高級中學名校試題PAGEPAGE1北京市通州區2023-2024學年高二下學期期末質量檢測數學試卷第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，，而，所以.故選：D2.下列函數中，在區間上單調遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對于A，函數在上單調遞減，A不是；對于B，函數在上單調遞減，B不是；對于C，函數在上單調遞增，C是；對于D，函數在上單調遞減，D不是.故選：C3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，即，，所以.故選：A4.設，為兩個隨機事件，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由條件概率可得,所以,故選：B5.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，，，得，當且僅當時取等號，反之，，，，取，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A6.在的展開式中，的系數為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為的通項公式為，令得，所以的系數為.故選：D.7.有兩臺車床加工同一型號零件，第1臺加工的次品率為，第2臺加工的次品率為，將兩臺車床加工出來的零件混放在一起，已知第1臺，第2臺車床加工的零件占比分別為，，現任取一件零件，則它是次品的概率為（）A.0.044 B.0.046 C.0.050 D.0.090【答案】B【解析】記現任取一件零件它是次品為事件，則.故選：B8.某工廠生產一種產品需經過一，二，三，四共4道工序，現要從，，，，，這6名員工中選出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果員工不能安排在第四道工序，則不同的安排方法共有（）A.360種 B.300種 C.180種 D.120種【答案】B【解析】從6名員工中任選4人，安排在4道工序上工作的安排方法數為種，其中員工在第四道工序工作的安排方法數為種，所以不同的安排方法共有（種）.故選：B9.設函數為定義在上的奇函數，若曲線在點處的切線的斜率為10，則（）A. B. C.6 D.16【答案】C【解析】由函數為定義在上的奇函數，得，則，兩邊求導得，即，而，則，所以.故選：C10.已知函數；若方程恰有三個根，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，求導得，由，得，由，得，即函數在上遞增，在上遞減，當時，取得極大值，且當時，恒成立，在同一坐標系內作出直線與函數的圖象，如圖，觀察圖象知，當時，直線與函數圖象有3個公共點，即方程恰有三個根，所以實數的取值范圍是.故選：C第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數的定義域是_____________．【答案】【解析】對于函數，則，解得，所以的定義域為.故答案為：12.不等式的解集是_____________．【答案】【解析】因為,所以或.故答案為：13.某區高二年級4000名學生的期中檢測的數學成績服從正態分布，則成績位于的人數大約是_________________．（參考數據：，）【答案】1365【解析】令高二年級4000名學生的期中檢測的數學成績為，則，其中，則，所以成績位于的人數大約是.故答案為：136514.已知命題：函數為上的增函數．能說明為假命題的一組，的值為_________________，_________________．【答案】①2②0（答案不唯一，滿足均可）【解析】函數在上單調遞增，在單調遞增，則由函數為上的增函數，得，即命題為真命題時，，因此為假命題時，，能說明為假命題一組，的值可以為，.故答案為：2；015.已知函數，關于以下四個結論：①函數的值域為；②當時，方程有兩個不等實根；③當，時，設方程的兩個根為，，則為定值；④當，時，設方程的兩個根為，，則．則所有正確結論的序號為_________________．【答案】①②④【解析】對于①，函數，由于，故，因此函數的值域為，①正確；對于②，當時，方程，解得或，而，方程有兩個不等實根，②正確；對于③，當時，，不妨令，，則，則，由于在上單調遞增，故隨的增大而增大，③錯誤；對于④，當時，，不妨令，，則，④正確，所以所有正確結論的序號為①②④.故答案為：①②④三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．16.已知函數．（1）若函數為奇函數，求實數的值；（2）當，時，求函數在區間上的最小值．解：（1）函數的定義域為，由于為奇函數，則對于定義域內任意，都有成立，即，即恒成立，而當時，所以.（2）當，時，，由，得，當且僅當，即時取等號，所以，當時函數取得最小值為4.17.某班級的所有學生中，課前是否預習本節課所學內容的人數情況如下表所示．男生女生預習了所學內容1217沒預習所學內容65現從該班所有學生中隨機抽取一人：（1）求抽到預習了所學內容的概率；（2）若抽到的同學是男生，求他預習了所學內容的概率；（3）試判斷“抽到的同學是男生”與“抽到的同學預習了所學內容”是否相互獨立，并說明理由．解：（1）設抽到預習本節課所學內容的同學為事件A，抽到的同學是男生為事件B，由數表知，該班共有40名同學,預習了本節課所學內容的學生有29人，則.（2）依題意，，因此，所以抽到的同學是男生，他預習了所學內容的概率為.（3）由數表知，，，，，所以“抽到同學是男生”與“抽到的同學預習了本節課所學內容”不相互獨立.18.為促進全民閱讀，建設書香校園，某校在寒假面向全體學生發出“讀書好、讀好書、好讀書”的號召，并開展閱讀活動．開學后，學校隨機抽取了100名學生，調查這100名學生的假期日均閱讀時間（單位：分鐘），得到了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）若該校共有2000名同學，試估計該校假期日均閱讀時間在內的人數；（2）開學后，學校從日均閱讀時間不低于60分鐘的學生中，按照分層抽樣的方式，抽取了6名學生作為代表進行國旗下演講．若演講安排在第二，三，四周（每周兩人，不重復）進行．求第二周演講的2名學生至少有一名同學的日均閱讀時間處于的概率；（3）用頻率估計概率，從該校學生中隨機抽取3人，設這3人中日均閱讀時間不低于60分鐘人數為，求的分布列與數學期望．解：（1）由頻率分布直方圖知，各組頻率依次為：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，則100人的樣本中假期日均閱讀時間的頻率為，估計該校學生假期日均閱讀時間在內的頻率為0.4.所以估計該校假期日均閱讀時間在內的人數為人.（2）閱讀時間在，，的頻率依次為：0.3，0.2，0.1，則在，，抽取的人數依次為3人，2人，1人，設第二周演講的2名學生至少有一名同學的日均閱讀時間處于為事件A，所以.（3）從該校學生中隨機抽取1人，則此人假期日均閱讀時間不低于60分鐘的概率為，隨機變量的可能取值為，得，則，，，，所以的分布列為0123數學期望為.19.某農產品經銷商計劃分別在甲、乙兩個市場銷售某種農產品（兩個市場的銷售互不影響），為了了解該種農產品的銷售情況，現分別調查了該農產品在甲、乙兩個市場過去10個銷售周期內的銷售情況，得下表：銷售量銷售周期個數市場3噸4噸5噸甲343乙253（1）從過去10個銷售周期中隨機抽取一個銷售周期，求甲市場銷售量為4噸的概率；（2）以市場銷售量的頻率代替銷售量的概率．設（單位：噸）表示下個銷售周期兩個市場的總銷售量，求隨機變量概率分布列；（3）在（2）的條件下，設該經銷商計劃在下個銷售周期購進噸該產品，在甲、乙兩個市場同時銷售，已知該產品每售出1噸獲利1000元，未售出的產品降價處理，每噸虧損200元．以銷售利潤的期望作為決策的依據，判斷與應選用哪一個．解：（1）設甲市場銷售量為4噸的事件為A，則.（2）設甲市場銷售量為噸的概率為，乙市場銷售量為噸的概率為，則由題意得，，；，，，設兩個市場總需求量為的概率為，所有可能的取值為6，7，8，9，10，，，，，，所以的分布列如下表：6789100.060.230.350.270.09（3）由（2）知，，，當時，銷售利潤，當時，，當時，，因此的分布列為：0.06則元；當時，，，，銷售利潤，當時，，當時，，當時，，因此的分布列為：0.060.71則元；因為，所以應選.20.已知函數．（1）若曲線在點處的切線的斜率為1，求曲線在點處的切線方程；（2）定義：若，均有，則稱函數為函數的控制函數．①，試問是否為函數的“控制函數”？并說明理由；②，若為函數的“控制函數”，求實數的取值范圍．解：（1），所以，解得或，可得切點坐標為，或，所以曲線在點處的切線方程為，曲線在點處的切線方程為；（2）①是“控制函數”，理由如下，由得，可得，，因為時，恒成立，即恒成立，所以函數為函數的“控制函數”；②若為函數的“控制函數”，則，恒成立，即，恒成立，令，，，當時，，當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，所以在有極小值，，，所以.21.已知函數．（1）當時，求的最小值；（2）求的單調區間；（3）寫出的零點個數（直接寫出結果）．解：（1）函數的定義域為，當時，，求導得，而，則當時，，當時，，因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，取得最小值為.（2）函數的定義域為，求導得，當時，，則當時，，當時，，因此函數在上單調遞減，在上單調遞增；當時，令，解得，，①當，即時，由，得，由，得，因此函數在上單調遞減，在上單調遞增；②當，即時，由，得或，由，得，因此函數在，上單調遞增，在單調遞減；③當，即時，恒成立，函數上上單調遞增；④當，即時，由，得或，由，得，因此函數在，上單調遞增，在單調遞減，所以當時，函數的遞減區間為，遞增區間為；當時，函數的遞減區間為，遞增區間為，；當時，函數的遞增區間為，