高級中學名校試題PAGEPAGE1福建省龍巖市上杭縣某校2024-2025學年高二下學期3月質量檢查數學試題注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上.一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應位置上）1.函數在區間上的平均變化率為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】函數在區間上的平均變化率為.故選：C2.函數，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，故選：D.3.若，則等于（）A. B.3 C. D.6【答案】D【解析】因為，所以，所以，所以，所以，故選：D．4.已知函數，則的圖象在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數，求導得：，則，而，因此，即，所以的圖象在處的切線方程為：.故選：A5.若在和處有極值，則函數的單調遞增區間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，由已知得，解得，所以，所以，由，解得，所以函數的單調遞增區間是.故選：C．6.如圖是函數的導數的圖象，則下面判斷正確的是（）A.在內是增函數B.在內是增函數C.時取得極大值D.在時取得極小值【答案】B【解析】由圖可知，在區間上,單調遞減；在區間上,單調遞增.所以不是的極值點，是的極大值點.所以ACD選項錯誤，B選項正確.故選：B7.已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當時，函數在上單調遞減，不符合題意，所以，由題可知恒成立，即.令，則，所以在上單調遞增，由，可得，即，所以，所以，當時，，不符合題意，故的取值范圍是.故選：B8.已知函數在區間內任取兩個實數p、q，且，不等式恒成立，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為的幾何意義為：表示點與點連線的斜率，因為實數，在區間，故在區間內，不等式恒成立，所以函數圖象上在區間內任意兩點連線的斜率大于1，故函數的導數大于1在內恒成立，由函數的定義域，所以在內恒成立，即在內恒成立，由于二次函數在上是單調增函數，故時，在上取最大值為15，故實數a的取值范圍為.故選：B二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分）9.下列求導正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對于A選項，，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，，D對.故選：BD.10.已知函數，則（）A.當時，有兩個極值點B.當時，有三個零點C.點是曲線的對稱中心D.當時，過點可作曲線的三條切線【答案】ABD【解析】對于A，由題知，定義域為，則，當時，令，得或，令，得或，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，所以為極大值點，為極小值點，故A正確；對于B，當時，當時，；當時，，且，，因為，所以，，所以，，所以有三個零點，B正確；對于C，若點是曲線的對稱中心，則滿足恒成立，因為，，所以，其值不恒為0，C錯誤；對于D，設過點的直線與相切的切點為，則，且切線斜率為，故切線的方程為，即，因為切線過，則，整理得，即，構造函數與，對于函數，，令，得，令，得或，即該函數在和上單調遞增，令，得，即該函數在上單調遞減，時，函數有極小值；時，函數有極大值，當時，；當時，，作出函數與的圖象，如圖，因為，所以，所以函數與圖象有三個交點，即方程有三個解，即過點可作曲線的三條切線，D正確.故選：ABD.11.已知函數的定義域為，其導函數為，且滿足，，則下列結論一定成立的是（）A.方程有唯一實數根B.在區間上單調遞增C.D.若且，則【答案】BCD【解析】設，則，所以恒為常數.又由于，故.所以，即.對于A，由于，故對有，對有.從而在上遞減，在上遞增，故，所以方程沒有實數根，故A錯誤；對于B，前面已經證明在上遞增，故B正確；對于C，前面已經證明，所以，故C正確；對于D，若，，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數，則_______．【答案】6【解析】因，由可得，故.故答案為：6.13.過點作曲線的切線的斜率為______．【答案】2【解析】，設切點橫坐標為，故曲線在處的切線方程為l：，將，代入，得，解得，∴，故答案：214.若對任意正數x恒成立，則實數a的取值范圍為__________．【答案】【解析】因為，且，可得，整理可得，構建又因為在內單調遞增，可得在內單調遞增，可得，且，整理可得，令，可得，構建，則，令，解得；令，解得；可知在內單調遞增，則內單調遞減，則，可得，即，所以實數a的取值范圍為.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.求下列函數的導數：（1）；（2）；（3）；（4）（5）．解：（1）（2）（3）（4），則（5）16.已知函數．（1）求的極值；（2）求在區間上的最大值與最小值.解：（1）∵，∴，x13+0-0+單調遞增極大值2單調遞減極小值單調遞增故的極大值是，極小值是；（2）由（1）知：x12+0-單調遞增極大值2單調遞減即函數在區間,上的最大值為2，最小值為.17.設函數．（1）求該函數的單調區間；（2）若當x∈[﹣2，2]時，不等式f（x）＜m恒成立，求實數m的取值范圍．解：（1）∵，∴f′（x）＝xexx2exexx（x+2），令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜0，∴f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，﹣2），（0，+∞），單調減區間為（﹣2，0）；（2）∵當x∈[﹣2，2]時，不等式f（x）＜m恒成立，∴m＞f（x）max，由（1）可知，f′（x）＝xexx2exexx（x+2），令f′（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝0，∵f（﹣2），f（0）＝0，f（2）＝2e2，∴f（x）max＝2e2，∴m＞2e2，∴實數m的取值范圍為m＞2e2．18.已知函數.（1）當時，求經過點且與曲線相切的切線方程；（2）若存在實數，使得，則稱為函數的不動點.已知函數有3個不動點，求的取值范圍.解：（1）當時，，則，設切點為，，所以切線斜率，解得，即，所以切線方程為，即為所求切線方程.（2）由題意得，方程有個不同實數根，令，則函數有3個零點，，當時，，在R上單調遞增，所以只有1個零點，不符合題意：當時，令，得，則，隨著的變化情況如下表，單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增由函數有3個零點，根據上表可得，解得，綜上可得，的取值范圍.19.已知函數．（1）討論函數的單調區間；（2）當時，證明：；（3）函數有兩個零點、，求證：．解：（1）函數的定義域為，，當時，對任意的，，由可得，由可得，此時，函數的減區間為，增區間為；當時，由可得，由可得或，此時函數的減區間為，增區間為、；當時，對任意的，，此時函數的增區間為；當時，由可得，由可得或，此時，函數的減區間為，增區間為、.綜上所述，當時，函數的減區間為，增區間為；當時，函數的減區間為，增區間為、；當時，的增區間為，無減區間；當時，函數的減區間為，增區間為、.（2）當時