中孽散母學向點恁儲

1.對于集合，肯定要抓住集合的代表元素，與元素的“確定性、互異性、

無序性”。

如：集合A={x|y=Igx},B={y|y=lgx},C={(x,y)|y=Igx},A、B、C

中元素各表示什么？

2.進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集0的特殊情況。

留意借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A={xX-2x-3=()},B={x|ax=l}

若BuA,則實數(shù)a的值構成的集合為

(答:卜1，0,4

3.留意下列性質：

(1)集合{a「a2,……，aj的所有子集的個數(shù)是2。；

(2)若A￡BOADB=A,AUB=B；

(3)德摩根定律：

Q(AUB)=(CUA)D(CUB),Cu(AnB)=(CuA)U(CuB)

4.你會用補集思想解決問題嗎？(解除法、間接法)

如：已知關于x的不等式手!<0的解集為M,若3eM且5eM,求實數(shù)a

的取值范圍。

(V3eM

=ae1,打,25))

eM

5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”(v),“且"(△)和

“非”（f.

若pAq為真，當且僅當p、q均為真

若pvq為真，當且僅當p、q至少有一個為真

若「p為真，當且僅當p為假

6.命題的四種形式與其相互關系是什么？

（互為逆否關系的命題是等價命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A-B,是否留意到A中元素的隨意性

和B中與之對應元素的唯一性，哪幾種對應能構成映射？

（一對一，多對一，允許B中有元素無原象。）

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？

（定義域、對應法則、值域）

9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？

例：函數(shù)y=-的定義域是

"3）2-----------------

（答：（0，2）U（2,3）U（3,4））

10.如何求復合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f（x）的定義域是［a,b］,b>-a>O,則函數(shù)F（x）=f（x）+f（-x）的定

義域是o

（答：［a,-a］）

11.求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了

嗎？

如：f（jx+1）=e*+x,求f（x）.

令t=Jx+1,貝It>0

x=t2—1

.,.f(t)=el2_|+t2-1

f(x)=e*T+x2-l(x>0)

12.反函數(shù)存在的條件是什么？

(一一對應函數(shù))

求反函數(shù)的步驟駕馭了嗎？

(①反解x；②互換x、y；③注明定義域)

l+x(x>0)

如：求函數(shù)f(x)=,丁〈的反函數(shù)

-x2(x<0)

fx-1(x>1)

(答：L(X)=1-'')

Q(x<0)

13.反函數(shù)的性質有哪些？

①互為反函數(shù)的圖象關于直線y=x對稱；

②保存了原來函數(shù)的單調性、奇函數(shù)性；

③設y=f(x)的定義域為A,值域為C,aeA,beC,則f(a)=boL(b)=a

f'[f(a)]=f(b)=a,f[f-'(b)]=f(a)=b

14.如何用定義證明函數(shù)的單調性？

(取值、作差、判正負)

如何推斷復合函數(shù)的單調性？

(y=f(u),u=(p(x),如Jy=f[(p(x)]

(外層)(內層)

當內、外層函數(shù)單調性相同時f[(p(x)]為增函數(shù)，否則葉叭x)]為減函數(shù)。)

如：求y=log1(-x?+2x)的單調區(qū)間

2

(設u=-x2+2x,由u>0貝i」0<x<2

且log]uJ,u=-(x-l)2+1,如圖：

當x￡(0,1］時，uT,又k)g|iiJ,.\yJ

2

當x2)時，uJ,又log|iij,.*.yT

2

……)

15.如何利用導數(shù)推斷函數(shù)的單調性？

在區(qū)間(a,b)內，若總有f，(x)NO則f(x)為增函數(shù)。(在個別點上導數(shù)等于

零，不影響函數(shù)的單調性)，反之也對，若F(x)40呢？

如：已知a>0,函數(shù)￡。)=*3-人在［1,+8)上是單調增函數(shù)，貝必的最大

值是()

A.0B.1C.2D.3

(令f'(x)=3x2-a0

則x4一0或x>聆

由已知f(x)在口，+8)上為增函數(shù)，則書41，即a?3

，a的最大值為3)

16.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么？

(f(x)定義域關于原點對稱)

若f(-x)=-f(x)總成立。f(x)為奇函數(shù)=函數(shù)圖象關于原點對稱

若f(—x)=f(x)總成立of(x)為偶函數(shù)o函數(shù)圖象關于y軸對稱

留意如下結論：

(1)在公共定義域內：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的

乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

(2)若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點，則f(0)=0。

如：若f(x)=±2*^為奇函數(shù)，則實數(shù)a=

2X+1-------

(：f(x)為奇函數(shù)，xeR,又OeR,.\f(0)=0

又如：f(x)為定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，當xe(O,1)時，f(x)=1—，

4+1

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

2-x

(令X￡(-l,0),貝|J-X￡(O,1),f(-x)=—~-

又f(x)為奇函數(shù)，.?.f(x)=-=—=--J

4+11+4

2Xx6(-1,0)

4、+1v-0

又f(0)=0,...f(x)=《)

ox

-----xe(0,1)

卬+1v7

17.你熟識周期函數(shù)的定義嗎？

(若存在實數(shù)T(TH0),在定義域內總有f(x+T)=f(x),則f(x)為周期

函數(shù)，T是一個周期。)

如：若f(x+a)=-f(x),則

(答：f(x)是周期函數(shù)，1=22為**)的一個周期)

又如：若f(x)圖象有兩條對稱軸x=a,x=b(。)

即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)

則f(x)是周期函數(shù)，2|a-b|為一個周期

如:

y=sinx

兀,

-

23721

18.你駕馭常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(-x)的圖象關于y軸對稱

￡(刈與-六心的圖象關于型對稱

f(x)與-f(-x)的圖象關于原點對稱

f(x)與ft(x)的圖象關于直線y=x對稱

f(x)與f(2a-x)的圖象關于直線x=a對稱

f(x)與-f(2a-x)的圖象關于點(a,())對稱

將y=f(x)圖象左移(>。)個單位>丫=f(X+a)

右移a(a>0)個單位y=f(x-a)

上移b(b>0)個單位)y=f(x+a)+b

下移b(b>0)個單位y=f(x+a)-b

留意如下“翻折”變換：

f(x)——>|f(x)|

f(x)—>f(|x|)

如：f(x)=log2(x+1)

作出y=|log2(x+及y=log2|x+的圖象

y

y=log2X

19.你嫻熟駕馭常用函數(shù)的圖象和性質了嗎?

x=a

(1)一次函數(shù)：y=kx+b(kwO)

vk

(2)反比例函數(shù):y=—(k*0)推廣為y=b+———丁0)是中心0'(2,b)

的雙曲線。

(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(ax0)=a(x+&+嶗史圖象為拋物線

4ac-b2>對稱軸x=T

頂點坐標為

4a;

4分C—卜2

開口方向：a>0,向上，函數(shù)丫皿2="------

應用：①“三個二次”(二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的關系

---二次方程

ax2+bx+c=0,△>()時，兩根X?為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸

的兩個交點，也是二次不等式ax?+bx+c>0(<0)解集的端點值。

②求閉區(qū)間［m,n］上的最值。

③求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

如：二次方程ax?

一根大于k,一根小于kof（k）＜0

(4)指數(shù)函數(shù)：y=ax(a>0,awl)

(5)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>(),awl)

由圖象記性質!（留意底數(shù)的限定！）

（6）“對勾函數(shù)”

X

利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)分是什么？

20.你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎？

指數(shù)運算：a°=l(awO),a-p=—(a*0)

ap

m.——I

an=vam(a>0),a"=.——(a>0)

Vam

對數(shù)運算：logaM?N=logaM+logaN(M>0,N>0)

loga2=log；,M-log；,N,logaVM=-logaM

Nn

對數(shù)恒等式：a'°8^=x

對數(shù)換底公式：logab=叢Anlogmb"=3ogab

logtaam

21.如何解抽象函數(shù)問題？

(賦值法、結構變換法)

如:(1)xeR,f(x：^^(x+y)=f(x)+f(y),證明f(x)為奇函數(shù)。

(先令x=y=0=f(0)=0再令y=-x,....)

(2)xeR,f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),證明f(x)是偶函數(shù)。

(先令x=y=-t=f[(-t)(-1)]=f(t,t)

Af(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)

Af(-t)=f(t)……)

(3)證明單調性：f(X2)=f[(X2—xJ+X2]=

22.駕馭求函數(shù)值域的常用方法了嗎？

（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式

法，利用函數(shù)單調性法，導數(shù)法等。）

如求下列函數(shù)的最值：

（1）y=2x-3+J13-4x

2Vx-4

(2)y=

(3)x>3,y=\

(4)y=x+4+j9-x「(設x=3cos0,0G[0,可)

9

(5)y=4x+—,xG(0,1]

x

23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為a,半徑為R的弧長公式和

扇形面積公式嗎?

a=|a|.R,S扇=J.R=Ja|.R2)

24.熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義

sina=MP,cosa=OM,tana=AT

如：若一二＜。＜0,則sin。,cosO,tan。的大小順序是

8--------------

又如：求函數(shù)y=-的定義域和值域。

6

sinx<——，如圖:

2

5冗

,2k兀——<x<2kK

4

25.你能快速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調

區(qū)間、對稱點、對稱軸嗎？

|sinx|<1,|cosx|<1

對稱點為(k0),keZ

7EIT

y=sinx的增區(qū)間為2k兀一5,2k7r+—(kGZ)

減區(qū)間為2k7t+^,2kK+y(keZ)

圖象的對稱點為(ku,0),對稱軸為*=卜兀+］(1<€2)

y=cosx的增區(qū)間為［2k?r,2k兀+兀|(keZ)

減區(qū)間為［21<兀+兀，2k兀+2兀］(keZ)

圖象的對稱點為,兀+^,0),對稱軸為x=k兀(kwZ)

y=tanx的增區(qū)間為(k兀一5,kir+keZ

26.正弦型函數(shù)y=Asin(cox+(p)的圖象和性質要熟記。［或y=Acos3x+叫

2冗

(1)振幅|A|,周期丁=巧

|3|

若f(x0)=土A,則x=Xo為對稱軸。

若f(x0)=0,則(x0,0)為對稱點，反之也對。

(2)五點作圖：令cox+(p依次為0,y,7i,費，2兀，求出x與y,依點

(x,y)作圖象。

(3)根據(jù)圖象求解析式。(求A、co、(p值)

co(X])+(p=0

如圖列出<

co(x2)+(p=-

解條件組求8、年值

-JT

△正切型函數(shù)y=Atan(cox+(p),T=—

27.在三角函數(shù)中求一個角時要留意兩個方面一一先求出某一個三角

函數(shù)值，再判定角的范圍。cosfx+—1,X￡兀，—,求X值。

V6/22_

3n.7K7157r.冗5兀.13、

(?兀<X<---，??----<XH----<----,??XH----=----,??X=----71)

26636412

28.在解含有正、余弦函數(shù)的問題時，你留意(到)運用函數(shù)的有界性

了嗎？

如：函數(shù)y=sinx+sin|x|的值域是

(xiO時，y=2sinxe[-2,2],x<0時，y=0,.*.ye[-2,2])

29.嫻熟駕馭三角函數(shù)圖象變換了嗎？

(平移變換、伸縮變換)

平移公式：

(1)點P(x,y)—=(2k)>p,(X，,y,)，jjiijlx=x+h

平移至[y'=y+k

(2)曲線f(x,丫)=0沿向量2=(11,k)平移后的方程為f(x-h,y-k)=O

如：函數(shù)y=2sin(2x-的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng)=sinx的

圖象?

(y=2sin(2x-；1橫坐標伸長到原來的2倍=2sin_2^x)--

1

一左平%個單位上平移卜個單位,y3nx

=2sin(x-：

縱坐標縮短到原來的1倍

---------------------------2----->y=sinx)

30.嫻熟駕馭同角三角函數(shù)關系和誘導公式了嗎?

如：1=sin2a+cos2a=sec2a-tan2a=tana?cota=cosa?seca=tan—

4

jr

=sin—=cosO=........稱為1的代換。

2

“k?二土a”化為a的三角函數(shù)——“奇變，偶不變，符號看象限”，

2

“奇"、"偶''指k取奇、偶數(shù)。

9兀(一^+sin(21兀)=

如:cos——+tan

4

又如：函數(shù)y=sina+tana,則丫的值為

cosa+cota-----------------

A,正值或負值B,負值C.非負值D.正值

sina

/的11。+sin2a(cosa+1)、

(y=----------期5=_7--------^>0,???aw0)

cosacos-a(sina+1)

cosa+、)

sina

31.嫻熟駕馭兩角和、差、倍、降塞公式與其逆向應用了嗎?

理解公式之間的聯(lián)系:

sin(a±P)=sinacosp±cosasinp-------->sin2a=2sinacosa

cos(a±p)=cosacosp+sinasinp——^a"P->cos2a=cos2a-sin2a

tana±tan22

tan(a±P)^P=2cosa-1=l-2sinan

1+tana?tan0

1+cos2a

cos-2a=---------

lan2a=3^-2

1-tana.1-cos2a

sin-2a=---------

2

22b

asina+bcosa=7a+bsin(a+cp),tancp=—

a

7T

sina+cosa=V2sinla+—

4,

sina+73cosa=2sin[a+]

應用以上公式對三角函數(shù)式化簡。(化簡要求：項數(shù)最少、函數(shù)種類

最少，分母中不含三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。)

詳細方法：

(1)角的變換：如0=(a+B)_a,—馬―(卜。……

(2)名的變換：化弦或化切

(3)次數(shù)的變換：升、降塞公式

(4)形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，留意運用代數(shù)運算。

如：已知；nac/a=卜tan(a-0)=-j,求tan(0-2a)的值。

/f曰sinacosacosa,.1

(由已知得：----Z—=------=1,..tana=-

2sina2sina2

、2

Xtan(p-a)=-

2_2

**一2。)=tan[(P-a)一a]=式骯*3-2=1)

,218

1+—?-

32

32.正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？如何實現(xiàn)邊、角轉化,

而解斜三角形?

,222

余弦定理：a2=b2+c2-2becosA=>cosA=———-----

2be

（應用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）

[a=2RsinA

正弦定理：一^―=-^-=-^=2Ro，b=2RsinB

sinAsinBsinC

c=2RsinC

S=-a?bsinC

△A2

A+B+C=A+B=7i—C

A+BC

sin(A+B)=sinC,sin=cos—

22

A+R

如AABC中，2sin2-------+cos2C=l

2

（1）求角C；

(2)^a2=b2+—,求cos2A-cos2B的值。

2

((1)由已知式得：1—COS(A+B)+2COS2C—1=1

又A+B=兀-C，A2cos2C+cosC-1=0

.??cosC=,或cosC=—l(舍)

2

i71

又0<C<7t,:.c=-

3

(2)由正弦定理及a2=b2+1c2得：

2

2sin2A-2sin2B=sin2C=sin2-=—

34

3

1—cos2A—1+cos2B——

4

3、

...cos2A-cos2B=——)

4

33.用反三角函數(shù)表示角時要留意角的范圍。

反正弦：arcsinxG--,—xG[-L1]

22

反余弦：arccosxG[0,K]xe[-L1]

反正切：arctanx￡,(xeR)

34.不等式的性質有哪些？

c>0=>ac>be

(1)a>b，

c<0=>ac<be

(2)a>b,c>d=>a+c>b+d

(3)a>b>0,c>d>0=>ac>bd

L八L八

(4)a〉b>0=>—1<一1，a<b<0—1>一1

abab

(5)a>b>0=>an>bn,Va>Vb

(6)|x|<a(a>0)<=>-a<x<a,|x|>a<=>x<-a或x>a

如：若！<!<0,則下列結論不正確的是()

ab

A.a2<b2B.ab<b2

C.|a|+|b|>|a+b|D.-+->2

ba

答案：C

35.利用均值不等式：

a?+b222ab(a,beR，)；a+b>2Vab；abVb)求最值時，你是否注

意到“a,beR+”且“等號成立”時的條件，積(ab)或和(a+b)其中之一為定

值？(一正、二定、三相等)

留意如下結論：

>^>Vab>^(a,beR+)

2a+b'>

當且僅當a=b時等號成立。

a2+b2+c2>ab+be+ca(a,beR)

當且僅當a=b=c時取等號。

a>b>0,m>0,n>0,則

bb+m?a+na

—<-------<1<-------<—

aa+mb+nb

4

如：若x>0,2-3x-2的最大值為

x

（設y=2—（3x+3）《2—2至=2-46

當且僅當3x=3,又x>0,..。二冬◎時，ymx=2-473）

x3

又如：x+2y=L則2、+4丫的最小值為

（V2X+22y>242、對=2收，.?.最小值為2后）

36,不等式證明的基本方法都駕馭了嗎？

（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學歸納法等）

并留意簡潔放縮法的應用。

如：證明1+1+1+…+口<2

2232n2

11

1+1-__|--------------1-.?????-j-------------------

223n-1n

=2--<2）

n

37.解分式不等式含〉a（aw0）的一般步驟是什么？

（移項通分，分子分母因式分解，X的系數(shù)變?yōu)?,穿軸法解得結果。）

38.用“穿軸法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，從最大根的右上

方起先

1是偶重根

如：（x+l）（x-l）2（X-2）3<0

39.解含有參數(shù)的不等式要留意對字母參數(shù)的探討

如：對數(shù)或指數(shù)的底分a>1或0<a<1討論

40.對含有兩個肯定值的不等式如何去解？

（找零點，分段探討，去掉肯定值符號，最終取各段的并集。）

例如：解不等式|X-3HX+[<1

4

如：若x>0,2-3x--的最大值為

x---------

（設丫=2一,+9）42一271^=2一4百

當且僅當3x=2,又x>0,.?0=迪時.，yinax=2-473）

x3

又如：x+2y=l,則2*+4〉’的最小值為

（V2X+22y>2亞西=2亞,：.最小值為2后）

36.不等式證明的基本方法都駕馭了嗎？

（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學歸納法等）

并留意簡潔放縮法的應用。

如：證明1+2+二+…+<2

2-32n2

z,1I1,111

2232n21x22x3（n-l）n

,11111

1+1——+---+....+

223n-1n

2--<2)

n

37.解分式不等式黑>a（a二0）的一般步驟是什么？

（移項通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?,穿軸法解得結果。）

38.用“穿軸法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，從最大根的右上

方起先

1是偶重根

如：(x+l)(x-l)2(x-2)3<0

39.解含有參數(shù)的不等式要留意對字母參數(shù)的探討

如：對數(shù)或指數(shù)的底分a〉I或0<a<l討論

40.對含有兩個肯定值的不等式如何去解？

(找零點，分段探討，去掉肯定值符號，最終取各段的并集。)

例如：解不等式|x-3|-|x+l|<l

⑴若m+n=p+q,貝％+a1,=ap+a°；

(2)數(shù)列,吁J，(a2n},{ka_+b}仍為等差數(shù)列；

S“，S2n-Sn,S3n-S2n……仍為等差數(shù)列;

(3)若三個數(shù)成等差數(shù)列，可設為a-d,a,a+d；

(4)若an,b0是等差數(shù)列T”為前n項和，則4=基」；

bmTzm-i

(5){aj為等差數(shù)列0sli=at?+bn(a,b為常數(shù)，是關于n的常數(shù)項為

0的二次函數(shù))

S”的最值可求二次函數(shù)S0=an?+bn的最值；或者求出{an}中的正、負分界

項，即：

a>0

當為>0,d<0,解不等式組L八可得S”達到最大值時的n值。

K，<0

當為<0,d>0,由卜n,°C可得S.達到最小值時的n值。

忸向之。

如：等差數(shù)列a},Sn=18,an+an_,+an_2=3,S3=L貝！Jn=

(由a_+an_|+a?_2=33an_,=3,Aa^,=1

又S3=——?3=3a,=1,.*.a=—

32223

a11

?a_(i+ajn_(a2+an,)?n_Q")

n222

n=27)

44.等比數(shù)列的定義與性質

定義：0=q(q為常數(shù)，qwO),an=aqi

a”

等比中項：x、G、y成等比數(shù)歹U=G，=xy,或G=±&7

na,(q=1)

前n項和：S”=|a[l-q")(要注意！)

H——-(q*o

Ii-q

性質：｛an｝是等比數(shù)列

⑴若m+n=p+q,則am，an=ap,aq

(2)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n……仍為等比數(shù)列

45.由$“求2?時應注意什么？

(n=l時，a]=S[,nN2時,an=Sn—Sn_,)

46.你熟識求數(shù)列通項公式的常用方法嗎？

例如：(1)求差(商)法

如：｛aj滿足ga[+>a?+...+—an=2n+5<1>

解：n=l時，—a,=2x1+5,.,.a,—14

2

a+a

nN2時，^a｝+^22+...^Tn-i=2n-1+5<2>

<l>-<2>得：!a,,=2

?F=2向

.114(n=l)

?*an-12n+i⑺22)

［練習］

數(shù)列｛aj滿足S0+Sn+1=|an+l,a,=4,求a。

(注意到…T代入得:尹4

n

又加=4,.?.｛Sj是等比數(shù)列，Sn=4

n22時，an=Sn-Sn_,=……=3?4"

(2)疊乘法

例如：數(shù)列｛an｝中，a1=3,冬吐求a“

ann+l

解：也.恐……^=1?2……匕，.?.&=1

a】a2an_j23na】n

.3

又=3,??3=一

nn

(3)等差型遞推公式

由a”-a.i=f(n),a,=a(),求a”，用迭加法

nN2時，a2-a1=f(2)'

—a=f(3)—一,,,0

01兩邊相加，得：

a?-an-l=f(n)

an-ai=f(2)+f(3)+……+f(n)

.?.a.=a0+f⑵+f⑶+……+f(n)

［練習］

數(shù)列｛aj，a1=1,a。=3-T+a『|(n、2),求a”

n

(an=1(3-l))

(4)等比型遞推公式

an=can_j+dd為常數(shù)，cwO,col,dwO)

可轉化為等比數(shù)列，設a“+x=c(an_+x)

nan=ca.T+(c-l)x

令(c-l)x=d,/.x=—^―

c-1

是首項為由+—L,c為公比的等比數(shù)列

c-1

［練習］

數(shù)列｛aj滿足a1=9,3a“+|+an=4,求a”

(5)倒數(shù)法

2a

例如：a,=1,aj=------,求a

an+2

由已知得：」_=匕±2='+-L

^n+l2@n23n

.?1-------1=一1

^n+12

為等差數(shù)列，-=i,公差為工

lanja12

J=l+(n-l)?|=1(n+l)

.2

??an=-----7

n+1

47.你熟識求數(shù)列前n項和的常用方法嗎？

例如：(1)裂項法：把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成

對互為相反數(shù)的項。

如：｛a0｝是公差為d的等差數(shù)列，求之n」1一

k=lakak+l

解：由-------=-=-----(d*0)

ak,ak+Iak(ak+d)d<akak+1J

,01='1(1____—

>\=iakak+lk=,dlakak+J

[練習1

求X和n：,1+---?---+------?-----+.........+-------------1------------

1+21+2+31+2+3+.........+n

(an=.......=.........，Sn=2-----)

n+1

(2)錯位相減法：

若｛aj為等差數(shù)列，｛bj為等比數(shù)列，求數(shù)列｛an、｝(差比數(shù)列)前n項

和，可由Sn-qS”求S”，其中q為｛bj的公比。

23n-1

如：Sn=l+2x+3x+4x+.......+nx<1>

234n-111

x?Sn=x+2x+3x+4x+.......+(n-l)x+nx<2>

<1>—<2>：(1—X)S[]=1+x+x-+........+xn1—nx11

x=1時，S=1+2+3+.......+n=----------

n2

(3)倒序相加法：把數(shù)列的各項依次倒寫，再與原來依次的數(shù)列相

加。

S=a.+a?+........+a,+a.,

"12"in[＞相加

s”=a0+an-1++a2+a]

2Sn=(a,+a?)+(a2+an.l)++(3|+aj

［練習］

已知f(x)=,則f(l)+f(2)+f(g)+f(3)+f(1+f(4)+f(￡|=

+f(4)+fW

.?.原式=~1)+f⑵+f

=—+1+1+1=3—)

48.你知道儲蓄、貸款問題嗎？

△零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型：

若每期存入本金p元，每期利率為r,n期后，本利和為：

S"=p(l+r)+p(l+2r)+........+p(l+nr)=pn+"r.......等差問題

△若按復利，如貸款問題一一按揭貸款的每期還款計算模型(按揭貸

款一一分期等額歸還本息的借款種類)

若貸款(向銀行借款)P元，采納分期等額還款方式，從借款日算起,

一期(如一年)后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。假如每期利

率為r(按復利)，則每期應還x元，滿意

p(l+r)n=x(l+r)n-'+x(l+r)"-2+.......+x(l+r)+x

1+r)

(1+r

pr(l+r)"

(l+r)-

p——貸款數(shù)，r——利率，n——還款期數(shù)

49.解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無

序組合。

(1)分類計數(shù)原理：N=m,+m2++mn

(nij為各類辦法中的方法數(shù))

分步計數(shù)原理：N=m,,m2...in,,

(mj為各步驟中的方法數(shù))

(2)排列：從n個不同元素中，任取m(mWn)個元素，依據(jù)肯定的

依次排成一

列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數(shù)記為A〉

nf

Ar=n(n-l)(n-2)...(n-m+1)=1―-(m<n)

(n—mJ!

規(guī)定：0!=l

(3)組合：從n個不同元素中任取m(mWn)個元素并組成一組，叫

做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合，所有組合個數(shù)記為C〉

cm=AI=n(n-l)……(n-m+l)=n!

nA：m!m!(n-m)!

規(guī)定：C：=l

(4)組合數(shù)性質：

C'=c『C,+C『=CM，C：+C；+……+C>2"

50.解排列與組合問題的規(guī)律是：

相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分

類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采納隔板法，數(shù)量不大時可

以逐一排出結果。

如：學號為1,2,3,4的四名學生的考試成果

Xi<89,90,91,92,93),(i=l,2,3,4)K^^x(<x2<x3<x4,

則這四位同學考試成果的全部可能狀況是()

A.24B.15C.12D.10

解析：可分成兩類：

(1)中間兩個分數(shù)不相等，

□□□□

X]<X?VX3Vx4

有C：=5(種)

(2)中間兩個分數(shù)相等

X]<X?=X3<X4

相同兩數(shù)分別取90,91,92,對應的排列可以數(shù)出來，分別有3,4,

3種，.?.有10種。

???共有5+10=15(種)狀況

51.二項式定理

(a+b)"=C>"+C'an-'b+C;an-2b2+—+C>nrbr+—+C"bn

nrr

二項展開式的通項公式：Tr+I=C>-b(r=O,1……n)

C：為二項式系數(shù)(區(qū)別于該項的系數(shù))

性質：

(1)對稱性：C：=C7(r=O,1,2,...,n)

(2)系數(shù)和：C：+C；+…+C：=2"

C；+C：+C：+…=C；+C：+C：+…=2-'

(3)最值：n為偶數(shù)時，n+1為奇數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大

且為第

(g+lj項，二項式系數(shù)為n為奇數(shù)時，(n+1)為偶數(shù)，中間兩項的二項式

1?n-In+1

系數(shù)最大即第券項及第三+i項，其二項式系數(shù)為c?=c/

如：在二項式(x-1)”的展開式中，系數(shù)最小的項系數(shù)為(用數(shù)字

表示)

(Vn=ll

???共有12項，中間兩項系數(shù)的絕對值最大，且為第1上7=6或第7項

2

由C；XF-1)「，?,?取r=5即第6項系數(shù)為負值為最小：

Y=-CM=-426

200422(XM

又如：(1-2x)=a0+a,x+a2x+....4-a20G4x(xGR),則

a

(o+aI)+(a0+a2)+(a0+a3)+....+(a°+a2(m)=(用數(shù)字作答)

(令x=0,得：a()=1

令x=1,得：a()+a2+...+a2(K)4=1

/.原式=2003a。+(