PAGE17-第2講橢圓、雙曲線、拋物線的方程與性質選題明細表學問點·方法鞏固提高A鞏固提高B圓錐曲線定義及其應用1,3,9,12,174,7,12圓錐曲線的標準方程5,66,15定義法求圓錐曲線方程11,17圓錐曲線的幾何性質2,10,14,151,2,3,5,10由幾何性質求方程417綜合問題7,8,13,16,178,9,11,13,14,16鞏固提高A一、選擇題1.已知橢圓+=1(a>b>0)的一個焦點是圓x2+y2-6x+8=0的圓心,且短軸長為8,則橢圓的左頂點為(D)(A)(-3,0) (B)(-4,0) (C)(-10,0) (D)(-5,0)解析:因為圓的標準方程為(x-3)2+y2=1,所以圓心坐標為(3,0),所以c=3.又b=4,所以a==5.因為橢圓的焦點在x軸上,所以橢圓的左頂點為(-5,0).故選D.2.已知橢圓C:+=1的左、右焦點分別為F1,F2,橢圓C上的點A滿意AF2⊥F1F2,若點P是橢圓C上的動點,則·的最大值為(B)(A) (B) (C) (D)解析:由橢圓方程知c=1,所以F1(-1,0),F2(1,0).因為橢圓C上的點A滿意AF2⊥F1F2,則可設A(1,y0),代入橢圓方程可得=,所以y0=±.設P(x1,y1),則=(x1+1,y1),=(0,y0),所以·=y1y0.因為點P是橢圓C上的動點,所以-≤y1≤,故·的最大值為.故選B.3.(2024·全國Ⅲ卷)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,且與橢圓+=1有公共焦點,則C的方程為(B)(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由雙曲線的一條漸近線方程為y=x得4b2=5a2,橢圓+=1的焦點為(3,0),所以c=3.在雙曲線中c2=a2+b2得a2=4,b2=5.故選B.4.已知雙曲線-x2=1的兩條漸近線分別與拋物線y2=2px(p>0)的準線交于A,B兩點.O為坐標原點.若△OAB的面積為1,則p的值為(B)(A)1 (B) (C)2 (D)4解析:雙曲線-x2=1的漸近線為y=±2x,拋物線y2=2px的準線為x=-,漸近線與準線的交點為(-,p),(-,-p),所以S△OAB=××2p=1,p=,故選B.5.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=x,它的一個焦點在拋物線y2=24x的準線上,則雙曲線的方程為(B)(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=x,可設雙曲線的方程為x2-=λ(λ>0).因為雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個焦點在拋物線y2=24x的準線上,所以F(-6,0)是雙曲線的左焦點,即λ+3λ=36,λ=9,所以雙曲線的方程為-=1.故選B.6.焦點為(0,6)且與雙曲線-y2=1有相同漸近線的雙曲線方程是(B)(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:設所求雙曲線方程為-y2=λ(λ≠0),因為焦點為(0,6),所以|3λ|=36,所以λ=±12,又因焦點在y軸上,所以λ=-12,所以所求方程為-y2=-12,即-=1.故選B.7.過雙曲線x2-=1的右支上一點P,分別向圓C1:(x+4)2+y2=4和圓C2:(x-4)2+y2=1作切線,切點分別為M,N,則|PM|2-|PN|2的最小值為(B)(A)10 (B)13 (C)16 (D)19解析:由題意,依據雙曲線和圓的標準方程可知兩圓的圓心分別為雙曲線的兩焦點,所以|C1C2|=8,|PC1|-|PC2|=2.依據圓的切線與過切點的半徑垂直、雙曲線的定義,可得|PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1),因此|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|-|PC2|)(|PC1|+|PC2|)-3=2(|PC1|+|PC2|)-3≥2|C1C2|-3=13.故選B.8.已知直線l1,l2是雙曲線C:-y2=1的兩條漸近線,點P是雙曲線C上一點,若點P到漸近線l1距離的取值范圍是[,1],則點P到漸近線l2距離的取值范圍是(A)(A)[,] (B)[,] (C)[,] (D)[,]解析:設點P(x0,y0),由題可設漸近線l1:x-2y=0,漸近線l2:x+2y=0,由點P到直線l1的距離d1=,點P到直線l2的距離d2=,有d1d2=·=,又-=1,即-4=4,則d1d2=,則d2=,由d2與d1成反比,且d1∈[,1],所以d2∈[,].故選A.二、填空題9.橢圓+=1的長軸長是短軸長的2倍,則a的值為.

解析:當a2>a且a>0,即a>1時,此時長軸長是短軸長的2倍,則2a=2×2,解得a=4;當a>a2且a2>0,即0<a<1時,此時長軸長是短軸長的2倍,則2=2×2a,解得a=,所以實數a的值為4或.答案:4或10.已知橢圓C:+y2=1的兩焦點為F1,F2,點P(x0,y0)滿意0<+<1,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是.

解析:由點P(x0,y0)滿意0<+<1,可知P(x0,y0)肯定在橢圓內(不包括原點),因為a=,b=1,所以由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|<2a=2,當P(x0,y0)與F1或F2重合時,|PF1|+|PF2|=2,又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2,故|PF1|+|PF2|的取值范圍是[2,2).答案:[2,2)11.經過點P(4,-2)的拋物線的標準方程為.

解析:由點P在第四象限,則拋物線的開口方向為向右或向下,所以可設該拋物線的方程為y2=2px或x2=-2py(p>0),將點P坐標分別代入兩方程中,所求拋物線的方程為y2=x或x2=-8y.答案:y2=x或x2=-8y12.已知橢圓C:+=1(0<b<5)的長軸長、短軸長、焦距成等差數列,則該橢圓的方程是.

解析:設焦距為2c,則有解得b2=16,所以橢圓C的方程為+=1.答案:+=113.若P是拋物線y2=8x上的動點,點Q在以點C(2,0)為圓心,半徑長等于1的圓上運動.則|PQ|+|PC|的最小值為.

解析:由于點C為拋物線的焦點,則|PC|等于點P到拋物線準線x=-2的距離d.又圓心C到拋物線準線的距離為4,則|PQ|+|PC|=|PQ|+d≥3.當點P為原點,Q為(1,0)時取等號.故|PQ|+|PC|的最小值為3.答案:314.已知雙曲線C的漸近線方程是y=±2x,右焦點為F(3,0),則雙曲線C的方程為,若已知點N(0,6),且M是雙曲線C的左支上一點,則△FMN周長的最小值為.

解析:因為雙曲線C的漸近線方程是y=±2x,右焦點為F(3,0),所以?所以雙曲線C的方程為x2-=1.設左焦點F′(-3,0),由雙曲線定義可得|MF|=2a+|MF′|=2+|MF′|,所以△FMN的周長為|FN|+|MN|+|MF|=|FN|+|MN|+|MF′|+2a≥|FN|+|F′N|+2a=2++=2+6.答案:x2-=16+215.橢圓+y2=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P為橢圓上一動點,若∠F1PF2為鈍角,則點P的橫坐標的取值范圍是.

解析:設橢圓上一點P的坐標為(x,y),則=(x+,y),=(x-,y).因為∠F1PF2為鈍角,所以·<0,即x2-3+y2<0,①將y2=1-代入①,得x2-3+1-<0,x2<2,所以x2<.解得-<x<,所以x∈(-,).答案:(-,)16.設P為雙曲線C:x2-y2=1上一點,F1,F2分別為雙曲線C的左、右焦點,若cos∠F1PF2=,則△PF1F2的外接圓半徑為.

解析:由題意知|F1F2|=2,因為cos∠F1PF2=,所以sin∠F1PF2=.在△PF1F2中,由正弦定理得2R==3.(R為△PF1F2的外接圓半徑)所以R=,即△PF1F2的外接圓半徑為.答案:三、解答題17.中心在原點,焦點在x軸上的橢圓與雙曲線有共同的焦點F1,F2,且|F1F2|=2,橢圓的長半軸長與雙曲線實半軸長之差為4,離心率之比為3∶7.(1)求橢圓和雙曲線的方程;(2)若P為這兩曲線的一個交點,求cos∠F1PF2的值.解:(1)由題知c=,設橢圓方程為+=1(a>b>0),雙曲線方程為-=1(m>0,n>0),則解得a=7,m=3.則b=6,n=2.故橢圓方程為+=1,雙曲線方程為-=1.(2)不妨設F1,F2分別為左、右焦點,P是第一象限的一個交點,則|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2,所以cos∠F1PF2===.鞏固提高B一、選擇題1.若雙曲線-=1的離心率為,則其漸近線方程為(B)(A)y=±2x (B)y=±x(C)y=±x (D)y=±x解析:由=,令a=m,c=m(m>0),則b==m,漸近線方程為y=±x=±x.故選B.2.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為-1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的橫坐標為3,則該拋物線的準線方程為(C)(A)x=1 (B)x=2(C)x=-1 (D)x=-2解析:設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=-(x-),與拋物線方程聯立得,消去y整理得,x2-3px+=0,可得x1+x2=3p.依據中點坐標公式,有=3,p=2,因此拋物線的準線方程為x=-1.故選C.3.已知F為雙曲線C:x2-my2=3m(m>0)的一個焦點,則點F到C的一條漸近線的距離為(A)(A) (B)3 (C)m (D)3m解析:雙曲線方程可化為-=1,則c2=3m+3,c=,設焦點F(,0),一條漸近線方程為y=x,即x-y=0,所以點F到漸近線的距離為d==.故選A.4.已知雙曲線C1:-=1,且雙曲線C2:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,M是雙曲線C2的一條漸近線上的點,且OM⊥MF2,O為坐標原點,若=16,且雙曲線C1,C2的離心率相同,則雙曲線C2的實軸長是(B)(A)32 (B)16 (C)8 (D)4解析:因為雙曲線C2:-=1與雙曲線C1:-=1的離心率相同,所以==,解得=,即雙曲線C2的一條漸近線方程為y=x,即x-2y=0,又因為OM⊥MF2,△OMF2的面積為16,所以|OM|·|MF2|=|MF2|2=16,解得|MF2|=4,即右焦點F2(c,0)到漸近線x-2y=0的距離為4,所以=4,解得c=4,a==8,2a=16,即雙曲線C2的實軸長為16.故選B.5.以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點,交C的準線于D,E兩點.已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點到準線的距離為(B)(A)2 (B)4 (C)6 (D)8解析:以開口向右的拋物線為例,設拋物線方程為y2=2px(p>0),圓的方程為x2+y2=r2,設A(x0,2),D(-,),點A(x0,2)在拋物線y2=2px上,所以8=2px0,①點D(-,)在圓x2+y2=r2上,所以5+(-)2=r2,②點A(x0,2)在圓x2+y2=r2上,所以+8=r2,③聯立①②③解得p=4,焦點到準線的距離為4.故選B.6.已知橢圓+=1的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線l1與過F2的直線l2交于點P,設P點的坐標為(x0,y0),若l1⊥l2,則下列結論中不正確的是(A)(A)+>1 (B)+<1(C)3+2>1 (D)+<1解析:由題意可得橢圓的半焦距c==1,且由l1⊥l2可知點P(x0,y0)在以線段F1,F2為直徑的圓上,則+=1,所以+=<=,故A不正確.故選A7.拋物線y2=4x的焦點為F,點P(x,y)為該拋物線上的動點,若點A(-1,0),則的最小值是(B)(A) (B) (C) (D)解析:拋物線y2=4x的準線方程為x=-1,如圖,過P作PN垂直直線x=-1于N,由拋物線的定義可知|PF|=|PN|,在Rt△PAN中,sin∠PAN=,當=最小時,sin∠PAN最小,即∠PAN最小,即∠PAF最大,此時,直線PA為拋物線的切線,設直線PA的方程為y=k(x+1),聯立得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,所以Δ=(2k2-4)2-4k4=0,解得k=±1,所以∠PAF=∠NPA=45°,==cos∠NPA=,故選B.8.(2024·全國Ⅰ卷)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F作兩條相互垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為(A)(A)16 (B)14 (C)12 (D)10解析:y2=4x的焦點F(1,0),由題意知l1,l2的斜率都存在且不為0,設直線l1方程為y=k(x-1)(k≠0),則直線l2方程為y=-(x-1).設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4).將y=k(x-1)代入y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.所以x1+x2=2+,同理可得x3+x4=2+4k2,所以|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+4=4+4++4k2≥8+2=16.(當且僅當k=±1時取等號).故選A.二、填空題9.雙曲線-y2=1的兩條漸近線與圓x2+y2-2ax+1=0都沒有公共點,則實數a的取值范圍是.

解析:雙曲線-y2=1的漸近線方程為x±2y=0,因為圓x2+y2-2ax+1=0可化為(x-a)2+y2=a2-1,所以該圓的圓心為(a,0),半徑r=(a2-1>0).又因為雙曲線-y2=1的兩條漸近線與圓(x-a)2+y2=a2-1無公共點,所以解得-<a<-1或1<a<.故a的取值范圍為(-,-1)∪(1,).答案-,-1)∪(1,)10.已知F是雙曲線C:x2-=1的右焦點,P是C的左支上一點,A(0,6).當△APF的周長最小時,該三角形的面積為.

解析:設左焦點為F1,|PF|-|PF1|=2a=2,所以|PF|=2+|PF1|,△APF的周長為|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2+|PF1|,△APF周長最小即為|AP|+|PF1|最小,當A,P,F1在一條直線上時最小,過點A,F1的直線方程為+=1,與x2-=1聯立,解得P點坐標為(-2,2),此時S△APF=-=12.答案:1211.過拋物線C:y2=4x的焦點F作直線l交拋物線C于A,B,若|AF|=3|BF|,則直線l的斜率是.

解析:設直線l的方程為y=k(x-1),且與拋物線C交于A(x1,y1),B(x2,y2),聯立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,則又因為|AF|=3|BF|,所以x1+1=3(x2+1),即x1=3x2+2,則解得即直線l的斜率是±.答案:±12.如圖,圓O與離心率為的橢圓T:+=1(a>b>0)相切于點M(0,1),過點M引兩條相互垂直的直線l1,l2,兩直線與兩曲線分別交于點A,C與點B,D(均不重合).若P為橢圓上任一點,記點P到兩直線的距離分別為d1,d2,則+的最大值是.

解析:易知橢圓C的方程為+y2=1,圓O的方程為x2+y2=1,設P(x0,y0),因為l1⊥l2,則+=|PM|2=+(y0-1)2,因為+=1,所以+=4-4+(y0-1)2=-3(y0+)2+,因為-1≤y0≤1,所以當y0=-時,+取得最大值.答案:13.已知點P(x,y)是拋物線y2=4x上隨意一點,Q是圓C:(x+2)2+(y-4)2=1上隨意一點,則|PQ|+x的最小值為.

解析:拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),準線l:x=-1.圓C:(x+2)2+(y-4)2=1的圓心為C(-2,4),半徑r=1.由拋物線定義知,點P到直線l:x=-1的距離d=|PF|=x+1,點P到y軸的距離為x=d-1=|PF|-1,所以|PQ|+x=|PQ|+|PF|-1.當C,P,F三點共線時,|PQ|+x可取最小值,所以(|PQ|+x)min=|FC|-r-1=5-1-1=3.答案:314.(2024·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中,雙曲線-y2=1的右準線與它的兩條漸近線分別交于點P,Q,其焦點是F1,F2,則四邊形F1PF2Q的面積是.

解析:如圖所示,雙曲線-y2=1的焦點為F1(-2,0),F2(2,0),所以|F1F2|=4.雙曲線-y2=1的右準線方程為x==,漸近線方程為y=±x.由得P(,).同理可得Q(,-).所以|PQ|=,所以=·|F1F2|·|PQ|=×4×=2.答案:215.已知F1,F2分別為橢圓+=1的左、右焦點,若M為橢圓上一點,且△MF1F2的內切圓的周長等于3π,則滿意條件的點M的個數為.解析:由△MF1F2的內切圓的周長等于3π,得內切圓的半徑r=,所以△MF1F2的面積為(2a+2c)r=(5+3)×=12.又△MF1F2的面積為|F1F2|·|yM|=3|yM|=12,所以|yM|=4,則yM=4或yM=-4,只能是橢圓短軸上的頂點,即滿意條件的點M有2個.答案:216.(2024·鎮海5月月考)已知拋物線y2=4x,焦點記為F,過點F作直線l交拋物線于A,B兩