鳳岡縣第二中學2024至2025學年度第二學期高一數學學科第一次月考試卷考試時間：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知命題，則命題的否定是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據全稱量詞命題直接可得其否定.【詳解】由命題，則，故選：D.2.已知扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出扇形半徑，再根據扇形面積公式即可代入求值.【詳解】扇形的半徑，所以扇形的面積為，故選：D.3.已知平面向量，且，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：因為，，且，所以，，故選B.考點：1、平面向量坐標運算；2、平行向量性質.4.函數的零點所在的區間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據零點存在定理直接判斷.【詳解】由已知可知在R上單調遞增，，，，，，所以，所以的零點所在區間為，故選：C.5.集合，則間的關系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求解兩個集合，再判斷集合關系.詳解】，得，則，，得，則，所以.故選：B6.新高考選科要求，語數外+（物理、歷史）二選一+（政治、地理、化學、生物）四選二．針對高一某同學的選科組合有如下事件，事件A“選物理”，事件B“選歷史”，事件C“選化學”，事件D“選政治”，則下列正確的是（）A.事件C與事件D互斥 B. C.事件A與事件B對立 D.【答案】C【解析】【分析】寫出試驗的樣本空間，判斷是古典概型，利用古典概型的概率公式計算概率可判斷B、D，根據互斥和對立的定義可判斷A、C.【詳解】由題意，用表示選擇物理，用表示選擇歷史，用數字分別表示選擇政治，地理，化學，生物，則樣本空間，共有個樣本點，即，且每個樣本點是等可能發生的，所以這是一個古典概型對于A，事件，所以事件C與事件D不互斥，故A錯誤；對于B，因為，所以，則，故B錯誤；對于C，，，則，且，所以事件A與事件B對立，故C正確；對于D，，則，所以，故D錯誤；故選：C.7.已知函數，若不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性質及對數函數的單調性，將不等式恒成立問題轉化為最值問題即可求解.【詳解】因為，所以，所以，由，得，即，因為不等式在上恒成立，所以，即可.由，得，即，所以的取值范圍為.故選：A.8.已知函數是定義在上的偶函數，且在區間上是增函數，令則A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：注意到，，，從而有；因為函數是定義在上的偶函數，且在區間上是增函數，所以有，而，，所以有，故選Ａ．考點：１．函數的奇偶性與單調性；２．三角函數的大小．二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列命題正確的有（）A.函數且過定點B.函數的定義域為，則的定義域為C.不等式的解集為或D.函數的最小值為2【答案】AC【解析】【分析】對于A，根據指數函數的圖象與性質可判斷，對于B，由抽象函數的定義域求解方法可判斷，對于C，分類討論去掉絕對值符號，求解即可；對于D，由基本不等式等號成立的條件即可判斷.【詳解】對于A，由指數函數的圖象與性質可知，時，，則圖象過定點，故A正確；對于B，由函數的定義域為，得，則，所以，解得，即函數的定義域為，故B錯誤；對于C，由，得或，解得或，故C正確；對于D，因為，所以由基本不等式可得：，由，解得無解，則等號不成立，即函數的最小值不是，故D錯誤.故選：AC.10.某校舉行籃球比賽，兩隊長小明和小張在總共6場比賽中得分情況如下表：場次123456小明得分30152333178小張得分22203110349則下列說法正確的是A.小明得分的極差小于小張得分的極差B.小明得分的中位數小于小張得分的中位數C.小明得分的平均數大于小張得分的平均數D.小明的成績比小張的穩定【答案】BD【解析】【分析】根據極差,中位數與平均數的方法求解即可.【詳解】對A,小明得分的極差為,小張得分的極差為.故A錯誤.對B,小明得分的中位數為.小張得分的中位數為.故B正確.對C,小明得分的平均數為.小張得分的平均數為.故C錯誤.對D,計算可得小明和小張平均分相等,但小明分數相對集中,更穩定,故D正確.【點睛】本題主要考查了數據中的極差,平均值與中位數的算法等.屬于基礎題型.11.已知，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】當時，則由求得的值，進而根據各選項的要求逐項判斷.【詳解】由題意，代入，即，整理得，即，解得或，因為，所以，于是，故B正確.因為，所以，故A正確；，故C錯誤；，故D正確；故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）注意事項：第Ⅱ卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區域內作答，在試題卷上作答無效.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，是兩個不共線的向量，，，若與共線，則______．【答案】【解析】【分析】利用共線向量定理，結合平面向量基本定理列式計算得解.【詳解】向量，不共線，則不零向量，由與共線，得，即因此，解得，所以.故答案為：13.已知，求與向量方向相同的單位向量為__________.【答案】【解析】【分析】依題意求得，進而可得與向量方向相同的單位向量.【詳解】由，得，所以，與向量方向相同的單位向量是.故答案為：14.設函數，若存在最小值，則的最大值為_____.【答案】【解析】【分析】當時，由一次函數單調性可知無最小值，不合題意；當時，結合二次函數性質可知，滿足題意；當和時，根據函數存在最小值可確定分段處的函數值的大小關系，由此解得的范圍；綜合所有情況即可得到的最大值.【詳解】當時，在上單調遞增，此時無最小值，不合題意；當時，，當時，，又時，，存在最小值，滿足題意；當時，在，上單調遞減，在上單調遞增，若存在最小值，則，解得：，；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，若存在最小值，則，不等式無解；綜上所述：實數的取值范圍為，則的最大值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查根據函數的存在最值求解參數范圍的問題，解題關鍵是能夠通過對參數的范圍的討論，確定分段函數的單調性，進而根據分段處函數值的大小關系確定不等式組求得結果.四、解答題（共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，且角的終邊上一點的坐標是.（1）求及的值；（2）求的值.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）由三角函數的定義求解即可；（2）由誘導公式化簡并結合（1）即可求解；【小問1詳解】因為角的終邊上一點的坐標是，由三角函數的定義可得，，.【小問2詳解】原式.16.已知非空集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分而不必要條件，求實數a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入集合求解，利用集合的運算可求解；（2）利用充分不必要條件的定義，轉化為P是Q的真子集，分類討論集合可求實數的取值范圍．【小問1詳解】已知集合，.當時，，或，又，.【小問2詳解】因為“”是“”充分不必要條件，所以P是Q的真子集，又，，所以，解得，當時，是Q的真子集；當時，也滿足是Q的真子集，綜上所述：實數的取值范圍為.17.某地文化和旅游局統計了春節期間100個家庭的旅游支出情況，統計得到這100個家庭的旅游支出（單位：千元）數據，按分成5組，并繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．（1）估計這100個家庭的旅游支出的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作為代表）；（2）估計這100個家庭的旅游支出的第70百分位數（結果保留一位小數）；（3）在這100個家庭中，旅游支出在（千元）的家庭中，按分層抽樣的方法抽取5個家庭，再從這5個家庭中抽取2個家庭，求至少有1個家庭的旅游支出在千元內的概率.【答案】（1）8.3千元（2）9.7（3）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖估計平均數.（2）利用頻率分布直方圖求出第70百分位數.（3）首先要明確分層抽樣確定各區間抽取家庭數，然后根據古典概型概率公式計算概率.【小問1詳解】估計這100個家庭的旅游支出的平均值為：（千元）.【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，旅游支出在千元的頻率為，在千元的頻率為，則這100個家庭的旅游支出的第70百分位數，則，解得，所以估計這100個家庭的旅游支出的第70百分位數為9.7.【小問3詳解】以頻率估計概率，得每個家庭的旅游支出在千元內的概率為，千元內的概率為，則按分層抽樣的方法抽取5個家庭，千元內抽取家庭數之比為,所以千元內抽取2個家庭,千元內抽取3個家庭,設旅游支出在千元的2個家庭記為，在千元的3個家庭記為從這5個家庭中抽取2個家庭的所有可能情況有：，共10種.至少有1個家庭旅游支出在千元內的情況有：共7種.所以至少有1個家庭的旅游支出在千元內的概率.18.如圖，在直角梯形中，與交于點，點在線段上.（1）用和表示；（2）設，求的值；（3）設，證明：.【答案】（1），（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用平面向量的加法運算并根據線段的比例關系可得結論；（2）由共線定理根據三點共線可得結果；（3）根據向量等式得出的表達式，再由二次函數性質可證明結論.【小問1詳解】因為，，.【小問2詳解】由（1）得，因為三點共線，所以，解得.【小問3詳解】由（1）得，設，則又不共線，所以，即.由，得.因為函數在上單調遞增，所以當時，，故.19.歐拉對函數的發展做出了巨大的貢獻，除特殊符號，概念名稱的界定外，歐拉還基于初等函數研究了抽象函數的性質.例如，歐拉引入了“倒函數”的定義：對于函數，如果對于其定義域中任意給定的實數，都有，并且，就稱函數為“倒函數”.（1）判斷函數是不是倒函數，并說明理由；（2）若函數是定義在上的倒函數，且當時，，求函數的解析式；（3）在（2）的條件下，判斷方程是否有正整數解？如果有，請求出所有的正整數解，如果沒有，請說明理由.【答案】（1）函數是倒函數，理由見解析（2）（3）有，【解析】【分析】（1）根據倒函數的定義