形，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據正弦定理邊化角，結合二倍角公式可得，由此可得結果.（2）根據面積公式可得，利用余弦定理求得，