第=page22頁，共=sectionpages1818頁2025年中考數學對標考點：解直角三角形的應用1.如圖，山頂上有一個信號塔AC，已知信號塔高AC=15米，在山腳下點B處測得塔底C的仰角∠CBD=36.9°，塔頂A的仰角∠ABD=42.0°，求山高CD(點A，C，D在同一條豎直線上)．

(參考數據：tan36.9°≈0.752.如圖，長沙九龍倉國際金融中心主樓BC高達452m，是目前湖南省第一高樓，和它處于同一水平面上的第二高樓DE高340m，為了測量高樓BC上發射塔AB的高度，在樓DE底端D點測得A的仰角為α，sinα=2425，在頂端E點測得A的仰角為45°，求發射塔AB3.王剛同學在學習了解直角三角形及其應用的知識后，嘗試利用所學知識測量河對岸大樹AB的高度，他在點C處測得大樹頂端A的仰角為45°，再從C點出發沿斜坡走210米到達斜坡上D點，在點D處測得樹頂端A的仰角為30°，若斜坡CF的坡比為i=1：3(點E、C、B在同一水平線上)(1)求王剛同學從點C到點D的過程中上升的高度；(2)求大樹AB的高度(結果保留根號)．4.某校一初三學生在學習了“銳角三角函數”的應用后，來到“孔子圣像”的雕像前，如圖，想要用所學知識解決“孔子圣像”雕像AB的高度，他在雕像前C處用自制測角儀測得頂端A的仰角為60°，底端B的俯角為45°；又在同一水平線上的E處用自制測角儀測得頂端A的仰角為30°，已知DE=6m，求雕像AB的高度．(結果保留根號)

5.2024年5月3日17時27分，搭載“嫦娥六號”探測器的“長征五號遙八”運載火箭在海南文昌航天發射場成功點火發射，如圖，在發射的過程中，火箭從地面O處豎直向上發射，當火箭到達A處時，從位于地面C處的雷達站測得AC的距離是8km，仰角為30°；當火箭到達B處時，從位于地面C處的雷達站測得仰角為45°，求火箭從A處到6.如圖，大樓AB高16米，遠處有一塔CD，某人在樓底B處測得塔頂的仰角為38.5°，爬到樓頂A處測得塔頂的仰角為22°，求塔高CD及大樓與塔之間的距離BD的長.(參考數據：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.407.某游樂場一轉角滑梯如圖所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，點E在線段BD上，在C點測得點A的仰角為30°，點E的俯角也為30°，測得B、E間距離為10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高(結果保留根號)8.如圖，A，B兩點被池塘隔開，在AB外選一點C，連接AC，BC.測得BC=221m，∠ACB=45°，∠ABC=58°.根據測得的數據，求AB的長(結果取整數)．參考數據：sin58°≈0.859.科技社團選擇學校游泳池進行一次光的折射實驗，如圖，光線自點B處發出，經水面點E折射到池底點A處．已知BE與水平線的夾角α=36.9°，點B到水面的距離BC=1.20m，點A處水深為1.20m，到池壁的水平距離AD=2.50m點B，C，D在同一條豎直線上，所有點都在同一豎直平面內。記入射角為β，折射角為γ，求sinβsinγ的值(精確到0.1)．參考數據：sin36.9

10.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東64°方向，距離燈塔120海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，求BP和BA的長(結果取整數)．

(參考數據：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈11為了測量豎直旗桿AB的高度，某綜合實踐小組在地面D處豎直放置標桿CD，并在地面上水平放置一個平面鏡E，使得B，E，D在同一水平線上，如圖所示.該小組在標桿的F處通過平面鏡E恰好觀測到旗桿頂A(此時∠AEB=∠FED).在F處測得旗桿頂A的仰角為39.3°，平面鏡E的俯角為45°，FD=1.8米，問旗桿AB的高度約為多少米?(結果保留整數)(

12.某校初三課外活動小組，在測量樹高的一次活動中．如圖所示，測得樹底部中心A到斜坡底C的水平距離為8.8m，在陽光下某一時刻測得l米的標桿影長為0.8m，樹影落在斜坡上的部分CD=3.2m，已知斜坡CD的坡比i=1：3，求樹高AB.(結果保留整數，參考數據：3≈13.“高低杠”是女子體操特有的一個競技項目，其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干支架組成，運動員可根據自己的身高和習慣在規定范圍內調節高、低兩杠間的距離.某興趣小組根據高低杠器材的一種截面圖編制了如下數學問題，請你解答．如圖所示，底座上A，B兩點間的距離為90cm.低杠上點C到直線AB的距離CE的長為155cm，高杠上點D到直線AB的距離DF的長為234cm，已知低杠的支架AC與直線AB的夾角∠CAE為82．4°，高杠的支架BD與直線AB的夾角∠DBF為80．3°.求高、低杠間的水平距離CH的長.(結果精確到1cm.參考數據：sin82．4°≈0.991，cos82．4°≈0.132，tan8214.(本小題8分)如圖，O，R是同一水平線上的兩點，無人機從O點豎直上升到A點時，測得A到R點的距離為40m，R點的俯角為24.2°，無人機繼續豎直上升到B點，測得R點的俯角為36.9°.求無人機從A點到B點的上升高度AB(參考數據：sin24.2°≈0.41，cos24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，

15.筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具．如圖1，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理．如圖2，筒車盛水桶的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓．已知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦AB長為6米，∠OAB=41.3°，若點C為運行軌道的最高點(C,O的連線垂直于AB)，求點C到弦AB所在直線的距離．(參考數據：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.7516.學生到工廠勞動實踐，學習制作機械零件.零件的截面如圖陰影部分所示，已知四邊形AEFD為矩形，點B、C分別在EF、DF上，∠ABC=90°，∠BAD=53°，AB=10cm，BC=6cm.求零件的截面面積.參考數據：sin53°≈0.80，17.由我國完全自主設計、自主建造的首艘國產航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗任務.如圖，航母由西向東航行，到達A處時，測得小島C位于它的北偏東70°方向，且與航母相距80海里，再航行一段時間后到達B處，測得小島C位于它的北偏東37°方向.如果航母繼續航行至小島C的正南方向的D處，求還需航行的距離BD的長.(參考數據：sin70°≈0.94，cos70°≈

18.某市一湖的湖心島有一棵百年古樹，當地人稱它為“鄉思柳”，不乘船不易到達，每年初春時節，人們喜歡在“聚賢亭”觀湖賞柳.小紅和小軍很想知道“聚賢亭”與“鄉思柳”之間的大致距離.于是，有一天，他們倆帶著測傾器和皮尺來測量這個距離.測量方案如下：如圖，首先，小軍站在“聚賢亭”的A處，用測傾器測得“鄉思柳”頂端M點的仰角為23°，此時測得小軍的眼睛距地面的高度AB為1.7米;然后，小軍在A處蹲下，用測傾器測得“鄉思柳”頂端M點的仰角為24°，這時測得小軍的眼睛距地面的高度AC為1米.請你利用以上所測得的數據，計算“聚賢亭”與“鄉思柳”之間的距離AN的長(結果精確到1米).(參考數據：sin23°≈0.3907，cos23°≈

19.如圖，平臺AB高為12米，在B處測得樓房CD頂部點D的仰角為45°，底部點C的俯角為30°，求樓房CD的高度.(320.如圖，在同一平面內，兩條平行高速公路l1和l2間有一條“Z”型道路連通，其中AB段與高速公路l1成30°角，長為20km;BC段與AB、CD段都垂直，長為10km;CD段長為30km，求兩高速公路間的距離(答案和解析1.【答案】解：由題意，在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD，

∴tan42.0°=ADBD≈0.9，

∴AD≈0.9BD，

在Rt△BCD中，tan∠CBD=CDBD，

∴tan36.9°【解析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，注意方程思想與數形結合思想的應用．

根據銳角三角函數的定義得出AD≈0.9BD，CD≈0.75BD，利用AC=AD-2.【答案】解：作EH⊥AC于H，

則四邊形EDCH為矩形，

∴EH=CD，

設AC=24x，

在Rt△ADC中，sinα=2425，

∴AD=25x，

由勾股定理得，CD=AD2-AC2=7x，

∴EH=7x，

在Rt△AEH中，∠AEH=45°，【解析】作EH⊥AC于H，設AC=24x，根據正弦的定義求出AD，根據勾股定理求出CD，根據題意列出方程求出x，結合圖形計算即可．

本題考查的是解直角三角形的應用3.【答案】解：(1)如圖，過點D作DH⊥CE交CE于點H，

由題意知CD=210米，

∵斜坡CF的坡比為i=1：3，

∴DHCH=13，

設DH=x米，CH=3x米，

∵在Rt△CDH中，DH2+CH2=CD2，

∴x2+(3x)2=(210)2，

∴x1=2，x2=-2(舍)

∴DH=2米，CH=6米，

答：王剛同學從點C到點D的過程中上升的高度為2米；

(2)如圖，過點D作DG⊥AB交AB于點G，設BC=y米，

∵∠DHB=∠DGB=∠ABC=90°，

∴四邊形DHBG【解析】(1)過點D作DH⊥CE交CE于點H，解Rt△CDH，即可求出DH；

(2過點D作DG⊥AB交AB于點G，設BC=y米，用y表示出AG、DG4.【答案】解：設CD=x?m，

∵∠ACD=60°，∠BCD=45°，

∴AD=x?tan60=3x(m)，DB=x?tan45°=x(m)，

∵∠AED=30°，DE=6m，【解析】設CD=x?m，解Rt△ACD與Rt△DCB，用含x的代數式表示出AD、DB，然后根據△ADE是含30度角的直角三角形列出方程，解方程即可求5.【答案】(43-4)km【解析】略6.【答案】解：過點A作AE⊥CD于點E，由題意可知：∠CAE=22°，∠CBD=38.5°，ED=AB=16米

設大樓與塔之間的距離BD的長為x米，則AE=BD=x(不設未知數x也可以)

∵在Rt△BCD中，tan∠CBD=CDBD

∴CD=BD

tan

38.5°≈0.8x

∵在Rt△ACE中，tan∠CAE=CEAE

∴CE=AE

tan

22°≈0.4x

∵CD-CE=DE【解析】過點A作AE⊥CD于點E，由題意可知：∠CAE=22°，∠CBD=38.5°，ED=AB=16米，設大樓與塔之間的距離BD的長為x米，則AE=BD=x，分別在Rt△BCD中和Rt△ACE中，用x表示出CD和CE=AE，利用CD7.【答案】解：作CH⊥AB于H，

則四邊形HBDC為矩形，

∴BD=CH，

由題意得，∠ACH=30°，∠CED=30°，

設CD=x米，則AH=(30-x)米，

在Rt△AHC中，HC=AHtan∠ACH=3(30-x)，

則BD=CH=【解析】作CH⊥AB于H，得到BD=CH，設CD=x米，根據正切的定義分別用x表示出HC、ED，根據正切的定義列出方程，解方程即可．

本題考查的是解直角三角形的應用8.【答案】解：如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D，

∵∠ACB=45°，

∴AD=CD，

設AB=x，

在Rt△ADB中，AD=AB?sin58°≈0.85x，BD=AB?cos58°≈0.53x，

又∵BC=221【解析】通過作高，構造直角三角形，利用直角三角形的邊角關系，列方程求解即可．

本題考查直角三角形的邊角關系，掌握直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數，是正確解答的前提，通過作輔助線構造直角三角形是常用的方法．9.【答案】解：過點E作EH⊥AD于點H，

由題意可知，∠CEB=α=36．9°，EH=1.20m，

∴CE=BCtan36.9°≈1.200.75=1.60(m)，AH=AD-CE=2.50【解析】本題考查了解直角三角形的應用，理解題意得出線段長度是解題的關鍵．

過點E作EH⊥AD于點H，根據題意得出，∠CEB=α=36．9°，EH=1.20m，從而求出CE，AH，AE的長，分別求出10.【答案】解：如圖作PC⊥AB于C．

由題意∠A=64°，∠B=45°，PA=120(海里)，

在Rt△APC中，sinA=PCPA，cosA=ACPA，

∴PC=PA?sinA=120?sin64°(海里)，

AC=PA?cosA=120?cos64°(海里)，

在Rt△PCB中，∵∠【解析】本題考查了解直角三角形的應用--方位角問題，結合航海中的實際問題，解直角三角形即可，體現了數學應用于實際生活的思想．作PC⊥AB于C，分別在Rt△11.【答案】解：由題意知，∠AEB=∴∠AEF=在Rt△AEF中，在△ABE和△FDE中，∠ABE=∴△ABE∴AB∴AB=FD·tan答：旗桿AB的高度約為18米．

【解析】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，平行線的性質，掌握銳角三角函數的定義、仰角俯角的概念是解題的關鍵．

由題意可確定∠AEF=90°，從而可推出△12.【答案】解：過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F，如圖，

∵斜坡CD的坡比i=1：3，即tan∠DCF=33，

∴∠DCF=30°，

而CD=3.2m，

∴DF=12CD=1.6m，CF=3DF=1.63m，

∵AC=8.8m，

∴DE=AC+CF=8.8+1.6【解析】過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F，根據坡比的定義得到tan∠DCF=33，則∠DCF=30°，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到DF=113.【答案】解：在Rt△CAE中，在Rt△DBF中，∴EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7∵四邊形CEFH為矩形，∴CH=EF=151即高、低杠間的水平距離CH的長約是151cm．

【解析】【分析】思路分析根據Rt△CAE和函數分別求得AE，BF的長度，得EF=AE+AB+BF，由矩形的性質可知CH=EF，可以求出問題的答案．方法總結解直角三角形的應用問題，一般根據題意抽象出幾何圖形，結合所給的線段或角，借助邊角關系、三角函數的定義解題，若幾何圖形中無直角三角形，則需要根據條件構造直角三角形，再解直角三角形，求出實際問題的答案．14.【答案】解：依題意，∠ARO=24．2°，∠BRO=36.9°，AR=40m，

在Rt△AOR中，∠ARO=24．2°，

∴AO=AR·sin∠ARO=40sin24．2°，RO=AR·cos∠ARO=40cos24．2°，

在Rt△BOR中，OB=OR·tan∠BRO=40cos24．【解析】在Rt△AOR中，求得AO，OR，在Rt△BOR中，求得BO15.【答案】解：連接CO并延長，與AB交于點D，

∵CD⊥AB，

∴AD=BD=12AB=3(米)，

在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°，

∴cos41.3°=ADOA，

即OA=3cos41.3°=30.75=4(米)，16.【答案】解：∵四邊形AEFD為矩形，∠BAD=53°，

∴AD/?/EF，∠E=∠F=90°，

∴∠BA