惠陽華附2024--2025學年第二學期高一年級第一次月考試卷（數學）全卷滿分150分，時間120分鐘.2025.3注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號、座位號、學校、班級等考生信息填寫在答題卡上.2.作答單項及多項選擇題時，選出每個小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案信息點涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效.3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無效.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復數的乘法化簡可得結果.【詳解】.故選：D.2.已知向量，，若與共線，則實數（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先求得的坐標，再根據向量與共線求解.【詳解】已知向量,,所以，因為與共線，所以，解得：.故選：C3.已知等邊的邊長為1，點分別為的中點，若，則（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】取為基底，利用平面向量基本定理結合已知條件求解即可.【詳解】在中，取為基底，因為點分別為的中點，，所以，所以.故選：A.4.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據數量積的定義結合充分條件、必要條件的概念可得結果.【詳解】由可得，故，所以.由可得，故，而方向不一定相同，故.不能得到.綜上得，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.在△ABC中，D是BC上一點，滿足，M是AD的中點，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量線性運算相關計算方式計算即可.【詳解】由題可知，，,所以有，所以，得.故選：C6.已知在直角中，角所對邊分別為，若且滿足，，且點在上，則值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據直角三角形的幾何性質，結合相似三角形的性質，利用平面向量的數量積的定義公式，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：由，則由，則，解得，易知，則，即，.故選：B.7.歐拉是十八世紀數學界最杰出的人物之一，數學史上稱十八世紀為“歐拉時代”.1735年，他提出公式：復數是虛數單位.已知復數，設，則的值可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】變形復數，再利用復數的乘法運算求出，并表示成形式作答.【詳解】，，，依題意，，當時，，B正確，ACD錯誤故選：B8.已知平面向量，滿足，，且在上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對已知兩個向量模長平方得到兩個等式，由此解出，結合在上的投影向量為，解出和，從而解出與的夾角.【詳解】由，得①，由，得②，由②-①，得，由，得，所以，則，設與的夾角為，則，因為，所以.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數，，則（）A.的虛部為1 B.為純虛數C. D.在復平面內對應的點位于第一象限【答案】BCD【解析】【分析】化簡，再由復數的定義判斷A，計算后判斷BCD．【詳解】，虛部為2，A錯；，是純虛數，B正確；，C正確；，對應點坐標為，在第一象限，D正確，故選：BCD．10.在中，角，，的對邊分別為，，，若，且，則不可能為（）A.等腰直角三角形 B.等邊三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形【答案】BCD【解析】【分析】由余弦定理求出，然后可得角，然后可選出答案.【詳解】由余弦定理，所以，又，所以，故為等腰直角三角形.故選：BCD【點睛】本題考查的是利用余弦定理解三角形，較簡單.11.如圖，某旅游部門計劃在湖中心處建一游覽亭，打造一條三角形游覽路線．已知是湖岸上的兩條甬路，（觀光亭視為一點，游覽路線、甬路的寬度忽略不計），則（）A.B.當時，C.面積的最大值為D.游覽路線最長為【答案】ACD【解析】【分析】運用正余弦定理解三角形即可判斷AB，在用余弦定理解三角形的同時結合基本不等式即可判斷CD.【詳解】在中，由余弦定理得，所以正確；在中，由正弦定理，得錯誤；在中，由余弦定理，，當且僅當時等號成立，所以，則的面積為，C正確；由上可得，所以，當且僅當時等號成立，所以，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知向量和向量的夾角為30°，，，則______．【答案】3【解析】【分析】條件中給出兩個向量的模和向量的夾角，直接代入公式進行計算即可．【詳解】解：量和向量的夾角為，，，又，.故答案為：3．13.已知是虛數單位，復數，則|z|＝______．【答案】【解析】【分析】根據復數的運算法則和周期性可得結果.【詳解】根據的周期性（周期為），即，，，，所以有,可知,.故答案為：14.在中，，，則的值為______．【答案】【解析】【分析】利用向量的數量積化簡已知條件，再利用余弦定理和正弦定理化簡即可求解.【詳解】在中，，可得即由余弦定理可知，可得，由正弦定理可知，因為，所以.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是將已知條件轉化為三角形的邊和角，再利用正弦和余弦定理計算.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設，是兩個不共線的向量，已知，，．（1）求證：，，三點共線；（2）若，且，求實數的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先根據向量的線性運算，求得，再判斷與的關系，即可證明.（2）根據向量平行的結論，求參數的值.【小問1詳解】由已知，得．因為，所以.又與有公共點，所以，，三點共線．【小問2詳解】由（1），知，若，且，可設（），所以，即．又，是兩個不共線的向量，所以，解得．16.已知，.（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量的模．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用數量積的運算律求出，再求出.（2）利用投影向量的意義，結合向量模的定義求解.【小問1詳解】由，得，而，則，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，，向量在向量上的投影向量為，所以向量在向量上的投影向量的模為.17.△ABC中，角A、B、C的對邊為a，b，c，已知，且.（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的周長的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊及余弦定理即可求解；（2）由數量積可求出，結合（1）可求出，進而可知△ABC的周長.【小問1詳解】因，所以，即，所以，因為，所以【小問2詳解】因為，所以，即，所以，由（1）知，所以又，所以，解得，所以△ABC周長為，所以△ABC的周長為.18.養殖戶承包一片靠岸水域，如圖所示，，為直線岸線，千米，千米，，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧，過弧上一點P按線段和修建養殖網箱，已知．（1）求岸線上點A與點B之間的直線距離；（2）如果線段上的網箱每千米可獲得2萬元的經濟收益，線段上的網箱每千米可獲得4萬元的經濟收益．記，則這兩段網箱獲得的經濟總收益最高為多少萬元？【答案】（1）千米（2）萬元【解析】【分析】（1）由余弦定理計算即可；（2）先由正弦定理計算出相關長度，再計算收益表達式，最后由輔助角公式求最值.【小問1詳解】在中，由余弦定理，得即岸線上點與點之間的直線距離為千米．【小問2詳解】在中，，則，設兩段網箱獲得的經濟總收益為萬元，則因為，所以，所以所以兩段網箱獲得的經濟總收益最高接近萬元．19.對于給定的正整數n，記集合，其中元素稱為一個n維向量，特別地，稱為零向量.設，，，定義加法和數乘：，.對一組向量，，…，，若存在一組不全為零的實數，，…，，使得，則稱這組向量線性相關，否則稱為線性無關.（1）判斷下列各組向量是線性相關還是線性無關，并說明理由.①，；②，，；（2）已知，，線性無關，判斷，，是線性相關還是線性無關，并說明理由.（3）已知個向量，，…，線性相關，但其中任意個都線性無關，證明：①如果存在等式，則這些系數，，…，或者全為零，或者全不為零；②如果兩個等式，同時成立，其中，則.【答案】（1）①線性無關；②線性相關；理由見解析（2）向量，，線性無關；理由見解析（3）①證明見解析；②證明見解析【解析】【分析】（1）根據向量線性相關的定義逐一判斷即可；（2）設，則，然后由條件得到即可判斷；（3）①如果某個，，然后證明，，……，，，……，都等于0即可；②由可得，然后代入根據題意證明即可.【小問1詳解】對于①，設，則可得，所以，線性無關；對于②設，則可得，所以，，可取不全為零，故，線線性相關；【小問2詳解】設，