莆田十五中2024-2025學(xué)年下學(xué)期第一次月考高一數(shù)學(xué)試題（考試用時(shí)：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）一、單選題：（每題5分，共40分.在四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求.）1.設(shè)分別為內(nèi)角的對(duì)邊，則下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)余弦定理，即可求解.【詳解】根據(jù)余弦定理可知，.故選：B2.下面命題中，正確的是（）A.若，則 B.若，則 C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷【詳解】對(duì)于，若，但兩向量方向不確定，則不成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，向量無(wú)法比較大小，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則兩向量反向，因此，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，若，則，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C3.已知向量，，若與共線，則實(shí)數(shù)（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】向量，，若與共線，則，所以.故選：C.4.已知四邊形是平行四邊形，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得答案.【詳解】因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?故選：A5.若在中，，且，，則的形狀是（）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【答案】D【解析】【分析】結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律得，即可判斷求解．【詳解】在中，，且，，則，即，即AB⊥BC，，則的形狀是等腰直角三角形．故選：D6.如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東方向處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險(xiǎn)漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖可知，由正弦定理即可求出BC的值.【詳解】由題意知，，由正弦定理得，所以.故乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為.故選：B.7.中，角，，的對(duì)邊分別是，，，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得，再由正弦定理得到，即可求出，從而得解.【詳解】由有，由正弦定理有，又，即，所以，又，則.故選：D8.在等腰梯形中，已知，，，.動(dòng)點(diǎn)和分別在線段和上，且，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，先化簡(jiǎn)得到，，再利用向量的數(shù)據(jù)的運(yùn)算公式，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】在等腰梯形中，已知，且，所以，，因?yàn)椋瑒t，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)是平面內(nèi)一個(gè)基底，則下列四組基底中，能作為基底的有（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量共線分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得出基底.【詳解】選項(xiàng)A，假設(shè)與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，因?yàn)?，是基底，所以無(wú)解，所以與不共線，可以作為基底.選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以與共線，不能作為基底.選項(xiàng)C，假設(shè)與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，因?yàn)?，是基底，所以無(wú)解，所以與不共線，可以作為基底.選項(xiàng)D，假設(shè)與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，因?yàn)?，是基底，所以無(wú)解，所以與不共線，可以作為基底.故選：ACD.10.如圖，在四邊形中，若，則圖中相等的向量是（）A與 B.與 C.與 D.與【答案】AD【解析】【分析】由可得四邊形是平行四邊形，從而結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可．【詳解】對(duì)A,由，四邊形是平行四邊形，所以，選項(xiàng)A正確；對(duì)BD,平行四邊形對(duì)角線與互相平分，得，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；對(duì)C,顯然與相交，他們不是相等向量，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；故選：AD11.已知中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列命題中，正確的命題是（）A.若，則為等腰三角形B若，則C.若，，則面積最大值為3D.，角B的平分線BD交AC邊于D，且，則的最小值為12【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)正弦定理和二倍角公式即可判斷AB；對(duì)C，利用余弦定理和二次函數(shù)性質(zhì)即可判斷；對(duì)D，根據(jù)三角形面積公式和乘“1”法即可判斷.【詳解】對(duì)于A：若，根據(jù)正弦定理則，即，因?yàn)椋曰蚣椿颍詾榈妊切位蛑苯侨切危珹錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)椋瑒t，，則根據(jù)正弦定理有，故B正確；對(duì)C，設(shè)，.則，，所以，當(dāng)時(shí)，三角形的面積取得最大值，故C正確；對(duì)D，由題意可知，，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡(jiǎn)得，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，則D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，若，，則__________【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的減法，可得答案.【詳解】.故答案為：.13.在中，若，，，則__________【答案】【解析】【分析】利用求出，再利用正弦定理即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，由正弦定理，可?故答案為：14.圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標(biāo)志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對(duì)稱(chēng)之美．為了估算圣．索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得建筑物頂A、教堂頂C的仰角分別是45°和60°，在建筑物頂A處測(cè)得教堂頂C的仰角為15°，則可估算圣．索菲亞教堂的高度CD約為_(kāi)_____．【答案】54m【解析】【分析】根據(jù)題意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.【詳解】由題可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，所以由正弦定理可得，所以，則在直角中，，即圣·索菲亞教堂的高度約為54m.故答案為：54m.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知，，且與夾角為120°，求：（1）；（2）在上的投影；（3）與的夾角.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)投影的定義即可求出；（3）根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算即可.【詳解】解：（1）∵，，且與夾角為120°，∴，∴（2）在上的投影為，（3）∵，∴，∴∴與的夾角為.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積公式和向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.16.已知.（1）當(dāng)k為何值時(shí)，與共線；（2）若，且三點(diǎn)共線，求m的值以及.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）利用平面向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算即可；（2）利用平面向量共線的坐標(biāo)表示，及模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】易知，所以，即時(shí)，與共線；【小問(wèn)2詳解】易知，由三點(diǎn)共線得，17.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，已知已知.（1）求角的大??；（2）若，，求的值；（3）若，判斷的形狀．【答案】（1）；（2）；（3）正三角形．【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答.（2）代入給定等式計(jì)算作答（3）根據(jù)已知條件可得，再結(jié)合（1）確定三角形的形狀作答.【小問(wèn)1詳解】在中，由及余弦定理得，而，所以.【小問(wèn)2詳解】由，及，得，所以.【小問(wèn)3詳解】由及，得，則，由（1）知，所以為正三角形.18.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平行向量的坐標(biāo)公式代入化簡(jiǎn)結(jié)合正弦定理即可得出答案；（2）由余弦定理求出，進(jìn)而結(jié)合三角形的面積公式可得出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，且，則.，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，可得，即且，所?【小問(wèn)2詳解】在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得，或（舍），所以的面積.19.如圖所示，已知在中，點(diǎn)是以