2024-2025學年度第二學期第一次統練高一數學一．單項選擇題（共10題，每題4分）1.下列說法中正確的是（）A.向量的模都是正實數B.單位向量只有一個C.向量的大小與方向無關D.方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小【答案】C【解析】【分析】根據向量的概念即可判斷.【詳解】對于A：根據向量的概念可知，零向量的模為零，故A錯誤；對于B：單位向量的定義，單位向量的模為1，方向為任意方向，故B錯誤；對于C：向量的模與方向沒有關系，故C正確；對于D：向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小，故D錯誤.故選：C.2.在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD是（）A.平行四邊形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【答案】A【解析】【分析】根據平面向量加法的平行四邊形法則判斷即可.【詳解】由平面向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形為平行四邊形.故選：A3.已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，則向量a－b＝()A.(－2，－1) B.(－2，1)C.(－1，0) D.(－1，2)【答案】D【解析】【詳解】解：因為平面向量，則向量4.已知i是虛數單位，復數為（）A.3+4i B.3－4i C. D.【答案】D【解析】【分析】根據復數的除法運算法則化簡即可求解.詳解】，故選：D5.為平面向量，已知，則夾角的余弦值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據向量的坐標運算求，即可得夾角余弦值.【詳解】因為，則，所以.故選：C.6.在中，已知是邊上的一點，若，，則A B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由已知得，因此，答案選B.考點：向量的運算與性質7.下列向量組中，不能作為平面內所有向量的基底的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷兩個平面向量能否構成平面的基底，只需判斷它們是否共線即可，不共線才能作為平面的基底.【詳解】能作為平面內的基底，須使兩向量與不平行，若，則，故只需判斷選項中的兩向量的坐標是否滿足即得.對于A選項，因，∴與不平行，故A項正確；對于B選項，，∴與不平行，故B項正確；對于C選項，，∴與不平行，故C項正確；對于D選項，，∴，故D項錯誤.故選：D.8.已知，，與的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由投影向量的定義，代入計算，即可得到結果.【詳解】在上的投影向量為.故選：A9.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，則B的大小為（）A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°【答案】A【解析】【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，從而可求出B=30°.【詳解】由正弦定理得，即，解得sinB=，又B為三角形內角，所以B=30°或B=150°，又因為a>b，所以A>B，即B=30°.故選：A.10.在邊長為正方形中，為的中點，點在線段上運動，則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】將正方形放入如圖所示的平面直角坐標系中，設E(x,0)，0≤x≤1.又，C(1,1)，所以，所以，因為0≤x≤1，所以，即的取值范圍是.故選C.點睛：計算數量積的三種方法：定義、坐標運算、數量積的幾何意義，要靈活選用，和圖形有關的不要忽略數量積幾何意義的應用．二．填空題（共5題，每題4分）11.是虛數單位，復數______．【答案】【解析】【分析】借助復數的乘法運算法則計算即可得.【詳解】.故答案為：.12.已知向量，，若向量與垂直，則________.【答案】2【解析】【分析】利用向量垂直的坐標表示直接求解即可．【詳解】因為向量，，向量與垂直，則，解得．故答案為：．13.已知向量的夾角為，，，則________．【答案】【解析】【分析】根據題意可得，根據模長的平方關系結合數量積運算律求解即可.【詳解】因為向量的夾角為，，，則，可得，所以.故答案為：.14.在中，若，，，則的最小角為________．【答案】【解析】【分析】根據邊長分析可知最小內角為角，利用余弦定理運算求解即可.【詳解】因為，，，則，可知，即最小內角為角，且，又因為，所以.故答案為：.15.如圖，從山頂A望地面上C，D兩點，測得它們的俯角分別為和，已知，點C位于BD上，則山高AB等于________．【答案】【解析】【分析】根據題意可知，，結合長度關系列式求解即可．【詳解】由題意可知，，，由直角三角形可知：，，因為，即，所以.故答案為：．三、解答題（共5題，每題12分）16.已知是虛數單位，復數，.（1）當時，求；（2）若z是純虛數，求值；（3）若在復平面內對應的點位于第三象限，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先寫出復數再根據模長公式求解；（2）根據復數是純虛數求參即可；（3）根據復數對應的點位于第三象限列不等式求解即可.【小問1詳解】當時，.所以，.【小問2詳解】若復數是純虛數，則，解得，所以.【小問3詳解】復數在復平面內對應的點位于第三象限，則即，解得.所以，實數的取值范圍是.17.已知向量，，，，若．（1）求的值；（2）求與的夾角θ；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據向量數量積的運算律計算可得；（2）由夾角公式計算可得；（3）根據及向量數量積的運算律計算可得；【小問1詳解】因為，，則，即，所以.【小問2詳解】由（1）可知，則，因為，所以.【小問3詳解】因為所以.18.已知向量，向量（1）若向量與向量平行，求實數的值；（2）若向量向量垂直，求實數的值；（3）求向量與向量夾角的余弦值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據向量平行的結論求參數.（2）根據向量的數量積為0求參數.（3）根據數量積的定義求向量夾角的余弦.小問1詳解】由題意得，因為向量與向量平行，所以，解得．【小問2詳解】由題意得，因為向量向量垂直，所以，解得．【小問3詳解】由題意得，，所以，，，所以向量與向量夾角的余弦值為．19.已知的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足．（1）求角A；（2）若，，求邊c及的面積；【答案】（1）（2）3；【解析】【分析】（1）根據題意利用正弦定理邊化角即可得結果；（2）利用余弦定理可得，結合面積公式運算求解.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，且，則，可得，則，又因為，所以．【小問2詳解】由余弦定理得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積．20.在中，角所對的邊分別是．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】