37利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)講義一、三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程的實(shí)數(shù)根函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)的零點(diǎn)．二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法解題思路：將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題．考點(diǎn)一確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)1.確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，一般有三種思路：解方程法、數(shù)形結(jié)合法、零點(diǎn)存在定理；2.根據(jù)參數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，常常應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，即通過研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、極值、函數(shù)值的極限位置等)，作出函數(shù)的大致圖象，然后通過函數(shù)圖象得出其與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，或者兩個(gè)相關(guān)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，基本步驟是“先數(shù)后形”．【例11】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【例12】(2024·河南信陽·一模)已知函數(shù)f(x)=ln(1)若m=?3，求證：f(x)≤0；(2)討論關(guān)于x的方程f(x)+23π1.(2024·四川涼山·二模)若fx=xsinx+cosx?1，x∈A．0 B．1 C．2 D．32.(多選)(2024·湖北·一模)已知函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+d存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2x1<x2A．當(dāng)a>0時(shí)，n=3 B．當(dāng)a<0時(shí)，m+2=nC．mn一定能被3整除 D．m+n的取值集合為4,5,6,73.函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).4.(2024·湖南·二模)已函數(shù)f(x)=x3+a(1)求a?b?c的值；(2)判斷函數(shù)fx5.已知函數(shù)f(x)=x(x?3)+(x+2)e(1)求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若g(x)=f(x)+x3?32考點(diǎn)二已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍【例21】(2025·四川雅安·一模)已知函數(shù)，其中，(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)可以作3條直線與曲線相切，求m的取值范圍．【例22】(2025屆煙臺(tái)市、東營市高三一模T15)已知函數(shù)在處有極大值.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【例23】(2025四川瀘州一診)已知函數(shù)f(x)=a(1)證明：y=f(x?1)為奇函數(shù)；(2)求的導(dǎo)函數(shù)的最小值；(3)若恰有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．1.(2024·四川攀枝花·二模)關(guān)于x的方程xaex+x=A．?∞,1e?e B．12.若函數(shù)fx=ex?x+a?2A．?∞,1 B．?∞,0 C．3.若函數(shù)fx=xex?x?A．?∞,1 B．?∞,0 C．4.函數(shù)fx=ex?1+1,x≥0x2+2x?3,x<0，若A．1e,4 B．e,3 C．e5.已知函數(shù).(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的值；(2)若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍.6.(2024·河南·一模)已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；(2)若fx有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)7.已知函數(shù)fx(1)當(dāng)m=1時(shí)，討論函數(shù)fx的單調(diào)性；(2)若函數(shù)fx有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)8.(2024·山西·一模)已知a>0，且a≠1，函數(shù)fx(1)記an=fn?lnn+1+n,Sn(2)若a=1e，證明：xfx≥0；(3)若考點(diǎn)三證明零點(diǎn)個(gè)數(shù)【例31】已知，令，當(dāng)時(shí)，證明∶函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).【例32】(2024·福建·模擬預(yù)測)已知函數(shù)fx(1)討論fx的單調(diào)性；(2)若不等式fx≥0(3)當(dāng)a=0時(shí)，證明函數(shù)Fx1.(2024·山東泰安·一模)已知函數(shù)fx(1)若a>0，曲線y=fx在點(diǎn)0,f0處的切線與直線x+y?2=0垂直，證明：(2)若對任意的x1,x2且x1<x考點(diǎn)四判斷或證明零點(diǎn)所在區(qū)間【例41】(2024·江西贛州·一模)已知函數(shù)fx(1)求fx的單調(diào)區(qū)間，(2)已如m>0.若函數(shù)gx=fx?m【例42】已知f(1)若fx≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)x1,x2是fx的兩個(gè)零點(diǎn)(x1.已知函數(shù)fx=2x?kx?b恰有一個(gè)零點(diǎn)x0，且A．?∞,1?ln2ln2 B．2.(2024·陜西寶雞·二模)已知函數(shù)F(1)若Fx和Gx的圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處有相同的切線，求(2)求證：當(dāng)0<a<2e時(shí)，F(xiàn)x的圖象恒在G(3)令fx=Fx?Gx，若3.(2024·河北邯鄲·三模)已知函數(shù)f(x)=xex?a(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程．(2)已知關(guān)于x的方程f(x)=ax2?ex恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x(i)求a的取值范圍；(ii)求證：x14.已知函數(shù)fx(1)若fx恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若fx的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x15.(2024·湖南株洲·一模)函數(shù)fx=x+aebx(1)求a、b的值及fx(2)設(shè)x1，x2是方程fx6.(2024·湖南邵陽·一模)已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx的單調(diào)性；(2)當(dāng)a=12時(shí)，方程f①求b的取值范圍；②證明xi1.(2024全國甲卷文T16)曲線與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為．2．(2023·全國·乙卷文)函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．3.(多選)(2022·全國·高考真題)已知函數(shù)f(x)=x3?x+1A．f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn) B．f(x)有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心 D．直線y=2x是曲線y=f(x)的切線4.(2022·全國·高考真題)已知函數(shù)fx(1)若fx≥0，求a的取值范圍；(2)證明：若fx有兩個(gè)零點(diǎn)x5.(2022全國乙卷理)已知函數(shù)f(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)0,f(2)若fx在區(qū)間?1,0,0,+6.(2022·全國·乙