高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1福建省泉州市部分中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7【答案】A【解析】因?yàn)椋瑒t，且，所以.故選：A.2.已知函數(shù)，則的值為（）A.1 B. C.0 D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?故選：D.3.在研究線性回歸模型時(shí)，樣本數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點(diǎn)均在直線上，用表示解釋變量與響應(yīng)變量之間的線性相關(guān)程度，則（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】由樣本數(shù)據(jù)可知解釋變量與響應(yīng)變量之間具有負(fù)相關(guān)性，所以又因?yàn)閷?yīng)的點(diǎn)均在直線上，故，故A正確.故選：A4.隨機(jī)變量的分布列如下:12ab若，則（）A.0 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】根據(jù)各離散型隨機(jī)變量對應(yīng)的概率和為1，可得，又因?yàn)椋獾茫?故選：B.5.某班聯(lián)歡會原定5個(gè)節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個(gè)互動節(jié)目，現(xiàn)將這2個(gè)互動節(jié)目插入節(jié)目單中，要求互動節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，且不相鄰，那么不同的插法種數(shù)為（）A.6 B.10 C.12 D.20【答案】C【解析】根據(jù)題意：原定5個(gè)節(jié)目之間有4個(gè)空位，從中選擇2個(gè)安排互動節(jié)目即可，所以不同的插法種數(shù)為.故選：C.6.某學(xué)校有兩家餐廳，王同學(xué)第1天選擇餐廳就餐的概率是，若第1天選擇餐廳，則第2天選擇餐廳的概率為；若第1天選擇餐廳就餐，則第2天選擇餐廳的概率為；已知王同學(xué)第2天是去餐廳就餐，則第1天去餐廳就餐的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)“王同學(xué)第i天去A餐廳就餐”，“王同學(xué)第i天去B餐廳就餐”，，依題意，，，，則，由有：，因?yàn)椋裕?故選：B.7.某人在次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為，其中，擊中偶數(shù)次為事件，則（）A.當(dāng)時(shí)，取得最小值B.若，則的取值范圍是C.若，當(dāng)取最大值時(shí)，則D.當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小【答案】D【解析】對于A，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故A錯(cuò)誤；對于B，，若，則由于，則，由于，則，則在上單調(diào)遞增.則，的取值范圍是，故B錯(cuò)誤.對于C，在20次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，當(dāng)時(shí)對應(yīng)的概率，因?yàn)槿∽畲笾担裕矗矗獾茫驗(yàn)榍遥裕磿r(shí)概率最大．故C錯(cuò)誤；對于D，，，，當(dāng)時(shí)，為正項(xiàng)且單調(diào)遞減的數(shù)列，所以隨著的增大而減小，故D正確；故選：D．8.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，且當(dāng)趨近于0或時(shí)，趨近于，所以在內(nèi)的值域?yàn)?因?yàn)榈亩x域?yàn)椋簦砜傻茫睿O(shè)，則，可知對任意恒成立，若，則對任意恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，符合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，設(shè)，則對任意恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為，即；綜上所述：，所以實(shí)數(shù)的最大值為.故選：D.9.已知，則（）A. B.C.二項(xiàng)式系數(shù)和為256 D.【答案】BC【解析】對于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，令，得，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)和為：；故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，對二項(xiàng)展開式兩邊求導(dǎo)得，，令，得，故D項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC10.設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A：所以故選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B：所以所以事件和事件相互獨(dú)立，所以事件和事件相互獨(dú)立，則故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C:故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D：因?yàn)槭录褪录嗷オ?dú)立，所以事件和事件相互獨(dú)立，所以故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，直線不是曲線的切線B.若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則C.當(dāng)時(shí)，存在等差數(shù)列，滿足D.若曲線上有且僅有四點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)正方形，則【答案】BCD【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為，所以A錯(cuò)誤，對于B，因?yàn)橛腥齻€(gè)不同的零點(diǎn)，所以，所以，所以，所以B正確，對于C，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋裕驗(yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，所以存在等差數(shù)列，滿足，所以C正確，對于D，由，得當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以曲線上不存在4個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成正方形，所以，因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以此正方形的中心為，不妨設(shè)正方形的4個(gè)頂點(diǎn)分別為，其中一條對角線的方程為，則，解得，所以，同理可得，由，得，化簡得，根據(jù)題意可知方程只有一個(gè)正解，因?yàn)樯鲜讲怀闪ⅲ裕驗(yàn)椋裕茫O(shè)，則，令，由題意可知，只需要直線與函數(shù)的圖象只有唯一的公共點(diǎn)即可，結(jié)合對勾函數(shù)圖象可知，，得，所以D正確，故選：BCD三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某學(xué)校一同學(xué)研究溫差與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)人的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù):568912（人）1720252835經(jīng)過擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則當(dāng)時(shí)，殘差為_____________.【答案】【解析】，，將代入中得，，解得，故，當(dāng)時(shí)，，故殘差.故答案為：13.在“楊輝三角”中，每一個(gè)數(shù)都是它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，它開頭幾行如圖所示.那么，在“楊輝三角”中，第_____________行會出現(xiàn)三個(gè)相鄰的數(shù)，其比為2:3:4.【答案】34【解析】由題意可知第行第個(gè)數(shù)為，根據(jù)題意，設(shè)所求的行數(shù)為，則存在正整數(shù)，使得連續(xù)三項(xiàng)，，，有且．化簡得，，聯(lián)立解得，．故第34行會出現(xiàn)滿足條件的三個(gè)相鄰的數(shù)．故答案為：34.14.英國物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應(yīng)用非常廣泛.其定義是:對于函數(shù)，若滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列.已知，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，繼續(xù)牛頓法的操作得到數(shù)列.設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)積為.若對任意的恒成立，則整數(shù)的最小值為_____________.【答案】2【解析】由，則，，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知點(diǎn)在直線上，所以，，，則，，，因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)近似值為r，且函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)椋闪泓c(diǎn)存在定理可知，由題意可知，，故整數(shù)的最小值為2.故答案為:2四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在十九大報(bào)告中指出，必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，某城市選用某種植物進(jìn)行綠化，設(shè)其中一株幼苗從觀察之日起，第天的高度為，測得一些數(shù)據(jù)圖如下表所示:第天12345高度1.31.72.22.835（1）由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以證明；（2）求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測第7天這株幼苗的高度.參考數(shù)據(jù):.參考公式:相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.解：（1）由，，，所以，因?yàn)榕c1非常接近，故可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2）由題意可得：，所以關(guān)于的回歸直線方程為．當(dāng)時(shí)，，由此預(yù)測當(dāng)年份序號為第7天這株幼苗的高度為4.5.16.定義:若函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則稱函數(shù)與在區(qū)間上單交，此交點(diǎn)被稱為“單交點(diǎn)”.已知函數(shù).（1）當(dāng)，判斷函數(shù)在點(diǎn)處的切線與函數(shù)是否在R上單交，若是，并求出“單交點(diǎn)”的坐標(biāo);若不是，說明理由?（2）若函數(shù)與在上存在“單交點(diǎn)”，求的值.解：（1），，，故在點(diǎn)處的切線方程為，時(shí)，，聯(lián)立與得，，解得，故函數(shù)在點(diǎn)處的切線與函數(shù)在R上單交，當(dāng)時(shí)，，故單交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）令，定義域?yàn)椋睿矗剩睿瑒t，，令得，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故在處取得極小值，也是最小值，且，若函數(shù)與上存在“單交點(diǎn)”，故.17.ChatGPT是AI技術(shù)驅(qū)動的自然語言處理工具，引領(lǐng)了人工智能的新一輪創(chuàng)新浪潮.某數(shù)學(xué)興趣小組為了解使用ChatGPT人群中年齡與是否喜歡該程序的關(guān)系，從某社區(qū)使用過該程序的人群中隨機(jī)抽取了60名居民進(jìn)行調(diào)查.整理如下列聯(lián)表：年齡因素對該程序的態(tài)度合計(jì)不喜歡該程序喜歡該程序青少年7中老年1630合計(jì)21注:本研究定義年齡不小于45周歲為“中老年人”，其余的稱為“青少年”.（1）請完成上面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為年齡因素與是否喜歡該程序有關(guān)系;（2）在抽取的60名居民中有5人經(jīng)常使用該程序輔助工作.以樣本頻率估計(jì)概率.若在全市范圍內(nèi)抽取20位居民，經(jīng)常使用該程序輔助工作的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差;（3）在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.為進(jìn)一步了解他們的對于AI的認(rèn)知和看法，在10名高中生中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下；性別不喜歡該程序喜歡該程序合計(jì)青少年72330中老年141630合計(jì)213960零假設(shè)為：年齡因素與是否喜歡該程序無關(guān)；根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)計(jì)算可得χ2=根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即年齡因素與喜歡該程序有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1．（2）由題意可知：隨機(jī)抽取一人為“經(jīng)常使用該程序輔助工作”的概率，可知，所以，．（3）易知10名高中生有7名男生，3名女生，則Y的所有可能取值為0，1，2，3，且Y服從超幾何分布：，，，故所求分布列為Y0123P可得18.已知，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性;（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，證明:.解：（1）由題意可知：的定義域?yàn)椋簦瑒t，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值.（2）因?yàn)椋芍亩x域?yàn)椋遥簦瑒t，可知在內(nèi)單調(diào)遞增；若，則，可知有2個(gè)實(shí)根，，且，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上所述：若，在內(nèi)單調(diào)遞增；若，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（3）當(dāng)時(shí)，則，可得對任意的，則，則12m-nm令，則，設(shè)Ft=t-1可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則Ft>F1=0，即可得12即32m-nh19.近年來，購買盲盒成為當(dāng)下年輕人的潮流之一，為了引導(dǎo)青少年正確消費(fèi)，國家市場監(jiān)管總局提出，盲盒經(jīng)營行為應(yīng)規(guī)范指引，經(jīng)營者不能變相誘導(dǎo)消費(fèi)，盲盒最吸引人的地方，是因?yàn)楹凶由蠜]有標(biāo)注，只有打開才會知道自己買到了什么，這種不確定性的背后就是概率，現(xiàn)有玩具店推出四種款式不同、單價(jià)相同的盲盒（這四款分別是草莓熊、三麗鷗、蛋仔、卡皮巴拉），每款數(shù)量足夠多，購買規(guī)則及概率規(guī)定如下:每次購買一個(gè)，且買到任意一種款式的盲盒是等可能的.（1）現(xiàn)小明欲到玩具店購買盲盒，設(shè)他首次買到草莓熊這款盲盒時(shí)所需要的購買次數(shù)為，證明:;（2）設(shè)首次出現(xiàn)連續(xù)次購買到草莓熊這款盲盒時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)期望為，（i）求;（ii）求.提示:求的方式:先進(jìn)行第一次試驗(yàn)，若第一次試驗(yàn)失敗，因?yàn)槌霈F(xiàn)試驗(yàn)失敗對出現(xiàn)連續(xù)兩次成功毫無幫助，可以認(rèn)為后續(xù)期望仍是，即總的試驗(yàn)次