PAGEPAGE1課時作業(yè)41直線、平面平行的判定和性質(zhì)[基礎達標]一、選擇題1．已知α∥β，a?α，B∈β，則在β內(nèi)過點B的全部直線中()A．不肯定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在多數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一一條與a平行的直線解析：因為a與點B確定一個平面，該平面與β的交線即為符合條件的直線．答案：D2．[2024·河南開封模擬]在空間中，a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中的真命題是()A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a?α，b?β，α⊥β，則a⊥bC．若a∥α，a∥b，則b∥αD．若α∥β，a?α，則a∥β解析：對于A，若a∥α，b∥α，則a，b可能平行，可能相交，可能異面，故A是假命題；對于B，設α∩β＝m，若a，b均與m平行，則a∥b，故B是假命題；對于C，b∥α或b在平面α內(nèi)，故C是假命題；對于D，若α∥β，a?α，則a與β沒有公共點，則a∥β，故D是真命題．故選D.答案：D3．[2024·石家莊模擬]過三棱柱ABC－A1B1C1的隨意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1AA．4條B．6條C．8條D．12條解析：如圖，H，G，F(xiàn)，I是相應線段的中點，故符合條件的直線只能出現(xiàn)在平面HGFI中，有FI，F(xiàn)G，GH，HI，HF，GI共6條直線，故選B.答案：B4．[2024·山東聊城模擬]下列四個正方體中，A，B，C為所在棱的中點，則能得出平面ABC∥平面DEF的是()解析：在B中，如圖，連接MN，PN，∵A，B，C為正方體所在棱的中點，∴AB∥MN，AC∥PN，∵MN∥DE，PN∥EF，∴AB∥DE，AC∥EF，∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB、AC?平面ABC，DE、EF?平面DEF，∴平面ABC∥平面DEF.故選B.答案：B5．[北京卷]設α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：當m∥β時，過m的平面α與β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；當α∥β時，α內(nèi)任始終線與β平行，因為m?α，所以m∥β.綜上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件．答案：B二、填空題6．已知平面α∥平面β，P是α，β外一點，過P點的兩條直線AC，BD分別交α于A，B，交β于C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，則CD的長為________．解析：若P在α，β的同側，由于平面α∥平面β，故AB∥CD，則eq\f(PA,PC)＝eq\f(PA,PA＋AC)＝eq\f(AB,CD)，可求得CD＝20；若P在α，β之間，則eq\f(AB,CD)＝eq\f(PA,PC)＝eq\f(PA,AC－PA)，可求得CD＝4.答案：20或47．[2024·廣州高三調(diào)研]正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點M為CC1的中點，點N為線段DD1上靠近D1的三等分點，平面BMN交AA1于點Q，則線段AQ解析：如圖所示，在線段DD1上靠近點D處取一點T，使得DT＝eq\f(1,3)，因為N是線段DD1上靠近D1的三等分點，故D1N＝eq\f(2,3)，故NT＝2－eq\f(1,3)－eq\f(2,3)＝1，因為M為CC1的中點，故CM＝1，連接TC，由NT∥CM，且CM＝NT＝1，知四邊形CMNT為平行四邊形，故CT∥MN，同理在AA1上靠近A處取一點Q′，使得AQ′＝eq\f(1,3)，連接BQ′，TQ′，則有BQ′∥CT∥MN，故BQ′與MN共面，即Q′與Q重合，故AQ＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8.[2024·福建泉州模擬]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，當點Q________時，平面D1BQ∥平面PAO①與C重合②與C1重合③為CC1的三等分點④為CC1的中點解析：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，∵O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，∴PO∥BD1，當點Q為CC1的中點時，連接PQ，則PQ綊AB，∴四邊形ABQP是平行四邊形，∴AP∥BQ，∵AP∩PO＝P，BQ∩BD1＝B，AP、PO?平面PAO，BQ、BD1?平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO.故選④.答案：④三、解答題9.[2024·安徽合肥一中模擬]如圖，四棱錐P－ABCD中，E為AD的中點，PE⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝2eq\r(3)，AC∩BD＝F，且△PAD與△ABD均為正三角形，G為△PAD重心．(1)求證：GF∥平面PDC；(2)求三棱錐G－PCD的體積．解析：(1)證明：連接AG交PD于H，連接CH.由四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝2DC，知eq\f(AF,FC)＝eq\f(2,1)，又G為△PAD的重心，∴eq\f(AG,GH)＝eq\f(2,1)，在△ACH中，eq\f(AG,GH)＝eq\f(AF,FC)＝eq\f(2,1)，故GF∥HC.又HC?平面PDC，GF?平面PDC，∴GF∥平面PDC.(2)由AB＝2eq\r(3)，△PAD，△ABD為正三角形，E為AD中點得PE＝3，由(1)知GF∥平面PDC，又PE⊥平面ABCD，∴VG－PCD＝VF－PCD＝VP－CDF＝eq\f(1,3)·PE·S△CDF，由四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝2DC＝2eq\r(3)，△ABD為正三角形，知DF＝eq\f(1,3)BD＝eq\f(2,3)eq\r(3)，∠CDF＝∠ABD＝60°，∴S△CDF＝eq\f(1,2)CD·DF·sin∠CDF＝eq\f(\r(3),2)，∴VP－CDF＝eq\f(1,3)PE·S△CDF＝eq\f(\r(3),2)，∴三棱錐G－PCD的體積為eq\f(\r(3),2).10.[2024·江西臨川二中月考]如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為AD，PA的中點，點Q是BC上一個動點．(1)當Q是BC中點時，求證：平面BEF∥平面PDQ；(2)當BD⊥FQ時，求eq\f(BQ,QC)的值．解析：(1)證明：∵E，Q分別是矩形ABCD的對邊AD，BC的中點，∴ED＝BQ，ED∥BQ，∴四邊形BEDQ是平行四邊形，∴BE∥DQ.又BE?平面PDQ，DQ?平面PDQ，∴BE∥平面PDQ.∵F是PA的中點，E是AD的中點，∴EF∥PD，∵EF?平面PDQ，PD?平面PDQ，∴EF∥平面PDQ，∵BE∩EF＝E，BE、EF?平面BEF，∴平面BEF∥平面PDQ.(2)連接AQ.∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD.∵BD⊥FQ，PA∩FQ＝F，PA、FQ?平面PAQ，∴BD⊥平面PAQ，∵AQ?平面PAQ，∴AQ⊥BD，在矩形ABCD中，由AQ⊥BD得△AQB∽△DBA，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(BQ,AB)，∴AB2＝AD·BQ，又AB＝1，AD＝2，∴BQ＝eq\f(1,2)，則QC＝eq\f(3,2)，∴eq\f(BQ,QC)＝eq\f(1,3).[實力挑戰(zhàn)]11．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E為PC的中點．(1)求三棱錐A－PDE的體積；(2)AC邊上是否存在一點M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由．解析：(1)因為PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.又因為ABCD是矩形，所以AD⊥CD.因為PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PCD，所以AD是三棱錐A－PDE的高．因為E為PC的中點，且PD＝DC＝4，所以S△PDE＝eq\f(1,2)S△PDC＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×4×4))＝4.又AD＝2，所以VA－PDE＝eq\f(1,