高一學(xué)年下學(xué)期3月份考試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘分值：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1.已知向量，是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且，，，則（）A.、、三點(diǎn)共線 B.、、三點(diǎn)共線C.、、三點(diǎn)共線 D.、、三點(diǎn)共線【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量共線則判斷即可.【詳解】對(duì)A，因?yàn)椋淮嬖趯?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)椋淮嬖趯?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)椋瑒t，故、、三點(diǎn)共線，故C正確；對(duì)D，因?yàn)椋淮嬖趯?shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤.故選：C2.在中，內(nèi)角所對(duì)各邊分別為，且，則角（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理結(jié)合給定條件得到，再依據(jù)三角形中角的范圍求解即可.【詳解】因?yàn)椋矣捎嘞叶ɡ淼茫裕獾茫谥校瑒t，故A正確.故選：A．3.在正方形中，分別為，的中點(diǎn)，則不正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，一一判斷各選項(xiàng)，可得答案.【詳解】由題意可得,A正確；,故B正確；由,,可得,故,故C錯(cuò)誤，D正確；故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齊次式法計(jì)算得解.【詳解】由，得，則，所以.故選：D5.如圖，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作直線分別交于點(diǎn)，，且，則的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算得，再利用三點(diǎn)共線結(jié)論得系數(shù)和為1，即，再利用基本不等式求出最值即可.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，所以.因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.6.若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】[方法一]：直接法由已知得：即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.7.已知平面內(nèi)的向量在向量上的投影向量為，且，則的值為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)條件，確定向量的夾角，再根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)求模.【詳解】因?yàn)椋郑?所以：，所以.故選：A8.勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形；在如圖所示的勒洛三角形中，已知，P為弧AC（含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則的范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算量，結(jié)合即可求解.【詳解】取中點(diǎn)為，連接，顯然，所以.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.關(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)向量相等的定義、共線向量的定義和性質(zhì)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，必成立，A正確；對(duì)于B，若，則反向，，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)未必共線，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，只能說明長度的大小關(guān)系，但還有方向，無法比較大小，D錯(cuò)誤；故選：AB10.已知等邊的邊長為4，點(diǎn)D，E滿足，，與CD交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，向量共享定理的推論，得出為中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，得出答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)闉榈冗吶切危瑸橹悬c(diǎn)，所以，所以，即，所以，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，由（1）得，所以，又三點(diǎn)共線，所以，解得，所以為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，設(shè)，則，所以，又三點(diǎn)共線，所以，解得，所以為中點(diǎn)，所以，故D正確，故選：ABD.11.點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）A.若，則點(diǎn)為外心（外接圓圓心）B.若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的重心C.若，，分別表示，的面積，則D.若，則點(diǎn)是的內(nèi)心【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，計(jì)算出，⊥，同理可得⊥，⊥，則點(diǎn)為的垂心；B選項(xiàng)，作出輔助線，得到，故點(diǎn)在中線上，故向量一定經(jīng)過的重心；C選項(xiàng)，作出輔助線，得到，從而得到所以，故；D選項(xiàng)，作出輔助線，得到，故⊥，并得到在的平分線上，同理可得，在的平分線上.【詳解】A選項(xiàng)，，即，故⊥，同理可得⊥，⊥，則點(diǎn)為的垂心，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則，，則，故點(diǎn)在中線上，故向量一定經(jīng)過的重心，B正確；C選項(xiàng)，如圖，分別為的中點(diǎn)，，則，故，所以，故，C正確；D選項(xiàng)，分別表示方向上的單位向量，故，，故⊥，由三線合一可得，在的平分線上，同理可得，在的平分線上，則點(diǎn)是的內(nèi)心，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的重心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的垂心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的外心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的內(nèi)心，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，若，則________．【答案】##-15【解析】【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示進(jìn)行計(jì)算．詳解】由題意，．故答案為：13.已知向量，，且與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍________．【答案】【解析】【分析】利用向量數(shù)量積及共線的定理的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】向量，，且與的夾角為鈍角，則（且排除反向共線情況）.當(dāng)時(shí)，則，解得.當(dāng)當(dāng)反向共線時(shí)，，解得.綜上所得，求實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.平面四邊形中，，，，，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件可知，由可確定點(diǎn)在以為直徑的圓的劣弧上，進(jìn)而根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，最小，進(jìn)而可得.【詳解】因，，，故，故，得，又，故點(diǎn)在以為直徑的圓的劣弧上，由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，在方向上的投影最小，此時(shí)最小，過作交于，易得，故在方向上的投影最小為，故此時(shí).故答案為：四、解答題：本題共5分小題，共77分，（15題13分，16-17題15分，18-19題17分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，滿足，，．（1）求與的夾角的余弦值；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量垂直得到，由數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算可得；（2）首先求出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可得解.【小問1詳解】∵，，，∴，∴，∴；【小問2詳解】由（1）知，∴，∴；16.已知向量，，函數(shù)．（1）求的最小正周期及其對(duì)稱中心；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）最小正周期：；對(duì)稱中心：（2）【解析】【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算，結(jié)合三角恒等變換公式化簡，即可得到的解析式，從而得到結(jié)果；（2）由題意轉(zhuǎn)化為與函數(shù)在區(qū)間上的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，利用整體代入的方法，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，即可求解.【小問1詳解】，最小正周期.令，解得，則對(duì)稱中心為【小問2詳解】由題知在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)在區(qū)間上的圖像與直線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，令，做出的圖像與直線，如圖.由圖知，當(dāng)時(shí)，的圖像與直線有兩個(gè)交點(diǎn).17.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，試求函數(shù)的伴隨向量；（2）記向量的伴隨函數(shù)為，求當(dāng)且時(shí)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由誘導(dǎo)公式以及伴隨向量的定義即可求解.（2）根據(jù)伴隨函數(shù)的定義可知，利用同角關(guān)系以及余弦的和差角公式即可求解.【小問1詳解】【小問2詳解】,由得，故因此18.如圖，在等腰梯形中，，，分別為，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）令，，用，表示；（2）求線段的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算求解；（2）利用三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，求得，同時(shí)證明是等邊三角形，然后把平方可得．【小問1詳解】∵，分別為，的中點(diǎn)，∴；【小問2詳解】設(shè)，∵，分別為，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，所以，解得，即，由已知與平行且相等，因此是平行四邊形，所以，是等邊三角形，所以．19.已知，，分別為銳角內(nèi)角的對(duì)邊，，，（為外接圓的半徑）.（1）證明：；（2）求的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的特征得出，從而由數(shù)量積與模長關(guān)系