高級中學名校試題PAGEPAGE1甘肅省隴南市禮縣2025屆高三下學期開學摸底考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則中所含元素的個數為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】，，故選：B.2.復數滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設，則，所以，，所以，解得，，故，即復數的虛部為.故選：A.3.已知是單位向量，且，在上的投影向量為，則與的夾角為（）A B. C. D.【答案】D【解析】若在上投影向量為，即，由，則有，即，可得，又由，則有，解可得：，設與的夾角為，則，又由，則；故選：D4.已知各項均為正數的等比數列的前n項和為，則的值為（）A.5 B.10 C.9 D.6【答案】A【解析】設等比數列的公比為，則，且(由可得)，，，又，，，解得，.故選：A.5.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，又因為，所以得：，則，即，故選：C.6.已知正三棱錐底面邊長為，且其側面積是底面積的倍，則此正三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在正三棱錐中，設頂點在底面的射影點為，則為正的中心，延長交于點，則為的中點，連接，因為正的邊長為，為的中點，則，因為，則，則，，由題意可知，正三棱錐的側面積為，則，即，故，因為為正的中心，則，因為平面，平面，則，所以，，因此，該三棱錐的體積為.故選：D.7.若雙曲線與雙曲線的漸近線相同，則稱雙曲線與雙曲線為“共漸雙曲線”.設為雙曲線右支上一點，分別為雙曲線的左頂點和右焦點，為等邊三角形，雙曲線與雙曲線為“共漸雙曲線”，且雙曲線的焦距為16，則雙曲線的標準方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意：，設為雙曲線的左焦點，由雙曲線的定義，故，由于，化為，故，則進而可得，故雙曲線的漸近線方程為，因此的漸近線方程為，即，由于焦距為，解得，故的方程為.故選：C8.已知函數的定義域為，存在常數，使得對任意，都有，當時，，若在區間上單調遞減，則的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】存在常數，使得對任意，都有，函數的周期是當時，，且即，函數在和單調遞減，在和上單調遞增，當時，函數在區間上單調遞減，，即，故選：二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.隨機變量，則B.隨機變量，則當時概率最大C.從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，“至少有一個紅球”與“至少有一個白球”是互斥事件D.袋中裝有2個紅球和2個白球，這些球除顏色外完全相同，從中一次性摸出2個球，則摸到紅球的個數服從超幾何分布【答案】ABD【解析】對于A，隨機變量，則，A正確；對于B，隨機變量，則，，由二項式系數的性質知，當時，最大，B正確；對于C，“至少有一個紅球”與“至少有一個白球”的事件可以同時發生，即取出的兩球為一紅一白的事件，因此它們不互斥，C錯誤；對于D，設摸出紅球的個數為，則，符合超幾何分布，D正確.故選：ABD10.已知圓，則下列說法正確的是（）A.若圓與軸相切，則B.若直線平分圓的周長，則C.圓的圓心到原點的距離的最小值為D.圓與圓可能外切【答案】BC【解析】對于A，圓的圓心為，半徑為，因為圓與軸相切，，解得：或，故A錯誤；對于B，因為直線平分圓的周長，所以圓的圓心在直線上，，解得：，故B正確；對于C，圓的圓心到原點的距離，所以當時，最小值為，故C正確；對于D，圓的圓心為，半徑為，故圓與圓外切的條件為，當且僅當時，等式成立，此時方程不表示圓，故D錯誤.故選：BC.11.已知數列滿足：，是數列的前項和，，下列命題正確的是（）A. B.數列是遞減數列C. D.【答案】AD【解析】由題意，則，設，則，所以在上的單調遞減，所以，即，當時，可得，即，設，則，所以在上的單調遞增，所以，取，可得，即所以，所以選項A正確.設，則，由上在上恒成立，則，所以在上恒成立，所以在上單調遞增.所以數列是遞增數列，故選項B錯誤.由，所以，所以選項C不正確.由數列是遞增數列，所以，由上，則，所以，所以，故選項D正確.故選：

AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數為____________．【答案】【解析】，令，則，所以.故答案為：13.函數的最大值是____________．【答案】【解析】由求導可得：，令，解得，當時，，當時，，所以函數在上遞減，在上遞增，由于當時，，當時，，所以可知函數最大值為，故答案為：.14.在中，，是所在平面內一點，且，若存在點，使，則最大值為____________．【答案】【解析】已知，變形可得，即.根據向量共線定理可知，與共線，所以點在直線上.

以在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系.設，，.因為，根據兩點間距離公式可得：，兩邊同時平方展開并化簡得：，配方可得：，所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.

因為存在點，使，所以為點到直線的距離的最小值.由點的軌跡可知，圓心到直線（軸）的距離為，圓的半徑為，所以的最大值為圓的半徑.

故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.的內角所對的邊分別為，點是的外接圓的圓心，，，．（1）求該外接圓的面積；（2）求．解：（1）由，得，所以，所以，由余弦定理得，由正弦定理得，所以，所以圓的面積.（2）取的中點，連接，，則，所以，由余弦定理得，所以.16.已知相關變量和的散點圖如圖所示，擬用①，②（其中均為常數，為自然對數的底數）兩個模型擬合，令，計算得如下數據：2066770200144604.2031250000.30821500（1）設和的相關系數為，和的相關系數為，請從相關系數的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；（2）根據（1）的選擇及表中數據，建立關于的回歸方程．（系數精確到0.01）附：①相關系數，回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，；②．解：（1）由題意進行數據分析：，則，因此從相關系數的角度，模型的擬合程度更好.（2）先建立關于的線性回歸方程.由，得，即.由于所以關于的線性回歸方程為，所以，則.17.已知函數（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）試討論的單調性．解：（1）當，，所以，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）因為，所以.當時，，令，得，令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增.當時，令，解得或.當時，，所以在上單調遞增.當時，，令，解得或，令，解得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減.當時，，令，解得或，令，解得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減.綜上所述：當時，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，當時，在和上單調遞增，在上單調遞減.18.如圖，圓臺下底面圓的直徑為，是圓上異于、的點，、是圓臺上底面圓上的兩點，是的中點，，.（1）證明：平面．（2）求四面體的外接球的表面積；（3）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．（1）證明：因為，，所以，，所以，，因為為圓一條直徑，是圓上異于、的點，則，因為，、平面，，故平面.（2）解：因為平面，且為正三角形，將三棱錐補成正三棱柱，設正的中心為點，正的中心為，則的中點為外接球球心，的外接圓半徑為，，所以，外接球的半徑為，因此，四面體的外接球的表面積為.（3）解：因為平面，，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，過點作垂直于底面的垂線為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、，設點，連接、，因為，所以，，，易知平面的一個法向量為，設直線與平面所成的角為，則，不妨設，，則，設，則，則，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，直線與平面所成角的正弦值的最大值為.19.已知橢圓的右焦點為，右頂點為A，直線與軸交于點，且．（1）求橢圓的方程．（2）設點為直線上的動點，過作的兩條切線，分別交軸于點．①證明：直線的斜率成等差數列．②設經過三點，是否存在點，使得？若存在，求；若不存在，請說明理由．解：（1）由右焦點知，，所以，