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37利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)講義一、三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程的實(shí)數(shù)根函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)的零點(diǎn).二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法解題思路:將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化,化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.考點(diǎn)一確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)1.確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,一般有三種思路:解方程法、數(shù)形結(jié)合法、零點(diǎn)存在定理;2.根據(jù)參數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),常常應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法,即通過研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、極值、函數(shù)值的極限位置等),作出函數(shù)的大致圖象,然后通過函數(shù)圖象得出其與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù),或者兩個(gè)相關(guān)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),基本步驟是“先數(shù)后形”.【例11】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【例12】(2024·河南信陽·一模)已知函數(shù)f(x)=ln(1)若m=?3,求證:f(x)≤0;(2)討論關(guān)于x的方程f(x)+23π1.(2024·四川涼山·二模)若fx=xsinx+cosx?1,x∈A.0 B.1 C.2 D.32.(多選)(2024·湖北·一模)已知函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+d存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2x1<x2A.當(dāng)a>0時(shí),n=3 B.當(dāng)a<0時(shí),m+2=nC.mn一定能被3整除 D.m+n的取值集合為4,5,6,73.函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值;(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).4.(2024·湖南·二模)已函數(shù)f(x)=x3+a(1)求a?b?c的值;(2)判斷函數(shù)fx5.已知函數(shù)f(x)=x(x?3)+(x+2)e(1)求函數(shù)f(x)的最小值;(2)若g(x)=f(x)+x3?32考點(diǎn)二已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍【例21】(2025·四川雅安·一模)已知函數(shù),其中,(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),過點(diǎn)可以作3條直線與曲線相切,求m的取值范圍.【例22】(2025屆煙臺(tái)市、東營市高三一模T15)已知函數(shù)在處有極大值.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.【例23】(2025四川瀘州一診)已知函數(shù)f(x)=a(1)證明:y=f(x?1)為奇函數(shù);(2)求的導(dǎo)函數(shù)的最小值;(3)若恰有三個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.1.(2024·四川攀枝花·二模)關(guān)于x的方程xaex+x=A.?∞,1e?e B.12.若函數(shù)fx=ex?x+a?2A.?∞,1 B.?∞,0 C.3.若函數(shù)fx=xex?x?A.?∞,1 B.?∞,0 C.4.函數(shù)fx=ex?1+1,x≥0x2+2x?3,x<0,若A.1e,4 B.e,3 C.e5.已知函數(shù).(1)若恒成立,求實(shí)數(shù)的值;(2)若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍.6.(2024·河南·一模)已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間;(2)若fx有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)7.已知函數(shù)fx(1)當(dāng)m=1時(shí),討論函數(shù)fx的單調(diào)性;(2)若函數(shù)fx有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)8.(2024·山西·一模)已知a>0,且a≠1,函數(shù)fx(1)記an=fn?lnn+1+n,Sn(2)若a=1e,證明:xfx≥0;(3)若考點(diǎn)三證明零點(diǎn)個(gè)數(shù)【例31】已知,令,當(dāng)時(shí),證明∶函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).【例32】(2024·福建·模擬預(yù)測)已知函數(shù)fx(1)討論fx的單調(diào)性;(2)若不等式fx≥0(3)當(dāng)a=0時(shí),證明函數(shù)Fx1.(2024·山東泰安·一模)已知函數(shù)fx(1)若a>0,曲線y=fx在點(diǎn)0,f0處的切線與直線x+y?2=0垂直,證明:(2)若對任意的x1,x2且x1<x考點(diǎn)四判斷或證明零點(diǎn)所在區(qū)間【例41】(2024·江西贛州·一模)已知函數(shù)fx(1)求fx的單調(diào)區(qū)間,(2)已如m>0.若函數(shù)gx=fx?m【例42】已知f(1)若fx≥0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)設(shè)x1,x2是fx的兩個(gè)零點(diǎn)(x1.已知函數(shù)fx=2x?kx?b恰有一個(gè)零點(diǎn)x0,且A.?∞,1?ln2ln2 B.2.(2024·陜西寶雞·二模)已知函數(shù)F(1)若Fx和Gx的圖象有公共點(diǎn),且在公共點(diǎn)處有相同的切線,求(2)求證:當(dāng)0<a<2e時(shí),F(xiàn)x的圖象恒在G(3)令fx=Fx?Gx,若3.(2024·河北邯鄲·三模)已知函數(shù)f(x)=xex?a(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程.(2)已知關(guān)于x的方程f(x)=ax2?ex恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x(i)求a的取值范圍;(ii)求證:x14.已知函數(shù)fx(1)若fx恰有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;(2)若fx的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x15.(2024·湖南株洲·一模)函數(shù)fx=x+aebx(1)求a、b的值及fx(2)設(shè)x1,x2是方程fx6.(2024·湖南邵陽·一模)已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx的單調(diào)性;(2)當(dāng)a=12時(shí),方程f①求b的取值范圍;②證明xi1.(2024全國甲卷文T16)曲線與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則的取值范圍為.2.(2023·全國·乙卷文)函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是(
)A. B. C. D.3.(多選)(2022·全國·高考真題)已知函數(shù)f(x)=x3?x+1A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn) B.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心 D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線4.(2022·全國·高考真題)已知函數(shù)fx(1)若fx≥0,求a的取值范圍;(2)證明:若fx有兩個(gè)零點(diǎn)x5.(2022全國乙卷理)已知函數(shù)f(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=fx在點(diǎn)0,f(2)若fx在區(qū)間?1,0,0,+6.(2022·全國·乙
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