高級中學名校試題PAGEPAGE1甘肅省酒泉市肅北蒙古族自治縣2024-2025學年高一下學期開學摸底考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，又，所以．故選：D．2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由于當時，有，但，故條件不是必要的；當時，有，故條件時充分的.所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A．3.已知函數的零點在區間內，且，則的值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因為函數定義域為，與均在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，即，由零點存在性定理可得，的零點所在區間為，所以．故選：B．4.把函數的圖象上的所有點的橫坐標變為原來的兩倍（縱坐標不變），再將函數圖象向左平移個單位長度后，所得的圖象對應的函數為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】將函數的圖象上的所有點的橫坐標變為原來的兩倍后，得到，再將函數圖象向左平移個單位長度后，得到．故選：A．5.生物學家認為，睡眠中的恒溫動物的脈搏率（單位：心跳次數）與體重（單位：kg）的次方成反比．若為兩個睡眠中的恒溫動物，的體重為2kg，脈搏率為210次．若的脈搏率是140次，則的體重為（）A.6kg B. C.8kg D.9kg【答案】B【解析】根據題意設，當，則，當時，則，所以.故選：B．6.若，則的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，即，又，，又，所以，所以，所以.故選：D．7.已知函數，若對任意的，都有，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若對任意的，都有，所以在上單調遞增，所以，解得，即的取值范圍是.故選：C.8.已知均為銳角，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題可得，兩邊同時除以得，所以，因為均為銳角，所以，則，當且僅當，即時取等號.故選：C．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】函數的定義域為，由圖可知，所以，選項D正確；由圖可知，所以，選項C錯誤；由，即，解得，由圖可知，所以，所以，選項A正確，選項B錯誤.故選：AD．10.已知冪函數的圖象關于軸對稱，則下列說法正確的是（）A.B.C.若，則D.函數的最小值為【答案】ACD【解析】對于A選項，因為為冪函數，有，解得或．當時，，函數為奇函數，不符合題意；當時，，函數為偶函數，函數圖象關于軸對稱．由上知，，故A正確；對于B選項，由，故B錯誤；對于C選項，因為，由，有，故C正確；對于D選項，由（當且僅當或時取等號），可得函數的最小值為，故D正確．故選：ACD．11.已知函數的圖象經過點，則下列說法正確的是（）A.若的最小正周期為，則B.若的圖象關于點中心對稱，則C.若在上單調遞增，則的取值范圍是D.若方程在上恰有兩個不同的實數解，則的取值范圍是【答案】AC【解析】因為函數的圖象經過點，所以，而，所以，即，選項A，的最小正周期是，則，A正確；選項B，的圖象關于點中心對稱，則（因為），B錯誤；選項C，時，，則，，解得，C正確；選項D，時，，方程在上恰有兩個不同的實數解，即方程在上恰有兩個不同的實數解，則，解得，D錯誤．故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數，且的圖象恒過定點，且點在冪函數的圖象上，則______．【答案】【解析】令，解得，此時，所以函數（，且）的圖象恒過定點，設冪函數，則，解得，所以．13.已知函數，，則______.【答案】【解析】∵，，所以.14.已知，且，則的最大值為______．【答案】【解析】，又，，，或（舍），，當且僅當即時，等號成立，此時的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.（1）計算；（2）計算．解：（1）.（2）．16.已知函數是定義在上的奇函數，當時，．（1）求函數解析式；（2）若關于的方程恰有兩個實數根，求的取值范圍．解：（1）因為函數是定義在上的奇函數，當時，，當時，；當時，，所以，綜上，.（2）函數的圖象如圖所示：所以且，解得或，故的取值范圍是．17.（1）已知，且，求的最小值；（2）解關于的不等式．解：（1）因為，所以得，即，所以．因為，所以．當且僅當，即時，即時，等號成立；此時.（2）當時，，解集為，當時，，①當時，，解集為；②當時，，解集為；③當時，解集為；④當時，，解集為．綜上所述：時，解集為；時，解集為；時，解集為；時，解集為；時，解集為．18.已知函數是奇函數，且．（1）求的值；（2）判斷的單調性，并證明；（3）若對任意實數，不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1）因為函數是一個奇函數，所以，即，可得，即，所以，解得或．當時，，此時，不符合題意；當時，，此時，滿足題意，綜上，.（2）在上單調遞增，不妨設，所以，又，所以，所以，所以，所以，即，所以在上單調遞增，又是奇函數且定義域為，所以在上單調遞增.（3）若對任意實數，不等式恒成立，即，又是奇函數，所以，又在上單調遞增．所以對任意實數恒成立，又，所以當時，取得最大值，所以，解得，即的取值范圍是.19.已知函數圖象的一個對稱中心到相鄰對稱軸的距離為，且．（1）求的解析式；（2）將函數的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數的圖象，若，且，求的最大值；（3）記函數在區間上的最大值為，最小值為，設函數，求函數在區間上的值域．解：（1）由題意可知，函數的最小正周期為，所以，所以，所以，故，解得，所以.（2）將函數的圖象向左平移個單位長度，可得的圖象，再向上平移1個單位長度，得到的圖象，所以，又，所以