【專題7.1幾何體的表面積與體積】總覽題型總覽題型梳理一．考情分析考點要求考題統計考情分析1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構。2.能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖。3.會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。4.理解柱、錐、臺、球的表面積與體積的計算公式，能運用公式計算一些簡單組合體的表面積和體積。5.會利用割補法、等體積法等數學方法求一些不規則幾何體的體積。6.能根據幾何體的三視圖或直觀圖，求幾何體的表面積或體積，以及解決與之相關的一些實際問題。7.能運用空間幾何體的表面積與體積公式，結合相關幾何知識，解決一些與最值、范圍有關的問題。2024年 新課標Ⅰ卷：未明確單獨考查該知識點，可能融合在其他立體幾何綜合題中。 甲卷：理科第14題，5分。 天津卷：第9題，5分。2023年 新課標Ⅰ卷：第12題，5分；第14題，5分，共10分。 乙卷：理科第8題，5分。 甲卷：文科第10題，5分。 天津卷：第8題，5分。1.考查題型與分值：題型以選擇題、填空題為主，偶爾在解答題中有所涉及。選擇題、填空題一般每題分值為5分，在新高考中，若考查兩個小題，占比分值約為10分；若考查一個小題和一個解答題，占比分值約為18分22分。2.命題熱點：空間幾何體的結構特征、表面積和體積的計算是命題熱點，主要考查柱、錐、臺、球及簡單組合體的相關計算。3.能力要求：要求考生具備較強的空間想象能力、計算能力，能用轉化與化歸的思想解題，通過對空間幾何體的表面積與體積的計算，考查直觀想象能力與數學運算能力。4.綜合考查：常與空間點、線、面的位置關系等知識綜合考查，在解答題中，可能會先證明線面關系、面面關系，再涉及幾何體表面積或體積的計算。5.難度分析：選擇題、填空題難度中等，若出現在解答題中，通常屬于中等偏上難度二：知識講解與題型分類【題型一：圓錐的表面積與體積】【知識講解】圓錐的定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐。旋轉軸叫做圓錐的軸，垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓錐的底面，不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓錐的側面，這條邊無論旋轉到什么位置，都叫做圓錐側面的母線。圓錐的表面積計算公式：。其中是底面半徑，是母線長。公式推導：圓錐的表面積由側面積和底面積組成。圓錐的側面展開圖是一個扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，半徑為圓錐的母線長。根據扇形面積公式（這里為弧長，為半徑），可得圓錐側面積為。圓錐的底面積為，所以圓錐的表面積。圓錐的體積計算公式：，其中是底面半徑，是圓錐的高。公式推導：可以通過實驗法或積分法來推導圓錐體積公式。實驗法通常是用等底等高的圓柱和圓錐容器，將圓錐容器裝滿水倒入圓柱容器中，會發現三次剛好倒滿，所以圓錐體積是等底等高圓柱體積的，而圓柱體積，故圓錐體積。圓錐相關元素的關系圓錐的高、底面半徑和母線構成直角三角形，滿足勾股定理。通過這個關系，已知其中兩個量，就可以求出第三個量，進而計算圓錐的表面積和體積。例題精選例題精選【例題1】（2025·黑龍江·一模）已知圓錐的軸截面是一個斜邊長為的等腰直角三角形，則圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由軸截面可得底面半徑及母線長，再由表面積公式即可求解；【詳解】因為軸截面是一個斜邊長為的等腰直角三角形，所以圓錐的底面半徑，母線，所以圓錐的表面積.故選：D.【例題2】（2025·四川自貢·二模）已知圓錐的母線長是底面半徑的2倍，則該圓錐的側面積與表面積的比值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】設圓錐底面圓的半徑為，求出側面積和表面積得解.【詳解】設圓錐底面圓的半徑為，則母線長為，，，.故選：B.【例題3】（2025·山西臨汾·二模）已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為個圓，則該圓錐的母線長為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】根據圓錐的側面積公式和圓的面積公式列出關系式，得到與的關系即可求解.【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線為，由圓錐的側面積公式可得，解得，因為，所以.故選：C.相似練習相似練習【相似題1】（2025·河北·三模）已知底面半徑為的圓錐其軸截面面積為，過圓錐頂點的截面面積最大值為，若，則該圓錐的側面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據圓錐的軸截面面積結合三角形的面積公式及圓錐側面積公式即可求解.【詳解】軸截面不是最大面積，軸截面頂角為鈍角，設母線長為，即，所以該圓錐的側面積.故選：A.【相似題2】（2025·吉林長春·二模）如圖，過圓錐的軸的截面邊長為4的正三角形，過的中點作平行于底面的截面，以截面為底面挖去一個圓柱，則余下幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據給定條件，作出組合體的軸截面，求出圓柱的底面圓半徑和高，計算表面積作答.【詳解】作出圓錐PO的軸截面，此截面截挖去的圓柱得圓柱的軸截面矩形，如圖，矩形是等腰內接矩形，圓柱底面圓直徑在圓錐底面圓直徑上，依題意，截面是邊長為4的正三角形，所以，因為是PO中點，則，，圓錐母線，圓柱的側面積，圓錐PO的表面積，剩余幾何體的表面中，圓錐底面圓挖去以CF為直徑的圓（圓柱下底面圓），而挖去圓柱后，圓柱上底面圓（以DE為直徑的圓）成了表面的一部分，它與圓柱下底面圓全等，所以剩余幾何體的表面積是.故選：D.【相似題3】（2025·北京·模擬預測）已知某圓錐高，軸截面為等腰直角三角形，則其側面積，體積.【答案】【分析】根據題意求出圓錐的底面圓半徑和母線，然后根據公式即可求解.【詳解】

如圖，為等腰直角三角形，且，所以底面圓半徑，母線長，所以側面積，體積.故答案為：；.【相似題4】（2425高二下·上海·階段練習）將一斜邊長為2的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，所形成的幾何體的側面積為．【答案】【分析】根據圓錐的側面積公式求解即可.【詳解】因為將一斜邊長為2的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，所形成的幾何體為圓錐，且圓錐的底面半徑為：，圓錐的母線長為：.所以圓錐的側面積為：.故答案為：【題型二：圓柱的表面積與體積】【知識講解】圓柱的定義以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱。旋轉軸叫做圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面，平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面，該邊無論旋轉到什么位置，都叫做圓柱側面的母線。圓柱的表面積計算公式：。這里為底面半徑，為圓柱的高。公式推導：圓柱的表面積由兩個底面圓的面積和側面面積組成。底面圓的面積根據圓的面積公式，所以兩個底面圓面積為。圓柱側面展開圖是一個矩形，矩形的一邊長等于圓柱底面圓的周長，另一邊長為圓柱的高，根據矩形面積公式，所以側面積為。那么圓柱的表面積。圓柱的體積計算公式：，其中是底面半徑，是圓柱的高。公式推導：我們可把圓柱看作是由無數個底面圓疊加而成。底面積為，疊加的高度為，根據柱體體積通用公式（是底面積，是高），所以圓柱體積。圓柱各元素關系圓柱的高與母線長相等，且母線垂直于底面。知道圓柱的高和底面半徑，就能利用上述公式計算其表面積和體積。需要注意的是，圓柱的高、底面半徑與母線長并不都相等，只有高和母線長相等。圓柱外接球半徑的計算公式如下：當圓柱底面半徑為，高為時，。此公式的推導是基于圓柱外接球的性質，即外接球的球心到圓柱上下底面圓心的距離相等且為，球心到底面圓周上任意一點的距離為外接球半徑，根據勾股定理可得上述公式。圓柱外接球的表面積公式為，體積公式為，將前面所求的代入這兩個公式，就可以計算出圓柱外接球的表面積和體積。例題精選例題精選【例題1】（2025·福建泉州·一模）已知圓柱的底面半徑與球的半徑均為1，且圓柱的側面積等于球的表面積，則該圓柱的母線長等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據圓柱側面積和球表面積公式列方程，解方程即可.【詳解】設圓柱的母線長為，則，解得.故選：B.【例題2】（2425高二下·河南·階段練習）已知某圓柱的表面積為，則該圓柱的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設圓柱的底面半徑為，高為，體積為，由已知可得到圓柱的體積關于的函數關系式，再利用導數研究函數的單調性進而求得的最大值.【詳解】設圓柱的底面半徑為，高為，依題意得，，所以，所以，所以圓柱的體積為.設，則，令，解得（負值舍去），所以在上單調遞增，在上單調遞減，因此當時，圓柱的體積取最大值，且.故選：C.【例題3】（2425高三上·云南昆明·期末）四面體各個面都是邊長為2的正三角形，其三個頂點在圓柱的下底面圓周上，另一個頂點是上底面的圓心，則圓柱的外接球的表面積（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意圓柱的底面半徑為正三角形的外接圓半徑，高為四面體的高，進而可得.【詳解】正三角形的外接圓半徑為，四面體的高，所以圓柱的外接球的半徑，即該球的表面積，故選：A相似練習相似練習【相似題1】（2023·江蘇·三模）已知底面半徑為的圓錐，其軸截面是正三角形，它的一個內接圓柱的底面半徑為，則此圓柱與圓錐的側面積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由和相似，可得，分別表示出圓柱的側面積和圓錐側面積，即可得出答案.【詳解】圓錐的高為，如圖，由和相似，可得，所以，所以,則圓柱側面積，圓錐側面積，所以.故選：D．【相似題2】（2024高三·全國·專題練習）已知某圓柱的高和底面直徑均為4，某圓錐與該圓柱的底面積和側面積相等，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓錐的側面積等于圓柱的側面積建立等式求得圓錐的母線長，從而求得圓錐的高，然后利用圓錐體積公式求得圓錐的體積.【詳解】依題意，圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為4，則圓錐的側面積等于圓柱的側面積等于．設圓錐的母線長為，則圓錐的側面積為，且，解得，所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為，故選：A．【相似題3】（2425高三上·遼寧·期末）已知圓柱與圓錐的高均為2，且二者底面半徑相等，若圓柱的側面積與圓錐的表面積相等，則圓錐的體積為.【答案】/【分析】利用給定條件建立方程求解參數，再利用圓錐體積公式求解即可.【詳解】設圓柱與圓錐的底面半徑均為，由題意得圓柱與圓錐的高均為2，則圓柱的側面積為，圓錐的表面積為，若圓柱的側面積與圓錐的表面積相等，則，化簡得，解得，且設圓錐體積為，故.故答案為：【相似題4】（2425高三上·山東·階段練習）已知圓柱的軸截面是邊長為的正方形，圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，若圓柱與圓錐的表面積相等，則．【答案】【分析】根據給定條件，利用圓柱、圓錐表面積公式計算得解.【詳解】依題意，圓柱的底面圓半徑為，母線長為，表面積，圓錐底面圓半徑為，母線長為，表面積，由，得，所以.故答案為：【相似題5】（2425高三上·北京·期末）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為.【答案】【分析】設圓柱的底面半徑為，根據圓錐和圓柱的側面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.【詳解】設圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，而它們的側面積相等，所以，即，故，故圓錐的體積為.故答案為：.【題型三：圓臺的表面積與體積】【知識講解】圓臺的定義用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺。圓臺也可以看作是由直角梯形繞垂直于底邊的腰所在直線旋轉而成的旋轉體。圓臺的表面積計算公式：，其中為上底面半徑，為下底面半徑，為母線長。公式推導：圓臺的表面積等于上底面面積、下底面面積與側面積之和。上底面面積為，下底面面積為。圓臺的側面展開圖是一個扇環，扇環的面積可以通過大扇形面積減去小扇形面積得到。設扇環的圓心角為，大扇形的半徑為，小扇形的半徑為，則。根據扇形面積公式（為扇形半徑），以及弧長公式（為弧長），可得圓臺側面積為。所以圓臺的表面積。圓臺的體積計算公式：，其中為圓臺的高，為上底面半徑，為下底面半徑。公式推導：圓臺的體積可以通過大圓錐體積減去小圓錐體積得到。設大圓錐的高為，小圓錐的高為，則。根據圓錐體積公式，可得圓臺體積為。由相似三角形的性質可知，即，又因為，所以，。將和代入體積公式并化簡，可得。設圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，高為，圓臺外接球半徑為。首先求圓臺上下底面所在圓面的圓心，到圓臺軸截面與上下底面交點的距離，，由相似三角形可得，。然后根據勾股定理可得外接球半徑公式：。圓臺外接球的表面積公式為，體積公式為，將前面所求的代入這兩個公式，就可以計算出圓臺外接球的表面積和體積。例題精選例題精選【例題1】（2425高三下·重慶·階段練習）已知圓臺上下底面圓的半徑分別為1，3，母線長為4，則該圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據圓臺表面積的計算公式，結合已知條件，直接求解即可.【詳解】設上下底面圓半徑分別為，母線長為，則圓臺表面積.故選：B【例題2】（2425高三下·重慶渝中·階段練習）已知高為4的圓臺存在內切球，其下底半徑為上底半徑的4倍，則該圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助圓臺軸截面及內切圓的性質，求出圓臺的兩底半徑及母線長，進而求得表面積.【詳解】依題意，圓臺的軸截面截其內切球得球的大圓，且該大圓是圓臺軸截面等腰梯形的內切圓，等腰梯形為圓臺軸截面，其內切圓與梯形切于點，其中分別為上、下底面圓心，如圖，設圓臺上底半徑為，則下底半徑為，，而等腰梯形的高，因此，解得，所以該圓臺的表面積為.故選：D【例題3】（2025·安徽滁州·一模）中國被稱為“制扇王國”，折扇的起源歷史悠久，最早可以追溯到西漢時期.現有一把折扇，其結構如圖.完全展開后扇面的圓心角為，上板長為若把該扇面圍成一個圓臺，則圓臺的高為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】應用幾何扇形弧長計算，結合圓臺的幾何特征計算即可.【詳解】設小扇形的半徑為xcm，則大扇形的半徑為，設圓臺的上下底面半徑分別為，則，所以，所以，所以圓臺的高為故選：相似練習相似練習【相似題1】（2025·廣東廣州·一模）已知球的表面積為，一圓臺的上、下底面圓周都在球的球面上，且下底面過球心，母線與下底面所成角為，則該圓臺的側面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設出球的半徑，求出圓臺上下底面的半徑，圓臺的母線，由圓臺的側面展圖形是扇環，利用圓臺的側面積公式可求圓臺的側面積.【詳解】作出示意圖如圖所示：設球的半徑為，由題意可得，所以是等邊三角形，所以，所以，因為球的表面積為，所以，解得，所以，所以，所以圓臺的側面積為.故選：B.【相似題2】（2025高三·全國·專題練習）底面半徑為3的圓錐被平行底面的平面所截，截去一個底面半徑為1、高為1的圓錐，所得圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據相似可得原圓錐的高，進而利用圓錐的體積公式即可求解.【詳解】由已知，設原圓錐的高為，則，所以，因為，，所以．故選：A．【相似題3】（2025高三·全國·專題練習）已知圓臺的高為，且同時過上、下底面直徑縱截面的等腰梯形的周長為10，面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設上底長和下底長，根據面積和周長列出方程組即可.【詳解】設等腰梯形的上底長為，下底長為，則腰長為，故可得①，②.由②有，代入①，解得，故，.則圓臺的體積為.故選：C.【相似題4】（2025·寧夏銀川·一模）已知一個球與某圓臺的上下底面和側面均相切，若圓臺的側面積為，上下底面面積之比為，則該球的表面積為.【答案】【分析】首先利用圓臺和球的關系求出圓臺的上下底的半徑，進一步求出圓臺的母線長，最后求出內切球的半徑和球的表面積.【詳解】如圖，設圓臺的上、下底面半徑分別為，母線長為，內切球的半徑為，因為圓臺上下底面面積之比為，所以，得，所以圓臺的側面積為，得，因為球與圓臺的上下底面和側面均相切，所以，，得，所以，，，得，所以該球的表面積為.故答案為：.【題型四：棱錐的表面積與體積】【知識講解】一、棱錐的定義有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。這個多邊形面叫做棱錐的底面，有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面，各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點，相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱。根據底面多邊形的邊數，棱錐分為三棱錐、四棱錐等，其中三棱錐又被稱為四面體。二、棱錐的表面積計算公式：棱錐的表面積。其中是底面多邊形的面積，是各個側面三角形面積之和。若底面是正邊形，邊長為，邊心距（正多邊形的中心到邊的距離）為，則底面面積（對于常見的正三角形，；對于正方形，等）。設棱錐的側棱長為，對于正棱錐（底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐），側面三角形的高（斜高）為，則一個側面三角形的面積為，個側面面積。公式推導：表面積就是組成棱錐的各個面的面積總和。底面多邊形根據其形狀利用相應的多邊形面積公式計算。對于側面，因為每個側面都是三角形，根據三角形面積公式，在正棱錐中，底面邊長為三角形的底，斜高為三角形的高，將各個側面三角形面積相加就得到側面積，再加上底面積就得到棱錐的表面積。例如，正三棱錐底面是正三角形，邊長為，其面積，若側棱長為，斜高，三個側面面積，則正三棱錐表面積。三、棱錐的體積計算公式：，其中是棱錐的底面面積，是棱錐的高（頂點到底面的距離）。公式推導：實驗法：準備一個等底等高的三棱柱和三棱錐。將三棱錐裝滿沙子，倒入三棱柱中，會發現三次剛好能將三棱柱裝滿。這表明三棱錐體積是等底等高三棱柱體積的。而三棱柱體積，所以三棱錐體積。對于任意棱錐，都可以通過分割成多個三棱錐，利用三棱錐體積公式推導出其體積公式同樣為。四、棱錐各元素關系在正棱錐中，設底面正多邊形中心為，頂點為，底面正多邊形邊長為，邊心距為，側棱長為，斜高為，高為。頂點在底面的射影為，則有（由直角三角形$POB$，為底面正多邊形邊的中點，根據勾股定理得到），同時在側面三角形中，。通過這些關系，已知部分元素，可以求出其他元素，進而計算棱錐的表面積和體積。正四棱錐設正四棱錐底面邊長為，高為，其外接球半徑的公式為：。推導過程如下：正四棱錐底面是正方形，其中心到底面頂點的距離為。設球心為，則，根據勾股定理可得，經過化簡整理即可得到上述公式。正三棱錐設正三棱錐底面邊長為，高為，其外接球半徑的公式為：。推導過程如下：正三棱錐底面是正三角形，其中心到底面頂點的距離為。設球心為，則，根據勾股定理可得，化簡后可得到該公式?！纠}精選】【例題1】（2025·陜西商洛·三模）已知正三棱錐的底面邊長為，側面積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出圖形，求出正三棱錐的高，找出外接球球心，設外接球半徑為，根據勾股定理列出關于的等式，解出的值，結合球體表面積公式可求得結果.【詳解】在正三棱錐中，正的邊長為，如下圖所示：取線段的中點，連接，則，因為正三棱錐的側面積為，則，可得，所以，，，設點在底面的射影為點，則為正的中心，且，，設正三棱錐的外接球球心為，則在直線上，設球的半徑為，則，由勾股定理可得，即，解得，因此，該正三棱錐的外接球的表面積為.故選：A.【例題2】（2425高三下·河南新鄉·階段練習）已知正三棱錐底面邊長為，且其側面積是底面積的倍，則此正三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設頂點在底面的射影點為，延長交于點，則為的中點，連接，根據題意求出、的長，可求出的長，再利用錐體的體積公式可求得該正三棱錐的體積.【詳解】在正三棱錐中，設頂點在底面的射影點為，則為正的中心，延長交于點，則為的中點，連接，因為正的邊長為，為的中點，則，因為，則，則，，由題意可知，正三棱錐的側面積為，則，即，故，因為為正的中心，則，因為平面，平面，則，所以，，因此，該三棱錐的體積為.故選：D.【例題3】（2425高三上·寧夏銀川·階段練習）底面邊長為，且側棱長為的正四棱錐的側面積為（

）A．20 B．16 C．24 D．6【答案】C【分析】利用正棱錐的性質，結合棱錐的側面積公式計算即可.【詳解】由正四棱錐底面邊長為，可得底面對角線長為4，則棱錐的高，斜高為，側面積為．故選：C.相似練習相似練習【相似題1】（陜西省西安市部分學校2025屆高三下學期3月模考數學試題）已知正四棱錐的底面邊長為6，體積為48，則該四棱錐的側面積為.【答案】60【分析】由體積公式求出高，再由勾股定理求出斜高，然后可得側面積.【詳解】設正四棱錐的邊長為，高為，斜高為，由題意可得，所以斜高，所以該四棱錐的側面積為.故答案為：60.【相似題2】（2425高二下·河南信陽·開學考試）若正四棱錐的高為6，且所有頂點都在半徑為4的球面上，則該正四棱錐的側面積為.【答案】【分析】設在底面的投影為，確定球心位置，求，由此可求側棱和側面三角形的高，再求側面積.【詳解】如下圖，設在底面的投影為，易知正四棱錐的外接球球心在上，由題設，球體半徑，則，所以，，，中邊上的高為，故正四棱錐的側面積為.故答案為：【相似題3】（2425高二上·上?！るA段練習）一個正三棱錐高為，底面是邊長為的正三角形，則此三棱錐的側面積為．【答案】18【分析】作出輔助線，得到三棱錐的側高，進而求出側面積.【詳解】如圖，正三棱錐中，，過點作⊥平面，垂足為，則，為等邊的中心，為的一條中線，則，，故，由勾股定理得，故，同理可知，則此三棱錐的側面積為.

故答案為：18【相似題4】（2425高二上·上?！るA段練習）一個直角梯形的兩底長為2和5，高為4，將其繞較長的底旋轉一周，求所得旋轉體的表面積和體積.【答案】表面積為，體積為．【分析】由圓柱與圓錐的側面積公式、體積公式計算．【詳解】由題意，，，該旋轉體是共底面的圓錐與圓柱組合體，表面積為，體積為．所以旋轉體表面積為，體積為．【題型五：棱柱的表面積與體積】【知識講解】表面積：，其中是底面多邊形的面積，是各個側面三角形面積之和。對于正棱錐，若底面周長為，斜高為，則。體積：，其中是棱錐的底面積，是棱錐的高。直棱柱外接球半徑公式對于直棱柱，設底面多邊形的外接圓半徑為，直棱柱的高為，其外接球半徑的公式為。特殊直棱柱外接球半徑公式應用正三棱柱：設底面正三角形邊長為，棱柱高為。因為底面正三角形外接圓半徑，所以外接球半徑。正四棱柱：設底面正方形邊長為，棱柱高為。由于底面正方形外接圓半徑，則外接球半徑。長方體：長方體可看作特殊的直棱柱，設長方體的長、寬、高分別為、、。此時底面長方形的外接圓直徑就是長方體的面對角線，根據勾股定理可得底面外接圓半徑，那么外接球半徑。這也可以直接根據長方體的體對角線就是外接球的直徑推導得出。正方體：正方體是特殊的長方體，設正方體棱長為，則其外接球半徑。這是因為正方體的體對角線長為，而體對角線長就是外接球直徑，所以半徑為?！纠}精選】【例題1】（2425高三上·河北滄州·階段練習）已知一個正四棱柱和某正四棱錐的底面邊長相等，側面積相等，且它們的高均為，則此正四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據正四棱柱及正四棱錐的體積公式可得正四棱錐的高與斜高的關系式，進而可得解.【詳解】

如圖所示，正四棱柱為，正四棱錐，設底邊邊長，高，則，又正四棱柱的側面積，正四棱錐的側面積，則，解得，所以正四棱錐體積，故選：B.【例題2】（2425高二下·云南玉溪·開學考試）已知正三棱柱的所有棱長相等，且六個頂點都在球的球面上，記正三棱柱的體積為，球的體積為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據球的體積公式，三棱柱的體積公式，即可求解.【詳解】解：設正三棱柱的所有棱長均為2，由正弦定理可知底面三角形外接圓半徑為：，則正三棱柱的外接球的半徑為，∴球的體積為，又正三棱柱的體積為，∴.故選：A.【例題3】（2425高三上·山東棗莊·期末）已知直三棱柱.則直三棱柱的體積為（

）A．2 B． C．6 D．【答案】D【分析】根據柱體的體積公式，即可求解.【詳解】因為直三棱柱，所以直三棱柱的體積為.故選：D.相似練習相似練習【相似題1】（2425高三下·廣東廣州·階段練習）如圖，一個直三棱柱形容器中盛有水，側棱.若側面水平放置時，水面恰好過的中點，則當底面水平放置時，水面高為（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據棱柱體積計算公式即可求解.【詳解】當側面水平放置時，水的形狀為四棱柱形，底面是梯形，設的面積為，則，水的體積，當底面水平放置時，水的形狀為直三棱柱，設水面高為，則有，得，即當底面水平放置時，水面高為9．故選：C．【相似題2】（2425高三上·浙江·期末）已知正三棱柱的側面積與以的外接圓為底面的圓柱的側面積相等，則正三棱柱與圓柱的體積的比值為.【答案】/【分析】根據兩個幾何體的側面積相等列方程，得到等量關系式，進而求得體積比.【詳解】設的邊長為，外接圓半徑為，，圓柱的高為，由正弦定理得，則，正三棱柱的側面積，圓柱的側面積，則，解得，則，，.【相似題3】（2425高二下·河南商丘·開學考試）在底面邊長為2的正三棱柱中，異面直線與所成角的余弦值為，則該正三棱柱的體積為．【答案】【分析】建立空間直角坐標系，利用異面直線所成角的向量求法求出三棱柱的高，再利用體積公式即可求得答案?！驹斀狻吭O正三棱柱的高為h，以A為坐標原點，在底面內過點A作的垂線為x軸，以所在直線為軸，建立空間直角標系，則，則，因為異面直線與所成角的余弦值為，故，由于，即，解得，故該正三棱柱的體積為，故答案為：【題型六：棱臺的表面積與體積】【知識講解】棱臺的定義1.棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的幾何體。原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面，其余各面叫做棱臺的側面，相鄰側面的公共邊叫做棱臺的側棱，上、下底面之間的距離叫做棱臺的高。棱臺的表面積1.棱臺的表面積等于各個面的面積之和，即。2.上、下底面的面積：如果棱臺的上底面和下底面是相似多邊形，設上底面面積為，下底面面積為，上、下底面的相似比為（上底面邊長與下底面相應邊長的比），則。對于常見的正棱臺（由正棱錐截得的棱臺），上、下底面是正多邊形，可根據正多邊形面積公式計算面積。例如，正邊形面積公式為（為邊長）。3.側面面積：棱臺的側面是梯形。對于正棱臺，設側面梯形的高為（也稱為斜高），上底面周長為，下底面周長為，則側面積。棱臺的體積1.棱臺的體積公式為，其中為棱臺的高，為上底面面積，為下底面面積。2.這個公式可以通過將棱臺補成棱錐，利用棱錐的體積公式推導得出。設大棱錐的高為，小棱錐（被截去的部分）的高為，則。大棱錐體積，小棱錐體積，棱臺體積，經過一系列推導可得上述體積公式。設正棱臺上下底面均為正邊形，上下底面外接圓半徑分別為、，棱臺的高為，球心到上下底面的距離分別為、，外接球半徑為。根據幾何關系，有，，且。對于正邊形，其外接圓半徑與邊長有特定的關系，如正三角形，正方形等。通過已知的上下底面邊長可求出、。然后利用上述關系聯立方程求解。例如，由和可得： 將代入可得： 這是正棱臺外接球半徑的一個表達式，實際問題中可根據具體數據代入計算。對于非正棱臺，一般需要通過更復雜的幾何分析或借助空間向量等方法來確定外接球的相關參數【例題精選】【例題1】（2025·貴州黔東南·一模）已知第一個正四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，側棱長為4cm，第二個正四棱臺的上底面、下底面邊長與第一個相同，但高為第一個正四棱臺的3倍，則第二個正四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結合正四棱臺性質求出第一個正四棱臺的高，進而得到第二個正四棱臺的高，再根據棱臺的體積公式計算求解即可.【詳解】由題意知第一個正四棱臺上底面邊長為，下底面邊長為，側棱長為4cm，如圖：設第一個四棱臺上下底面中心為，連接，結合正四棱臺性質可知四邊形為直角梯形，且，故，即棱臺的高為，則第二個正四棱臺的高為，故第二個正四棱臺的體積為.故選：C.【例題2】（2025高三·全國·專題練習）已知正四棱臺，，分別是棱，的中點，平面將正四棱臺割成兩部分，則較小部分與較大部分的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知幾何體是三棱臺，利用割補法結合臺體的體積公式運算求解.【詳解】如圖，連接，不妨設，棱臺的高設為，所以．因為，分別是棱，的中點，則，．又因為平面∥平面，可知幾何體是三棱臺，則．所以分割之后較大部分的體積為，所以較小部分與較大部分的體積之比為．故選：C．【例題3】（2025·河南·一模）已知某正四棱臺的上、下底面面積分別為1，16，高為2，則該正四棱臺的體積為（

）A．12 B．14 C．15 D．16【答案】B【分析】根據棱臺的體積公式即可求解.【詳解】.故選：B.相似練習相似練習【相似題1】（2425高二下·浙江·階段練習）已知正三棱臺的上、下底面的邊長分別為2和4，高為1，則此三棱臺的體積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，利用棱臺的體積公式計算得解.【詳解】正三棱臺的上底面積，下底面積，所以此三棱臺的體積.故選：B【相似題2】（2025·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知正三棱臺的上底面邊長為，高為，體積為，則該正三棱臺的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據臺體體積公式計算出正三棱臺下底面邊長，利用正三棱臺的幾何性質計算出球心到下底面的距離，可求出外接球的半徑，結合球體表面積公式可求得結果.【詳解】設正三棱臺的下底面邊長為，則其下底面積為，上底面面積為，所以，該三棱臺的體積為，整理可得，因為，解得，如下圖，設正三棱臺的上、下底面的中心分別為、，由正三棱臺的幾何性質可知，外接球球心在直線上，正的外接圓半徑為，正的外接圓半徑為，設，若球心在線段上，則，設球的半徑為，則，即，解得，不合乎題意；所以，球心在射線上，則，，即，解得.所以，，故該正三棱臺的外接球表面積為.故選：D.【相似題3】（2025·寧夏石嘴山·一模）正四棱臺的體積為，，，則直線AB1與直線BD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據正四棱臺的體積公式求出正四棱臺的高，建立空間直角坐標系，再利用向量法求解異面直線所成角的余弦值即可.【詳解】設正四棱臺的高為,已知體積、下底面積、上底面積,代入正四棱臺體積公式,可得，解得高，取AB的中點,連接OF,取AD的中點,連接OE，如圖，以所在的直線分別作軸，建立空間直角坐標系，而，，則頂點,，頂點，直線的方向向量為,，直線的方向向量為，，則，則直線AB1與直線BD所成角的余弦值為:.故選：C.【相似題4】（2425高一下·浙江杭州·階段練習）已知正四棱臺的上下底面分別是邊長為2和4的正方形，側棱長為2，則該正四棱臺的體積為．【答案】/【分析】根據正四棱臺的概念可知四邊形為等腰梯形，進而可得四棱臺的高，即可求得體積.【詳解】如圖所示，由正四棱臺可知且，，，四邊形為等腰梯形，取上底下底的中心平面，過作，垂足為，，且，，，所以，所以，故答案為：【相似題5】（2025高三·全國·專題練習）已知正三棱臺中，，，側棱，則該棱臺的體積為．【答案】/【分析】將其補成正三棱錐，利用相似比可得，則正三棱錐為正方體的一角，再將三棱錐的體積轉化為求正方體的體積，求出兩個正三棱錐體積再作差即可.【詳解】補成正三棱錐，因，，則為三棱錐側棱的中點，又，則，則由勾股定理可知兩兩垂直，故該圖形為正方體的一角，所以，同理，得，所以正三棱臺的體積．

故答案為：課后針對訓練【高考真題感悟】課后針對訓練一、單選題1．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．2．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．3．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2003·全國·高考真題）如果圓臺的母線與底面成角，那么這個圓臺的側面積與軸截面面積的比為（

）A． B． C． D．5．（2003·全國·高考真題）已知圓錐的底面半徑為R，高為，它的內接圓柱的底面半徑為，該圓柱的全面積為（

）A． B． C． D．6．（2023·全國乙卷·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．7．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．8．（2021·天津·高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．9．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．（2022·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．11．（2022·天津·高考真題）十字歇山頂是中國古代建筑屋頂的經典樣式之一，左圖中的故宮角樓的頂部即為十字歇山頂.其上部可視為由兩個相同的直三棱柱重疊而成的幾何體（如右圖）.這兩個直三棱柱有一個公共側面ABCD.在底面BCE中，若,,則該幾何體的體積為（

）A． B． C．27 D．12．（2023·天津·高考真題）在三棱錐中，點M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．13．（2023·全國甲卷·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．14．（2023·全國甲卷·高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．315．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．316．（2022·全國乙卷·高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A． B． C． D．二、多選題17．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．18．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側面積為C． D．的面積為19．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體三、填空題20．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為．21．（2023·全國乙卷·高考真題）已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則．22．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為．23．（2024·全國甲卷·高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為．24．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．參考答案題號12345678910答案DCACBBBBCC題號111213141516171819答案CBCABCCDACABD1．D【分析】由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側棱長為2，所以該棱臺的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺的體積.故選：D.2．C【分析】根據題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出．【詳解】依題意可知棱臺的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積．棱臺上底面積，下底面積，∴．故選：C．3．A【分析】根據題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．

4．C【分析】設圓臺的母線為，高為，由題可得，然后根據圓臺的側面積公式即得.【詳解】設圓臺的上下底面半徑分別為，圓臺的母線為，高為，由題可知，即，所以圓臺的側面積與軸截面面積的比為.故選：C.5．B【分析】根據幾何特點，求得圓柱的高，再求全面積即可.【詳解】根據題意，作圖如下：易知△，故可得，即，故可得，故圓錐的內接圓柱的全面積為：.故選：.6．B【分析】根據給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.【詳解】在中，，而，取中點，連接，有，如圖，，，由的面積為，得，解得，于是，所以圓錐的體積.故選：B7．B【分析】設圓柱的底面半徑為，根據圓錐和圓柱的側面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.【詳解】設圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，而它們的側面積相等，所以即，故，故圓錐的體積為.故選：B.8．B【分析】作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結果.【詳解】如下圖所示，設兩個圓錐的底面圓圓心為點，設圓錐和圓錐的高之比為，即，設球的半徑為，則，可得，所以，，所以，，，，則，所以，，又因為，所以，，所以，，，因此，這兩個圓錐的體積之和為.故選：B.9．C【分析】設正四棱錐的高為，由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導數法設正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當時，，當時，，所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，，時，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當且僅當取到，當時，得，則當時，球心在正四棱錐高線上，此時，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是10．C【分析】設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據圓錐的側面積公式可得，再結合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.11．C【分析】根據幾何體直觀圖，由題意結合幾何體體積公式即可得組合體的體積.【詳解】如圖所示，該幾何體可視為直三柱與兩個三棱錐，拼接而成.記直三棱柱的底面的面積為，高為，所求幾何體的體積為，則，.所以.故選：C.12．B【分析】分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.先證平面，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.【詳解】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.

因為平面，平面，所以平面平面.又因為平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因為，所以，所以，在中，因為，所以，所以.故選：B13．C【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數量積運算與余弦定理得到關于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.【詳解】法一：連結交于，連結，則為的中點，如圖，因為底面為正方形，，所以，則，又，，所以，則，又，，所以，則，在中，，則由余弦定理可得，故，則，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.法二：連結交于，連結，則為的中點，如圖，因為底面為正方形，，所以，在中，，則由余弦定理可得，故，所以，則，不妨記，因為，所以，即，則，整理得①，又在中，，即，則②，兩式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.故選：C.14．A【分析】證明平面，分割三棱錐為共底面兩個小三棱錐，其高之和為AB得解.【詳解】取中點，連接，如圖，

是邊長為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A15．B【分析】解法一：根據臺體的體積公式可得三棱臺的高，做輔助線，結合正三棱臺的結構特征求得，進而根據線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據比例關系可得，進而可求正三棱錐的高，即可得結果.【詳解】解法一：分別取的中點，則，可知，設正三棱臺的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設，則，，可得，結合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因為，則，可知，則，設正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.16．C【分析】方法一：先證明當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離