PAGEPAGE1第十一講定值問題【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下一．定值問題，是指雖然圓錐曲線中的某些要素（通常可通過變量進行體現）有所改變，但在改變過程中，某個量的值保持不變即為定值.二、常見定值問題的處理方法：（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示（2）將所求表達式用核心變量進行表示（有的甚至就是核心變量），然后進行化簡，看能否得到一個常數.三、定值問題的處理技巧：（1）對于較為困難的問題，可先采納特別位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進而給后面一般狀況的處理供應一個方向.（2）在運算過程中，盡量削減所求表達式中變量的個數，以便于向定值靠攏（3）奇妙利用變量間的關系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算【修煉套路】【修煉套路】為君聊賦《今日詩》，努力請從今日始考向一特別探究，一般證明【例1】過拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點F作始終線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則+等于（）A．2a B． C．4a D．【答案】C【解析】方法一：特別探究，一般證明令過焦點F直線與x軸垂直，則直線的方程為，所以圖圖1方法二：干脆推理求值如圖所示：與拋物線聯立∴，【舉一反三】1.已知橢圓C：x2a2+y（1）求橢圓C的標準方程.（2）設直線l與C交于M，N兩點，點D在C上，O是坐標原點，若OM+ON=OD，判定四邊形【答案】(1)x2【解析】（1）因為橢圓C的離心率e=22，所以a2因為點(2,1)在橢圓C上，所以由a2=2b22a2（2）當直線l的斜率不存在時，直線MN的方程為x=-1或x=1，此時四邊形OMDN的面積為6.當直線l的斜率存在時，設直線l的方程是y=kx+m，聯立方程組y=kx+mx24+yΔ=8(4k2+2-m2y1+y點O到直線MN的距離是d=m由OM+ON=OD，得因為點D在曲線C上，所以有(-4km1+2k由題意，四邊形OMDN為平行四邊形，所以四邊形OMDN的面積為SOMDN由1+2k2=2m2，得S2．已知橢圓E:x2a2+y2（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓E右焦點F的直線l與橢圓交于兩點A、B，在x軸上是否存在點M，使得MA?MB為定值？若存在，求出點【答案】（1）x24+y【解析】（Ⅰ）∵拋物線y2=4x的焦點為(1,0)，∴F(1,0)，∴又因為橢圓的離心率為12，即ca=12，∴a=2因此，橢圓的方程為x2（Ⅱ）假設存在點M(x0,0)當直線l的斜率不為零時，可設直線l的方程為x=my+1，聯立x24+設A(x1,y1)、MA=(x1∴MA=-9(要使上式為定值，即與m無關，應有6x0-153=-當直線l的斜率為零時，不妨設A(-2,0)、B(2,0)，當點M的坐標為(118,0)綜上所述，存在點M(118,0)考向二干脆推理求值【例2】已知橢圓C：x2a2（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知A（0，b），B（a，0），點P是橢圓C上位于第三象限的動點，直線AP、BP分別將x軸、y軸于點M、N，求證：|AN|?|BM|為定值．【答案】(1)x24+y【解析】（1）由題意可得：3a2+14b2=1，ca=32，a2=b2+∴橢圓C的方程為：x24+y（2）證明：設P（x0，y0），（x0＜0，y0＜0）A（2，0），B（0，1）．x02+4可得直線BP，AP的方程分別為：y=y0-1x0x+1，y=可得：M（x02-y0，0），∴|AM|?|BN|=（2-x02-y0）（1-2y02-x0【舉一反三】1．已知橢圓C1：x2a2+y2b2（1）求橢圓C1（2）設點M是橢圓C1上的隨意一點，射線MO與橢圓C2交于點N，過點M的直線l與橢圓C1有且只有一個公共點，直線l與橢圓C2交于A，【答案】（1）x2【解析】（1）因為C1的離心率為63，所以69將點(32,32聯立①②，得a2=1，b2=1（2）證明：①當直線l的斜率不存在時，點M為(1,0)或(-1,0由（1）知橢圓C2的方程為x23將x=1代入橢圓C2的方程得y=±所以SΔNAB②當直線l的斜率存在時，設其方程為y=kx+m，將y=kx+m代入橢圓C1得(1+3k由題意得Δ=(6km)2-4(1+3將y=kx+m代入橢圓C2的方程，得(1+3設A(x1,y1)，所以AB=設M(x0,y0)，N(x因為x02+3y02=1所以ON=3MO又因為點O到直線l的距離為d=m1+k2，所以點N到直線所以SΔNAB綜上，ΔNAB的面積為定值2+2．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，A，B分別為橢圓C的左、右頂點，F為橢圓C的右焦點，過F的直線l與橢圓C（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線l的斜率為k(k≠0)，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M，求證：|MF||PQ|【答案】（Ⅰ）x2【解析】（Ⅰ）由：x2a2+y2b則S四邊形APBQ=∵e=ca=12，∴a=2c，a2=證明：（Ⅱ）由題意可知F(1,0)，直線l的方程為由x24設Px1,∴x1+x∴y1設PQ的中點為N，則N4則MN的過程為y+3k令y=0，可得Mk24∵|PQ|=1+k2考向三問題轉化【例3】．已知定點F1,0，橫坐標不小于0的動點在y軸上的射影為H，若TF（1）求動點T的軌跡C的方程；（2）若點P4,4不在直l:y=kx+m線上，并且直線l與曲線C相交于A,B兩個不同點.問是否存在常數k使得當m的值改變時，直線PA,PB斜率之和是一個定值.若存在，求出k【答案】（1）y2【解析】（1）設點T在直線x=-1上的射影是R，則由于T的橫坐標不小于0，所以TR=TH+1，又即點T到F1,0的距離與T到直線x=-1的距離相等，所以T的軌跡是以F1,0為焦點，以x=-1為準線的拋物線.即C（2）由于A,B在曲線C:y2=4xPA的斜率k1=a-4a又曲線C與直線l相交于A,B兩點，所以k≠0，于是聯立方程，得y2=4xy=kx+m∴k1+k此式隨著m的改變，值也在改變，所以不存在k值滿意題意.【舉一反三】1.在直角坐標系xOy中，拋物線C：x2=6y與直線l：y=kx+3交于M，（1）設M，N到y軸的距離分別為d1，d2，證明：d1（2）y軸上是否存在點P，當k改變時，總有∠OPM=∠OPN？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）存在,P(0,-3)【解析】（1）證明：將y=kx+3代入x2=6y，得設M(x1,y1)，（2）解：存在符合題意的點，證明如下：設P(0,b)為符合題意的點，直線PM，PN的斜率分別為k1，k從而k1當b=-3時，有k1+k2=0對隨意k恒成立，則直線PM的傾斜角與直線PN【運用套路】【運用套路】紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行1．已知拋物線C:x2=2pyp>0,直線l經過拋物線(1)求拋物線C的方程；(2)已知P2,1，過(-2,0)的直線m與拋物線C相交于A,B兩點，設直線PA與PB的斜率分別為k1和【答案】（1）x2=4y；（2）【解析】（1）由題意得拋物線C:x2=2py∴過焦點與對稱軸垂直的直線為y=p∴直線y=p2與拋物線的兩個交點為(-p,p∴拋物線C的方程為x2（2）由題意直線m的斜率存在，設其方程為y=k(x+2)，由y=kx+2x2∵直線m與拋物線交于兩點，∴Δ=16k2+32k>0，解得k<-2設Ax1,∴k1∴k1?k2．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率不為0的直線與橢圓C相交于M，N兩個不同點，且OMPN是平行四邊形，證明：四邊形OMPN的面積為定值.【答案】（1）x2【解析】（1）由題意得ca=12,（2）設直線MN的方程為y=kx+m(k≠0)，Mx1,y由y=kx+mx24∴x1∵OMPN是平行四邊形，∴OP∴x0=∴64k2此時Δ=(8km)∴x1+∴|MN|=1+點O到直線MN的距離為d=|m|1+k3．已知拋物線的頂點為原點，關于y軸對稱，且過點N(-1,1（1）求拋物線的方程；（2）已知C(0,-2)，若直線y=kx+2與拋物線交于A，B兩點，記直線CA，CB的斜率分別為k1，k2，求證：【答案】（1）x2【解析】（1）設拋物線為x2=2py(p≠0)，將N(-1,12)代入得p=1（2）設A(x1,y1)，則x1+x2=2k∴k1k2=y4．已知在平面直角坐標系中，坐標原點為O，點A(-3p,0)(p>0)，B、C兩點分別在y軸和x軸上運動，并且滿意AB?BQ=0，BC=1（1）求動點Q的軌跡方程；（2）作曲線M的隨意一條切線（不含y軸）l，直線x=-2p與切線l相交于E點，直線x=2p與切線l、x軸分別相交于F點與D點，摸索究DE2-D【答案】（1）y2【解析】（1）設Q(x,y)，B(0,y0)，C(x0∵BC=12CQ，∴(x0,-y0又AB?BQ=0，∴y2=4px(p>0)（2）DE求解如下：由題可知切線l的斜率存在，設切線l的方程為y=kx+b，代入y2=4px可得由Δ=0可得kb=p.由題設及直線l方程易得E(-2p,b-2kp)，F(2p,b+2kp)，D(2p,0)，DE又kb=p，∴DE2-D5．已知O為坐標原點，橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，直線l：y=kx+t交橢圓于A，B兩點，（1）求橢圓方程；（2）摸索究四邊形OAMB的面積是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）x2【解析】（1）由ca=12?設A(x1,y1)，兩式相減整理得34當k=12時，34將y=12x+1與y=-32x聯立，解得OM中點坐標為整理得3?(-1)2+4?322=12（2）設AB中點為(x1,y1把y=kx+t代入橢圓C，整理得(3+4kΔ=48(4k2-t2所以x0=-4kt設M(xM,yM代入橢圓C，得3?64y1①當k≠0時，設y=kx+t交x軸于點P，則xPSΔAOB②當k=0時，ΔAOB的面積為32，故ΔAOB面積為定值3因為S四邊形OAMB=2S6．已知橢圓C:x2a2+（1）求橢圓C的標準方程；（2）不過原點的直線l與橢圓C交于M，N兩點，若三直線OM、l、ON的斜率與k1，k，k2點成等比數列，求直線l的斜率及【答案】(1)x24【解析】（1）依題意得c=3又a2-b2（2）設直線l的方程為y=kx+mm≠0，由y=kx+mx24∴x1由題設知k2∴kmx1+∵m≠0，∴k2此時(則OM==故直線l的斜率為k=±17．已知雙曲線的中心在原點，對稱軸為坐標軸，一條漸近線方程為y=43x，右焦點F(5,0)，雙曲線的實軸為A1A2，P為雙曲線上一點（不同于A1，A2），直線A1（1）求雙曲線的方程．（2）證明FM?【答案】（1）x29-【解析】試題分析：(Ⅰ)先設雙曲線方程為:x2a2(Ⅱ)依據題意,易得A1(-3,0)、A2(3,0)、F(5,0),設P(x,y)，試題解析：（1）依題意可設雙曲線方程為：x2則ba=4（2）A1(-3,0)、設P(x,y)，M95,y0∵A1、P、M三點共線，∴(x+3)y0-24同理得N95,-6y5(x-3)，FM∵x29-∴FM?FN=8.如圖，為橢圓的左右焦點，是橢圓的兩個頂點，，，若點在橢圓上，則點稱為點的一個“橢點”.直線與橢圓交于兩點，兩點的“橢點”分別為，已知以為直徑的圓經過坐標原點.（1）求橢圓的標準方程；（2）摸索討的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.【答案】（1）；（2）的面積為定值1.【解析】（1）由題可得解得，故橢圓C的標準方程為.（2）設，，則，.由，即.（*）①當直線AB的斜率不存在時，.②當直線AB的斜率存在時，設其直線為，聯立得，則，，同理，代入（*），整理得，此時，，∴S=1.綜上，的面積為定值1.9．已知橢圓C:x2a（1）求橢圓C的方程；（2）設直線l經過點N2,1且與橢圓C相交于A,B兩點（異于點M），記直線MA的斜率為k1，直線MB的斜率為k2【答案】(1)x2【解析】（1）由橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0（2）若直線l的斜率不存在，即直線的方程為x=2，與橢圓只有一個交點，不符合題意。設直線l的斜率為k，若k=0，直線l與橢圓只有一個交點，不符合題意，故k≠0。所以直線l的方程為y-1=k(x-2)，即y=kx-2k+1，直線l的方程與橢圓的標準方程聯立得：x24+y2設A(x1,k1k1+k2=10．已知橢圓C：x2a2+y2（1）求橢圓C的方程；（2）A,B是橢圓上位于直線PQ兩側的動點.當A,B運動時，滿意∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值？假如為定值，懇求出此定值；假如不是定值，請說明理由.【答案】（1）x216【解析】Ⅰ）由題意可得ca=124a2+∴橢圓C的方程為x2（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），當∠APQ＝∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為﹣k，直線PA的直線方程為y﹣3＝k（x﹣2），聯立y=k(x-2)+3x216+y212=1，得（3+4k2）x2+8k（3﹣2k）同理直線PB的直線方程為y﹣3＝﹣k（x﹣2），可得x2+2=-8k(-2k-3)3+4kkAB∴AB的斜率為定值1211．已知橢圓E:x2a2+（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l:x=my+1m∈R與橢圓交于兩點A，B，在x軸上是否存在點M，使得MA?MB【答案】(1)x2【解析】（1）∵F1-1.0和F21,0是橢圓E:∴依題意，c=1，又2a==故a=2.由b2+c2=a2（2）假設存在點Mx0,0聯立x24設Ax1,，y1MA=x1-==要使上式為定值，即與m無關，應有6解得x0=所以，存在點M118,012．已知橢圓C1：x2a2+y2b2（1）求橢圓C1（2）設點M是橢圓C1上的隨意一點