第第頁高一上學期期末復習選擇題壓軸題二十二大題型專練（范圍：第一、二、三章）【人教A版（2019）】題型1題型1根據元素與集合的關系求參數1．（24-25高一上·山西大同·階段練習）已知集合A=1,3a+1,2a2+a?3，若?2∈A，則A．?1 B．12 C．1 D．?1或【解題思路】根據元素與集合的關系可得出3a+1=?2或2a2+a?3=?2，再結合集合A【解答過程】因為集合A=1,3a+1,2a2（1）若3a+1=?2，則a=?1，此時，2a此時集合A中的元素不滿足互異性，舍去；（2）若2a2+a?3=?2，即2a2當a=12時，3a+1=32．（24-25高一上·河北衡水·階段練習）已知a∈Z，A={(x,y)|ax?y≤3}且，(2,1)∈A，(1,?4)?A，則a取值不可能為（

A．?1 B．0 C．1 D．2【解題思路】根據a的取值，結合已知逐一驗證即可.【解答過程】選項A：當a=?1時，?1×2?1≤3，?1×1?(?4)≤3，故(2,1)∈A,(1,?4)∈A，A錯誤；選項B：當a=0時，0×2?1≤3，0×1?(?4)>3，故(2,1)∈A,(1,?4)?A，B正確；選項C：當a=1時，1×2?1≤3，1×1?(?4)>3，故(2,1)∈A,(1,?4)?A，C正確；選項D：當a=2時，2×2?1≤3，2×1?(?4)>3，故(2,1)∈A,(1,?4)?A，D正確．故選：A．3．（2024·貴州貴陽·模擬預測）若集合A={x|2mx?3>0,m∈R}，其中2∈A且1?A，則實數m的取值范圍是（A．34,32 B．34,【解題思路】借助元素與集合的關系計算即可得.【解答過程】由題意可得2m×2?3>02m×1?3≤0，解得34．（23-24高一上·江蘇南京·階段練習）設非空集合S=xm≤x≤l滿足:當x∈S時,有x2A．若m=1,則S=1 B．m的取值范圍為C．若l=12,則?2【解題思路】對于A,當m=1時,S=x1≤x≤l,此時l≥1,分類討論判斷正誤;對于B,由題意得m∈S,則m2∈S,所以m≤m2判斷B的正誤;對C,若l=12,S=xm≤x≤12,此時m≤0,則【解答過程】對于A,當m=1時,S=x1≤x≤l,此時l≥1.若l=1,則S=1,滿足題意;若l>1,則l∈S,l2對于B,因為m∈S,則m2∈S,所以m≤m2,解得對于C,若l=12,S=xm≤x≤12,此時m≤0,則0≤m2≤12,解得?故選:ACD.題型2題型2根據集合間的關系求參數5．（24-25高一上·山西大同·階段練習）已知集合A=xx≤?2或x>1，B=xax+2≤0，且B?A，則A．a0<a≤1 B．C．a?2≤a≤1 D．a?2<a<0【解題思路】分a=0、a>0、a<0三種情況討論，求出集合B，在a=0時，直接驗證即可；在a>0、a<0這兩種情況下，根據集合的包含關系可得出關于實數a的不等式，綜合可得出實數a的取值范圍.【解答過程】因為集合A=xx≤?2或x>1，B=x（1）當a=0時，B=??A，合乎題意；（2）當a>0時，B=xax+2≤0=xx≤?2a（3）當a<0時，B=xax+2≤0=xx≥?2a綜上所述，實數a的取值范圍是a?2<a≤16．（24-25高一上·陜西寶雞·階段練習）設集合A=x∣x2+x?6=0,B={x∣mx+1=0}，若B是AA．?12,C．0,?12,【解題思路】對參數進行討論，再結合真子集的性質建立方程，求解參數即可.【解答過程】當m=0時，B是空集，而令x2+x?6=0，解得x=2或x=?3，所以A=2,?3，得到A不是空集，而空集是任何非空集合的真子集，故m=0符合題意，當m≠0時，令mx+1=0所以B=?1m，令?1m=2，解得m=?12，令?7．（23-24高一上·甘肅白銀·期中）已知集合A=x∈R2x?3?a≥0，集合B=y∈Ry=xA．a≥?72 C．a≤?72 【解題思路】根據一元一次不等式的解法化簡集合A，根據二次函數值域求解集合B，然后利用集合關系列不等式求解.【解答過程】集合A=x∈R2x?3?a≥0=x∈Rx≥3+a28．（23-24高一上·江蘇鹽城·期中）已知集合A=0,1，B=xax2+x?1=0，若A．0 B．1 C．?1 D．1【解題思路】分a=0和a≠0兩種情況討論集合B中的原式，即可求解.【解答過程】當a=0時，B=1，滿足條件，當a≠0時，若B=1，則若B=0，則Δ=1+4a=0?1=0，無解，若B=若B=?，則Δ=1+4a<0，得a<?14，綜上可知，a=0或題型3題型3交、并、補集的混合運算及其含參問題9．（2023·全國·高考真題）設集合U=R，集合M=xx<1，N=x?1<x<2，則A．?UM∪N C．?UM∩N 【解題思路】由題意逐一考查所給的選項運算結果是否為x|x≥2即可.【解答過程】由題意可得M∪N=x|x<2，則??UM=x|x≥1M∩N=x|?1<x<1，則?UM∩N?UN=x|x≤?1或x≥2，則M∪?U10．（2024·寧夏銀川·一模）已知集合A={x|x<a}，B={x|1≤x<2}且A∪(?RB)=R，則實數aA．{a|a≤1} B．{a|a<1} C．{a|a≥2} D．{a|a>2}【解題思路】根據集合B求得?R【解答過程】因為B={x|1≤x<2}，故可得?RB={x|x<1或因為A={x|x<a}，A∪(?RB)=R11．（23-24高一上·北京·階段練習）已知A=x∣x2+px?6=0,B=x∣xA．4 B．53 C．143【解題思路】利用條件A∩?RB=2，得到2∈A，從而求出p=1【解答過程】因為A∩?RB=2，2∈A，所以4+2p?6=0，得到p=1，當p=1時，由x2+x?6=0，解得x=2或x=?3，所以?3∈B12．（23-24高一上·山東濰坊·階段練習）設全集U=1,2,3,4,5，若A∩B=2，?UA．3?A，且4∈B B．3∈A，且1?BC．3∈A，且2∈B D．3∈A，且5∈A【解題思路】根據題意，畫出Venn圖，即可得到結果.【解答過程】

根據題意，由條件可得Venn圖如圖所示，所以A=2,3,B=2,42∈B,5?A，故C正確，D錯誤；故選：BC.題型4題型4集合的新定義問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示13．（24-25高一上·廣西柳州·階段練習）定義集合運算：A*B={x∣x∈A且x?B}，若集合A=1,3,4,6,7，B=A．13個 B．14個 C．15個 D．16個【解題思路】由定義運算求出集合A*【解答過程】由定義可知A*B=1,3,6,7，集合中有4個元素，所以集合A故選：C.14．（24-25高一上·江西上饒·階段練習）已知集合A=0,1,3，B=1,2，定義運算A?B=xA．0?B．若U=A?B，則?C．若BMA?B，則符合要求的集合M有6個D．A?B中所有元素之和為15.【解題思路】根據題意可得A?B=0,1,2,3,6，進而可判斷AD；根據補集和并集運算判斷B；對于C：分析可知1,2M0,1,2,3,6【解答過程】由已知條件可得A?B=0,1,2,3,6.對于選項A：顯然0?對于選項B：因為U=0,1,2,3,6，則?UA=對于選項C：若BMA?B，即1,2M0,1,2,3,6，則滿足條件的集合M有：0,1,2、1,2,3、1,2,6、0,1,2,3、0,1,2,6、1,2,3,6，共6個，故C正確；對于選項D：A?B中所有元素之和為0+1+2+3+6=12，故D錯誤.故選：C.15．（23-24高一上·湖北恩施·階段練習）定義集合運算：A⊕B=(x,y)x2∈A,2y∈B.若集合A=B=A．? B．4,1 C．1,32 【解題思路】由題意可得A=B=2,3，從而可得x=4或x=6，y=1或y=23，再根據新定義得A⊕B=【解答過程】因為A=B=2,3，所以x2=2或x2=3,所以x=4或所以y=1或y=23，∴A⊕B=4,1,4,故A⊕B∩C=16．（24-25高一上·河南·階段練習）已知非空集合A，B，定義A?B={x|x∈A且x?B}，A?B={x|x∈A∪B且x?A∩B}，則下列結論一定正確的是（

）A．?AA?B=BC．當A?B=B?A時A?B D．當A?B=B?A時，A?B=?【解題思路】根據集合的新定義及集合交并補運算判斷各選項．【解答過程】選項A，由A?B={x|x∈A且x?B}，得?A選項B，設x∈A?B，則x∈A∪B且x?A∩B，因此x∈A且x?B或者x∈B且x?A，即x∈A?B或x∈B?A，則x∈(A?B)∪(B?A)，因此A?B?A?B反之，若x∈(A?B)∪(B?A)，則x∈A?B或x∈B?A，即x∈A且x?B或者x∈B且x?A，于是x∈A∪B且x?A∩B，因此A?B∪B?A?A?B選項C，A?B=A?B∪B?A所以當x∈A?B時，x∈B?A，又A=(A?B)∪(A∩B)，B=(B?A)∪(A∩B)，所以對任意的x∈A，則x∈A?B或x∈A∩B，從而x∈B，所以A?B，C正確；選項D，若A?B=B?A，則對任意x∈A，有x∈A?B或x∈A∩B，又A?B=B?A，所以x∈B?A或x∈A∩B，所以x∈B，所以A?B，同理B?A，所以A=B，所以A∪B=A∩B，從而A?B=?，D正確，故選：BCD．題型5題型5由充分條件、必要條件求參數

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示17．（24-25高一上·廣東廣州·期中）已知p:x<?2或x>0，q:x>a，且q是p的充分不必要條件，則a的取值范圍是（A．a≤2 B．a≤0 C．a>0 D．a≥0【解題思路】令A={xx<?2或x>0}，B=xx>a，q是p的充分不必要條件可得【解答過程】令A={xx<?2或x>0}，B=xx>a，因q是p的充分不必要條件，可得可得a≥0.故選：D.18．（24-25高一上·廣東河源·階段練習）命題“?x∈x1≤x≤2，x2A．a≥3 B．a≤4 C．a≥4 D．a=6【解題思路】根據必要不充分條件的定義即可判斷.【解答過程】由命題“?x∈x1≤x≤2，x2?a≤0”為真命題，可得即可得a≥4，則a≥4可推得a≥3，必要性成立，而a≥3推不出a≥4，充分性不成立，?x∈x1≤x≤2，x2?a≤019．（24-25高一上·遼寧大連·階段練習）若不等式x+1?x?2<a成立的充分條件是0<x<1，則實數aA．a>1 B．a≥1C．a<?1 D．a≤?1【解題思路】當0<x<1時，求出x+1?x?2=2x?1<1【解答過程】根據題意，當0<x<1時，x+1?x?2=x+1+x?2=2x?1，則x+1?x?2=2x?1<1，因為20．（24-25高一上·黑龍江綏化·階段練習）命題“?x∈x|1≤x≤3，3x2A．a≤4 B．a≤2 C．a≥3 D．a≤5【解題思路】先根據題意化簡：命題“?x∈x|1≤x≤3，3x2【解答過程】若命題“?x∈x|1≤x≤3，3則當?x∈x|1≤x≤3時，a≤3x2故該題可以轉變為“a≤3”的一個必要不充分條件，由必要不充分條件的判斷可知，“a≤3”的一個必要不充分條件是“a≤m,m>3”所以AD符合題意.故選：AD.題型6題型6全稱量詞與存在量詞中的含參問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示21．（24-25高一上·廣東珠海·期中）若命題“?x0∈R,A．?∞,?1∪C．?1,2 D．?1,2【解題思路】根據判別式大于等于0，可求參數的取值范圍.【解答過程】因為命題“?x0∈R,x022．（24-25高一上·江蘇蘇州·階段練習）已知命題p:?x∈x|1≤x≤2，都有x2?a≥0，命題q:存在x0∈R,x02+2aA．a|a≤?2 B．a|a≤1C．a|a≤?2或a=1 【解題思路】求得p為真命題，實數a的取值范圍；q為真命題，實數a的取值范圍；進而可得p與q全為真命題時，實數a的取值范圍，進而可得結論.【解答過程】若p為真命題，則a≤(x2)min，又x∈若q為真命題，則x02+2ax0+2?a=0有解，所以所以p與q全為真命題時，實數a的取值范圍是{a|a≤?2或a=1}，所以p與q不全為真命題，則實數a的取值范圍是a|?2<a<1或a>1.故選：D.23．（24-25高一上·江蘇南京·階段練習）已知命題p:?x∈0,3,a=?x2+2x：命題q:?x∈?1,2,x2A．?3,1 B．?C．?7,?3∪1,2 【解題思路】由命題p:?x∈0,3,a=?x2+2x為假命題，則a=?x2+2x在x∈0,3上無解，即y=a【解答過程】命題p:?x∈0,3,a=?x2+2x即y=a與y=?x2+2x

由圖可知：a>1或a<?3，命題q:?x∈?1,2,x2+ax?8≤0為真命題，則1?a?8≤04+2a?8≤0，解得?7≤a≤224．（24-25高一上·江西撫州·階段練習）命題“?x∈0,2，x2?a≤0A．a<?1 B．a≤?2C．a>5 D．a>8【解題思路】求出給定命題為真的a的范圍，再求出其否定的a的范圍，并結合充分不必要條件的定義判斷即可.【解答過程】命題“?x∈0,2，x2?a≤0”，即?x∈0,2，a≥x2，而當因此由命題“?x∈0,2，x2?a≤0”是假命題，得a<4，又{a|a<?1}{a|a<4}，{a|a≤?2}{a|a<4}，則選項AB是；a>5,a>8都不能推出題型7題型7利用作差法、作商法比較大小

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示25．（24-25高一上·北京延慶·期中）若P=a2?2a和Q=2a?4，則P和QA．P>Q B．P<Q C．P≥Q D．P≤Q【解題思路】根據條件，通過作差法，得到P?Q=(a?2)【解答過程】因為P=a2?2a，Q=2a?4，所以P?Q=a226．（2024·山西晉城·一模）若實數m，n，p滿足m=4e35，n=5e2A．p<m<n B．p<n<m C．m<p<n D．n<p<m【解題思路】根據作商法比較大小，即可得出結果.【解答過程】因為實數m，n，p滿足m=4e35，n=5e2∴m<n；又mp=4e327．（23-24高二上·陜西咸陽·期中）在日常生活中有這樣一種現象，向糖水中不斷加入糖，糖水會變得越來越甜．已知a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，再添加m克糖（m>0，假設全部溶解），可將糖水變甜．這一事實表示為下列哪一個不等式？（

）A．ba>b+ma+m B．ba<【解題思路】利用作差法比較.【解答過程】因為向糖水中不斷加入糖，糖水會變得越來越甜，所以糖水的濃度ba，再添加m克糖，即濃度b+ma+m，將糖水變甜．則ba<b+ma+m，因為a>b>028．（23-24高三上·河南信陽·階段練習）若a>b>0，那么下列不等式一定成立的是（

）A．b+1a+1>ba B．ab<【解題思路】作差比較大小可以判斷AD；作商比較大小可以判斷BC.【解答過程】對于A，因為a>b>0，所以b+1a+1對于B，ab>1>ba>0，故B錯誤；對于C，a>b>0，aab=ab>1，所以故選：ACD.題型8題型8利用不等式的性質求取值范圍

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示29．（24-25高一上·云南曲靖·階段練習）已知0≤a?b≤2,1≤a+b≤4，則4a?2b的取值范圍是（

）A．1≤4a?2b≤4 B．1≤4a?2b≤10C．0≤4a?2b≤6 D．1≤4a?2b≤9【解題思路】利用待定系數法求得4a?2b=3a?b【解答過程】設4a?2b=ma?b+na+b=所以4a?2b=3a?b+a+b，又0≤a?b≤2,1≤a+b≤4，所以0≤330．（24-25高一上·內蒙古赤峰·階段練習）已知1<a<5，1<b<3，則以下錯誤的是（A．1<ab<15 B．2<a+b<8C．?2<a?b<4 D．1<【解題思路】由不等式的基本性質判斷各選項即可.【解答過程】因為1<a<5，1<b<3，所以1<ab<15，而?3<?b<?1，15<1a<131．（24-25高一上·廣東廣州·階段練習）已知1<a<3,?5<b<?2，則下列結論錯誤的是（

）A．a+b的取值范圍為(?4,1) B．a?bC．ab的取值范圍為(?15,?2) D．ab取值范圍為【解題思路】根據b的取值范圍，可得到?b以及1b【解答過程】對于A，因為1<a<3,?5<b<?2，所以1+?5<a+b<3+?2所以a+b的取值范圍為(?4,1對于B，因為?5<b<?2，所以2<?b<5，因為1<a<3，所以2+1<a+?b<3+5，即3<a?b<8，所以a?b的取值范圍為對于C，因為1<a<3,?5<b<?2，則2<?b<5，所以2<?ab<15，則?15<ab<?2，所以ab的取值范圍為(?15,?2)，故C正確，不符合題意；對于D，因為?5<b<?2，所以?12<1b<?15，則所以ab取值范圍為?32．（24-25高一上·貴州·階段練習）已知實數a，b滿足1≤a+b≤7，3≤a?b≤5，則下列說法正確的是（

）A．a的最大值是6，最小值是2 B．b的最大值是2，最小值是?2C．4a+2b的最大值是28，最小值是4 D．ba的最大值是25【解題思路】根據給定條件，利用不等式性質逐項分析求解即可.【解答過程】對于A，由1≤a+b≤73≤a?b≤5，解得2≤a≤6，當且僅當a+b=1a?b=3時當且僅當a+b=7a?b=5時a對于B，由1≤a+b≤73≤a?b≤5，解得?2≤b≤2，當且僅當a+b=1a?b=5時b取得最小值當且僅當a+b=7a?b=3時b對于C，4a+2b=3(a+b)+(a?b)，而3≤3(a+b)≤213≤a?b≤5，則6≤4a+2b≤26對于D，由選項B知，b的最大值為2，此時a=5；b的最小值為?2，此時a=3，觀察圖形知，當b取最大值2時，ba的最大值是25，當b取最小值?2時，ba故選：ABD.題型9利用基本不等式題型9利用基本不等式求最值

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示33．（24-25高一上·廣東深圳·期中）若2a+b=1(a>0,b>0)，則1a+1A．3?22 B．8 C．42 【解題思路】由基本不等式“1”的妙用方法即可計算求解.【解答過程】因為2a+b=1(a>0,b>0)，所以1a+1b=1a+134．（24-25高三上·廣東廣州·階段練習）若a,b>0，且ab=2a+b+4，則ab的取值范圍是（

）A．4,8+43 B．4,16 C．8+43,+【解題思路】由基本不等式的性質將原式變形為ab≥22ab+4，進而求出【解答過程】因為a>0，b>0，ab=2a+b+4，則ab≥22ab+4，當且僅當即(ab)2?22ab?4≥0故選：C.35．（24-25高一上·上海·期中）已知x,y∈R①若x+y=1，則1x+②若x+3y=xy，則x+y的最小值為4+2③若x+2y+xy=4，則x+2y的最小值為4④2x3x+2y+上述列命題中，正確的命題是（

）A．①②④ B．②④ C．③④ D．②③【解題思路】利用條件等式、“1”的代換及基本不等式求各項的最值，即可判斷.【解答過程】①由題設x+yx+x②由題意3x+1當且僅當x=3+3③由題意x+2y=4?xy=4?12x?2y≥4?則x+2y≤?43?4（舍）或x+2y≥43④由2x≤127?綜上，正確的有②③故選：D.36．（24-25高一上·河北石家莊·期中）設正實數x,y滿足x+2y=3，則下列說法正確的是（

）A．xy的最大值為98 B．yxC．x+2y的最小值為6 D．x【解題思路】根據基本（均值）不等式可判定ABD是正確的，舉反例說明C是錯誤的.【解答過程】對A：因為3=x+2y≥2x?2y?xy≤當且僅當x+2y=3x=2y，即x=32對B：因為yx+1y=3?x2x+1y=32x+對C：當x=y=1時，滿足x+2y=3，此時x+對D：因為x2+4y2=x+2y2?4xy=9?4xy，由A選項可知，故選：ABD.題型10題型10基本不等式的恒成立、有解問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示37．（23-24高二上·黑龍江綏化·開學考試）設正數a，b滿足1a+9b=1，若不等式a+b≥?x2A．m≥3 B．m≤3C．m≤6 D．m≥6【解題思路】首先利用基本不等式求出a+b的最小值，然后根據不等式恒成立，將問題轉化為關于m的不等式求解.【解答過程】因為正數a，b滿足1a+9b=1，則a+b=(a+b)1a+9b=1+9+ba+9ab≥10+2(a+b)min=16，所以16≥?x2+4x+18?m，即m≥?x2+4x+2對任意實數x恒成立.令38．（23-24高一上·江西南昌·期中）若兩個正實數x，y滿足1x+4y=1，且不等式x+A．{m|?1<m<4} B．{m|m<?4或m>1}C．{m|?4<m<1} D．{m|m<?1或m>4}【解題思路】首先將原問題轉化為x+y4min【解答過程】∵不等式x+y4<m2?3m有解，∴x+y4min<m2?3m，∵x>0，y>0，1x+故選：D．39．（24-25高一上·廣東深圳·階段練習）已知x>0,y>0，且x+y=3，若mx+1ym?1≤y2+x+1A．?∞,1 C．?∞,1∪【解題思路】根據題意，問題可轉化為mm?1≤y2+x+1x+1y=yx+1+1y【解答過程】因為mx+1ym?1可得mm?1≤y2+x+1x+1y則yx+1+1y=所以yx+1+1y最小值為54，所以mm?1≤54，可得5?m4m?1≤0，即40．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知x>1,y>1，且不等式x2y?1+y2A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】令a=y?1，b=x?1，a+1≥2a（當且僅當a=1時取等號），b+1≥2b（當且僅當b=1時取等號），所以x2y?1+【解答過程】令a=y?1，b=x?1，因為x>1，y>1，所以a>0，b>0，則y=a+1≥2a（當且僅當a=1時取等號），x=b+1≥2b（當且僅當則x2y?1+y2因為不等式x2y?1+y2x?1題型11題型11由一元二次不等式的解確定參數

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示41．（24-25高一上·河南駐馬店·階段練習）已知關于x的不等式a2?1x2?2ax+1<0A．a?43<a≤?54或C．a?32<a≤?1或1≤a<3【解題思路】對二次不等式左邊進行因式分解，先分二次項系數為正得到解集，分析得到不符合題意；再討論二次項系數為負得到解集，因為里面包含了正負兩種情況，所以再次分類討論，得到可能的解集中的三個整數元素，從而得到不等式，解得a的取值范圍.【解答過程】∵a當a2?1<0，即?1<a<1，不等式解集為{xx<1a?1或x>1a+1}，存在無數個整數解，不符合題意，故舍去；當a2?1>0由∵0<1a+1<12，∴原不等式的3個整數解為：1,2,3當a<?1時，1a+1<1由∵1a?1>?12，∴原不等式的3個整數解為：?1,?2,?3，∴綜上所述：?43<a≤?542．（24-25高一上·福建·期中）已知關于x的不等式x2?1+2ax+2a<0的解集中不含有整數，則實數A．(0,1) B．0,C．0,12∪【解題思路】對實數a的取值進行分類討論，再由解集中不含有整數限定出不等式可得結果.【解答過程】不等式x2?1+2a當2a<1時，不等式解集為2a,1，依題意可得2a≥0，解得a≥0，所以0≤a<1當2a=1，不等式為x?12當2a>1時，不等式解集為1,2a，依題意可得2a≤2，解得a≤1，所以12綜上可得，實數a的取值范圍為0,1.故選：D.43．（23-24高一上·四川廣安·期中）已知關于x的不等式組x2?x?2>02x2A．?10,?8∪6,8 C．?10,?8∪6,8 【解題思路】一元二次不等式組有且僅有兩個整數解，分類討論k≥2，k<2即可.【解答過程】由x2?x?2>0，解得x<?1或x>2，由2x2+(k+2)x+k=0當k≥2時，2x2+(k+2)x+k≤0所以?4<?k2≤?3，解得6≤k<8，當k<2時，2因為不等式有且僅有兩個整數解，所以4≤?k2<5，解得?10<k≤?8，綜上所述，實數k的取值范圍是44．（24-25高一上·山東聊城·階段練習）若關于x的不等式ax2?bx+c>0的解集為M={x∣?1<x<2}A．a<0B．不等式bxax?b≤2C．4a+2b+c<0D．不等式ax2【解題思路】利用三個二次的關系，將條件轉化成方程的根的情況，判斷a的符號，利用韋達定理得到a,b,c的數量關系，再根據選項一一判斷或求解不等式即得.【解答過程】由題意，方程ax2?bx+c=0有兩根為?1由韋達定理，ba=1ca=?2即(x?1)(x?2)≥0x?1≠0,解得x≥2或對于C，因c=?2a=?2b，且a<0，故4a+2b+c=4a+2a?2a=4a<0，故C正確；對于D，ax2+bx+c>0?ax2+ax?2a>0，因題型12題型12一元二次不等式恒成立問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示45．（24-25高一上·江蘇無錫·期中）一元二次不等式則2kx2+kx?38<0對一切實數A．?3,0 B．?3,0C．?3,0 D．0,3【解題思路】根據二次函數的性質及二次不等式的解法列式可得.【解答過程】由一元二次不等式2kx2+kx?38<0對一切實數x都成立，則k<0k2?4×2k×?3故選：C.46．（24-25高一上·北京大興·期中）若不等式x2?(a+2)x+2a≤0對任意的x∈[?1,1]恒成立，則a的取值范圍是（A．[?1,1] B．[?1,+∞) C．[?1,2] 【解題思路】令f(x)=x2?(a+2)x+2a，將問題轉化為f(x)max≤0，分類討論【解答過程】令f(x)=x2?(a+2)x+2a，∴f(x)的對稱軸為x=a+22=a2+1，當a2+1≤0，即a≤?2時，f(x)max=f1=12?(a+2)+2a=a?1綜上，a≤?1，即實數a的取值范圍是a≤?1.故選：D.47．（24-25高一上·黑龍江大慶·階段練習）已知m∈?1,1，不等式x2+m?4x+4?2m>0A．?∞,1 B．1,3 C．?∞【解題思路】更換主元，根據一次函數性質列不等式組求解可得.【解答過程】令fm=x2+m?4x+4?2m=x?2m+x2?4x+4，當故選：C.48．（24-25高一上·湖北·期中）下列說法正確的有（

）A．當x∈R時，不等式kx2?kx+1>0恒成立，則B．x2?kx+k?1<0在1,2上恒成立，則實數kC．當x>0時，不等式x2?ax+16>0恒成立，則實數aD．若不等式x2?ax+4≥0對任意x∈1,3恒成立，則實數【解題思路】討論k的取值，結合一元二次不等式恒成立可得k的范圍，選項A正確；利用分離參數的方法可得選項B正確；利用分離參數的方法得到關于a的不等式，恒成立問題轉化為小于（或小于等于）函數的最小值，結合基本不等式可得選項C正確，選項D錯誤.【解答過程】A.當k=0時，1>0恒成立，當k≠0時，k>0Δ=k綜上得，k的取值范圍是0,4，選項A正確.B．由x2?kx+k?1<0得(x?1)(x+1?k)<0，由x∈1,2得，x+1?k<0，k>x+1在1,2上恒成立，故k≥3，即實數kC.由題意得，a<x+16x(x>0)恒成立，即a<(x+16x)min，由x+16D.由題意得，a≤x+4x,x∈1,3，即a≤(x+4x)min，由x+故選：ABC.題型13題型13一元二次不等式有解問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示49．（24-25高一上·福建莆田·階段練習）若?x∈x|1≤x≤3，使得x2?2ax+a+2≤0成立，則實數aA．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥【解題思路】分析可知原題意等價于?x∈x|1≤x≤3，使得x2+2【解答過程】因為x2?2ax+a+2≤0，即x2+2≤a2x?1，又因為1≤x≤3，則2x?1∈1,5，可得x2+22x?1可得x2+22x?1=t+1可得a≥2，所以實數a的范圍是a≥2.故選：B.50．（24-25高一上·廣東佛山·階段練習）若存在x∈12,3，使不等式x2?ax+1≥0A．?2≤a≤2 B．a≤C．a≤103 【解題思路】令f(x)=x2?ax+1，將問題等價轉化為fmax(x)≥0,x∈【解答過程】令f(x)=x2?ax+1，對稱軸方程為x=a2等價于f(x)max≥0,x∈12,3，當a2因為(?∞,72]∩(?∞,103]=(?∞,103]，所以a∈(?∞,故選:C.51．（23-24高三上·湖北·階段練習）若?x∈?1,2，使得不等式x2?2x+a<0成立，則實數aA．a<?3 B．a<0 C．a<1 D．a>?3【解題思路】由題意可轉化為?x∈?1,2，使a<?x2【解答過程】因為?x∈?1,2，使得不等式x2?2x+a<0成立，所以?x∈?1,2，使得不等式a<?x2+2x成立，令f(x)=?x2+2x，故選：C.52．（23-24高三上·廣東揭陽·期中）若關于x的不等式x2?6x+2?a>0在區間0,5內有解，則實數a的取值可以是（A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】不等式x2?6x+2?a>0在區間0,5內有解，轉化為(x【解答過程】不等式x2?6x+2?a>0在區間0,5內有解，僅需(x2?6x+2)max>a即可，令f(x)=x2?6x+2，因為f(x)的對稱軸為x=?題型14題型14函數的定義域、值域問題53．（24-25高一上·遼寧鞍山·階段練習）已知fx的定義域為1,3，則f1xA．13,1 B．13,12【解題思路】應用抽象函數定義域求解即可.【解答過程】因為fx的定義域為1,3，所以1<1x<31<x+所以f1x+f54．（23-24高一上·浙江·期末）若函數y=fx的定義域為0，4，則函數y=A．?12,1∪1,32 B．【解題思路】根據條件列出不等式組，解出即可.【解答過程】因為函數y=fx的定義域為0,4，所以0≤2x+1≤4x?1≠0，解得?1故函數y=f2x+1x?155．（24-25高一上·全國·課后作業）設x∈R，用x表示不超過x的最大整數，則y=x稱為高斯函數，例如：?2.1=?3，3.1=3．已知函數fx=A．0,1 B．0,1,2 C．?1,0,1 D．?1,0,1,2【解題思路】求得f0=12，當x≠0時，將函數化簡變形得fx=12+2x+1x【解答過程】顯然，f0=12．當令t=x+1x，當x>0時，t=x+1x≥2x?1x=2，當且僅當x=1則?12≤1t<0,12?2×56．（23-24高三上·湖南·階段練習）已知函數fx的定義域和值域均為?3,3，則（

A．函數fx?2的定義域為?1,5 B．函數f3xC．函數fx?2的值域為?3,3 D．函數f2x【解題思路】根據抽象函數的定義域列不等式求解判斷AB；求出抽象函數的值域判斷CD.【解答過程】函數fx?2中的x需滿足?3≤x?2≤3，解得?1≤x≤5，故函數fx?2的定義域為?1,5，故A正確；函數f3xx?1中的x需滿足?3≤3x≤3,x?1≠0,解得?1≤x<1，故函數f3xx?1的定義域為?1,1題型15題型15函數的單調性問題57．（23-24高一上·湖北十堰·期中）函數y=1??x2A．0,3 B．?∞,3 C．3,6 【解題思路】先求出函數的定義域，令t=?x2+6x【解答過程】解：由?x2+6x≥0，解得0≤x≤6,所以函數y=1??x2+6x的定義域為0,6，令t=?x258．（24-25高二上·山東日照·開學考試）已知函數f(x)=(3a?1)x+4a,(x<1)ax,(x≥1)在R上單調遞減，則實數A．17,1 C．16,1 【解題思路】根據各段函數的單調性和分段點處的高低可得關于a的不等式組，故可得其取值范圍.【解答過程】因為fx在R上單調遞減，故3a?1<0a>03a?1+4a≥a59．（24-25高一上·江西鷹潭·期中）已知定義在[0,+∞)上的函數f（x）滿足對?x1,x2∈[0,+∞)，A．(2023,+∞) B．(2024,+∞) C．【解題思路】變形給定的不等式，構造函數g(x)=f(x)?2x并確定單調性，再利用單調性求解不等式.【解答過程】由f(x2)?f(x1則g(x2)?g(x1)x2?由f(x?2024)>2(x?1013)，得f(x?2024)?2(x?2024)>2022，即g(x?2024)>g(1)，則x?2024>1，解得x>2025，所以原不等式的解集為(2025,+∞)60．（24-25高一上·浙江·期中）下列結論錯誤的是（

）A．若f1<f2，則fB．fx=xC．fxD．若fx=?x【解題思路】由單調性的定義可得A錯誤；由二次函數的性質可得B正確；由單調函數的規定可得C錯誤；由分段函數的單調性結合二次函數和分式型函數的性質可得D錯誤；【解答過程】對于A、不符合任意性，故A錯誤；對于B、fx=x2+2x?3=x+12?4，在對于D、由題意，得?a≥1a+3>0?1題型16題型16利用函數的性質解不等式61．（24-25高一上·北京大興·期中）定義在R上的偶函數f(x)滿足：f(2)=0，且對任意的x1,x2∈[0,+∞)A．(?2,0) B．(?2,0)∪(2,+C．(?∞,?2)∪(0,2) 【解題思路】先判斷單調性，結合奇偶性，分x≥0和x<0討論即可得解.【解答過程】因為對任意的x1,x2∈[0,+∞)因為f(x)為偶函數，所以f(x)在?∞,0上單調遞增，又f(2)=0，所以f(?2)=0，當x≥0時，xf(x)>0?fx>0，可得0<x<2；當x<0時，xf(x)>0?fx<0，可得x<?262．（23-24高一上·重慶·階段練習）已知定義域為R的函數fx在1,+∞單調遞減，且f2?x+fx=0，則使得不等式A．?1,2 B．?C．?2,1 D．?【解題思路】利用函數關于點對稱公式可得fx關于1,0對稱，從而判斷得fx在R上單調遞減，再將不等式變形為fx【解答過程】因為f2?x+fx=0，所以fx關于1,0對稱，因為fx在1,+∞單調遞減，所以fx在R上單調遞減，又fx=?f2?x，則f2x=?f2?2x，所以由所以x的取值范圍為?∞,?2∪63．（24-25高三上·遼寧·階段練習）已知函數fx對任意x∈R滿足fx=f?4?x，任意x1,x2∈(?A．?∞,?5C．3,+∞ D．【解題思路】由已知可得fx的圖象關于直線x=?2對稱軸，在?∞,?2【解答過程】因為對任意x∈R滿足fx=f?4?x，所以fx的對稱軸為直線x=?2，因為函數fx對任意x1,x2∈?∞,?2，都有fx1?f?4?x2x1?x2>0，又fx264．（23-24高一上·內蒙古呼和浩特·期中）已知函數fx滿足：任意給定x∈R，都有fx+3=f1?x，且任意x1，xA．f?a2+a+1≤fC．f0>f3 D．若【解題思路】先根據條件確定函數的單調性及對稱性，根據單調性來比較大小確定AC；利用單調性及對稱性解不等式確定D；根據單調性求出最值確定B.【解答過程】任意給定x∈R，都有fx+3=f1?x，則函數fx關于x=2對稱，又任意x1，x2∈2,+∞，fx1?fx2x1?x2<0x1≠題型17題型17函數的奇偶性問題65．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知定義域為a?4,2a?2的奇函數fx=2024x3?5x+b+2A．0 B．?1 C．1 D．2【解題思路】根據奇函數定義域關于原點對稱求出a的值，再利用f0=0求出b的值，進而求得【解答過程】∵fx是a?4,2a?2上的奇函數，∴fx定義域關于原點對稱，即a?4+2a?2=0，所以3a=6，a=2，此時定義域為?2,2，又f0=b+2=0，則b=?2，故f66．（24-25高一上·寧夏吳忠·期中）下列函數中為偶函數是（

）A．y=1x B．y=x12 【解題思路】根據奇偶函數的定義判斷奇偶性,得到答案.【解答過程】對于A選項，y=1x，定義域為x|x≠0，定義域關于原點對稱，f?x對于B選項，函數y=x12，定義域為x|x≥0對于C選項，函數y=|x|+1，其定義域為R，關于原點對稱，f(?x)=|?x|+1=|x|+1=f(x)，所以y=|x|+1是偶函數，故C正確；對于D選項，函數y=x+1x，其定義域為{x|x≠0},關于原點對稱，所以y=x+167．（24-25高一上·山東青島·期中）定義在R上的偶函數f(x)滿足f(2)=2，且對于任意x1>x2>0，有xA．g(x)在(0,+∞)上單調遞減 B．C．g(4)<g(?3) D．f(x)在(2,+∞【解題思路】根據函數的單調性判斷gx、fx的單調性判斷AD，根據gx【解答過程】對于任意x1>x2>0，x2fx1因為的gx定義域為?∞,0∪0,+∞，所以g?x=f對于任意x1>x2>2，fx1?fx2=x1gx68．（24-25高一上·江蘇蘇州·期中）已知函數f(x)=|x?1|，構造函數g(x)=f(x)?f(?x)，下列函數g(x)的說法正確的是（

）A．g(x)?g(?x)是偶函數 B．g(x)+g(?x)是偶函數C．g(x)|g(x)|是奇函數 D．g(x)g(|x|)是奇函數【解題思路】根據給定條件，求出函數g(x)并確定其奇偶性，再利用函數奇偶性定義逐項判斷即得.【解答過程】函數f(x)=|x?1|，則函數g(x)=|x?1|?|x+1|定義域為R，g(?x)=|?x?1|?|?x+1|=|x+1|?|x?1|=?g(x)，因此函數g(x)是奇函數，對于A，g(x)?g(?x)=2g(x)是奇函數，A錯誤；對于B，g(x)+g(?x)=0是偶函數，B正確；對于C，g(?x)|g(?x)|=?g(x)|g(x)|，g(x)|g(x)|是奇函數，C正確；對于D，g(?x)g(|?x|)=?g(x)g(|x|)，g(x)g(|x|)是奇函數，D正確.故選：BCD.題型18題型18抽象函數的性質綜合69．（24-25高三上·四川綿陽·階段練習）已知函數y=f(x+1)與y=g(x)的定義域均為R，且它們的圖象關于x=1對稱，若奇函數g(x)滿足g(x)=g(2?x)，下列關于函數f(x)的性質說法不正確的有（

）A．f(x)關于x=2對稱 B．f(x)關于點(4,0)對稱C．f(x)的周期T=4 D．f(2027)=0【解題思路】根據給定條件，結合對稱性、奇函數的性質可得函數f(x)圖象的對稱中心及對稱軸，再逐項判斷即得.【解答過程】對于A，令(x,y)是函數y=g(x)的圖象上任意一點，則(2?x,y)在y=f(x+1)的圖象上，即y=g(x)y=f(3?x)，則g(x)=f(3?x)，由g(x)為奇函數，得g(?x)+g(x)=0，則有f(3?x)+f(3+x)=0，函數f(x)的圖象關于點(3,0)對稱，又g(x)=g(2?x)，則f(3?x)=f(1+x)，函數f(x)的圖象關于x=2對于C，f(3+x)=?f(1+x)，即f(x+2)=?f(x)，則f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，f(x)的周期T=4，C正確；對于D，f(3)=0，則f(2027)=f(506×4+3)=0，D正確；對于B，由f(4?x)=f(x)，得f(8?x)=f(x)，函數f(x)的圖象關于x=4對稱，若f(x)圖象關于點(4,0)對稱，則f(8?x)+f(x)=0，即f(x)=0，而沒有條件確保f(x)=0恒成立，B錯誤.故選：B.70．（2024·甘肅慶陽·一模）已知函數fx的定義域為R，ffx+y=fxA．f0=0 B．C．f2024=2024 D．fx【解題思路】利用賦值法x=1,y=0可得f0=0，即可判斷A，利用y=?x，即可根據奇函數的定義判斷B，利用ffx+1?x=f【解答過程】取x=1,y=0，則ff1=f1+f取y=?x，則ffx?x=fx+f對任意的x都有ffx+1?x=f因此fx的圖象關于點1由于1=fx+f1?x且fx是奇函數，得因此f2故選：D.71．（24-25高三上·廣西·階段練習）已知函數fx的定義域為R,fx+yfx?y=f2A．fxB．fxC．當?1<x<0時，fD．當0<x<1時，f【解題思路】對于A,令x=y=0，得f0=0，令x=0，將y變換為?y，得到f?y+fy【解答過程】對于A,令x=y=0，則f20=f20?f20，得將y變換為?y，則f?yfy+f?y=0，故對于B，,設x2>x1=fx2+x1又f0=0,fx是奇函數，故f對于C，?1<x<0時2<2?x<3,1<x+2<2,∴2?x>x+2,f2?x對于D，0<x<1時，x2故選：D.72．（24-25高一上·廣東河源·階段練習）已知定義在R上的函數fx滿足fx+y=fx+fy，當x>0時，A．f4=8 B．C．fx為減函數 D．當x<?2時，【解題思路】利用賦值法結合抽象函數的性質一一判定選項.【解答過程】A選項，fx+y=fx+fyB選項，fx+y=fx+fy中，令x=y=0fx+y=fx+fy中，令y=?xC選項，fx+y=fx+fy中，令x=故fx1+當x>0時，fx>0，故fx2?fD選項，f1+1=f(1)+f(1)=4?f(1)=2，則又x<?2，故x?1>2x+1，fx是增函數，所以f故選：ABD.題型19題型19函數性質的綜合應用73．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知定義在R上的函數fx滿足fx+f?x=0，?x1,xA．?53,0C．?∞,5【解題思路】令gx=fx+x，由已知不等式和等式可求得【解答過程】不妨令x2>x1≥0，則由fx1?fx2x2?x1<1得：fx1+x1<fx2+x2，令gx=fx+x故選：C.74．（24-25高一上·重慶·期中）對任意兩個實數a,b，定義mina,b=a,a≤bb,a>b，若A．函數mx是偶函數 B．方程mC．不等式mx>?x的解集為(1，2) D．函數m【解題思路】根據定義寫出函數解析式，并畫出函數圖象，觀察圖象即可得出正確選項.【解答過程】由題意可得，mx由圖象可知，m(x)為偶函數，故A正確；方程mx由y=?xy=x2?2，當x>0時，解得由y=?xy=2?x2，當x>0時，解得由圖像可知：mx由圖可知，m(x)的最大值為0，值域為?∞,075．（24-25高三上·山東棗莊·階段練習）函數fx的定義域為R，且fx在0,+∞單調遞減，f1=1，若函數y=f(x?1)A．y=fx的圖象關于直線x=2對稱 B．fC．?x∈R，fx≤f0恒成立 D．【解題思路】根據函數y=f(x?1)的圖象關于直線x=1對稱，可得fx的圖象關于y軸對稱，fx在0,+∞單調遞減得fx在【解答過程】若函數y=f(x?1)的圖象關于直線x=1對稱，則fx的圖象關于y軸對稱，即f又fx在0,+∞單調遞減，所以fx在?∞,0因為f1=1，所以f?1=1，又fx在0,+x≥0時fx>1=f所以fx>1的解集為76．（24-25高一上·湖南長沙·期中）已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)=x?2x+1，則下列結論正確的是（A．f(0)=?2B．|f(x)|的單調遞增區間為(?1,0)，(1,+∞)C．當x<0時，f(x)=x+D．xf(x)<0的解集為(?1,0)∪(0,1)【解題思路】由奇函數fx在x=0處有定義，可得f0=0，可判斷A；由x>0的函數的解析式，結合奇函數的定義可得x<0時的函數解析式，可判斷C；判斷x>0時的fx的單調性，可得x<0時的fx的單調性，不等式xfx<0等價為x>0且fx<0，x<0【解答過程】對于A，函數fx是定義在R上的奇函數，可得f對于C，當x>0時，f(x)=x?2x+1，設x<0，則?x>0，又f?x=?fx，所以x<0對于D，由x>0時，f(x)=x?2x+1，可得f1=0，又y=x和y=?2x+1在0,+∞遞增，可得fx在0,+∞遞增，由奇函數的圖象關于原點對稱，可得fx在?∞,0遞增，且對于B，因為fx在?∞,0和0,+∞上遞增，且f1=f?1=0，由y=fx的圖象可看做y=f(x)的圖象位于x軸上方的圖象不變，將題型20題型20函數的新定義問題77．（24-25高三上·甘肅天水·階段練習）對任意兩個實數a,b，定義mina,b=a,a≤bb,a>b，若fxA．函數FxB．方程FxC．函數FxD．函數Fx【解題思路】由題意寫出Fx解析式，畫出F【解答過程】當4?x2≤x2，即x≤?當4?x2>x2，即?

對于A選項，因F(x)=F(?x)，且x∈R，函數圖像關于y對于B選項，由圖可得F(x)=0有三個解，x=?2對于C選項，由圖可得F(x)在?∞,?2和0,2上單調遞增，在對于D選項，由圖可得當x=±2時F(x)故選：B.78．（23-24高一下·上海·階段練習）已知函數maxa,b,c=a,a≥b且a≥cb,b≥a且b≥cc,c≥a且c≥b①若Kx是嚴格增函數，則K②若Kx是嚴格減函數，則K③若Kx是周期函數，則Kx=?A．無一正確 B．①② C．③ D．①②③【解題思路】根據函數Kx【解答過程】對于①項：Kx是嚴格增函數，得：?x1,又因為：Kx=maxfx,gx對于②項：Kx是嚴格減函數，得：?x1,x又因為：Kx=maxfx,gx對于③項：Kx是周期函數，設其周期為：T，則得：?x,x+kT∈R，k∈Z又因為：Kx=maxfx,gx故選：D.79．（23-24高二下·福建泉州·期末）對于定義在區間D上的函數fx，若滿足：?x1,x2∈D且x1<x2，都有fx1≤fx2，則稱函數A．f1=0 C．?x0∈【解題思路】令x=1，則有f1【解答過程】對于A中，由fx+f2?x=2，令x=1，則有對于B中，當x0=32時，f32≤2對于C中，因為f1=1,f32=1，因為?x1,x對于D中，當x=0時，f0+f2=2，可得f0=0，又由f1故選：D.80．（24-25高一上·河北石家莊·期中）設函數f(x)的定義域為R，對任意給定的正數p，定義函數fp(x)=f(x),?f(x)≤pp,??????f(x)>p，則稱fpA．f4(2)=1 B．f4C．函數y=f4(x+1)為偶函數 D．【解題思路】根據題意，做出函數f4【解答過程】由x2?2x+1≤4?x+1x?3≤0所以f4所以f42=f2=將函數f4x的圖象向左平移1個單位，圖象關于y軸對稱，即因為f4x∈0,4，當x∈0,4時，fx題型21題型21冪函數的圖象與性質81．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知冪函數fx=m2?5m+5xm?2是RA．a≥7 B．a>7 C．a≤5 D．a<5【解題思路】由冪函數列出系數的等式，解方程得m的兩個值，由偶函數，確定m的值得到函數fx，代入得到gx解析式，由對稱軸得出單調區間，列出不等式，求出【解答過程】因為fx=m2?5m+5xm?2又因為fx=m2?5m+5xm?2是偶函數，所以m=1時，fx=x?1是奇函數，舍去；m=4時，fx=x282．（2024高三下·全國·專題練習）下列關于冪函數fx=xA．冪函數的圖象都經過點0,0和1,1B．冪函數的圖象不經過第三象限C．當指數α取1，3，12時，冪函數y=D．冪函數的圖象過點14,8【解題思路】根據冪函數的圖象性質分別判斷每個選項即可.【解答過程】對于A，當α<0時，冪函數fx=xα在對于B，當x>0時，冪函數fx=x對于C，當α=1時，fx=x，在R上單調遞增；當α=3時，fx=x3，在R上單調遞增；當α=1對于D，冪函數的圖象過點14,8，即f14=1483．（2024高三·全國·專題練習）有四個冪函數：y=x?1；y=x13；y=x3；y=x?2A．y=x?1 B．y=x