高級中學名校試題PAGEPAGE1北京市石景山區2025屆高三一模考試數學試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為全集，集合，所以，故選：B2.在復平面內，復數對應的點坐標為，則實數（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】因為，則復數在復平面內對應的點為，又復數對應的點坐標為，所以.故選：D3.在的二項展開式中,x的系數為()A.10 B.-10 C.40 D.-40【答案】D【解析】∵,∴當時,.∴,故選D.4.在中，若，則（）A B. C.1 D.2【答案】A【解析】因為，即，由正弦定理，所以，所以，又，所以，所以.故選：A5.已知x，，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以，即，故A錯誤；因為，所以，即，故B正確；因為，而余弦函數在上不單調，如，故C錯誤；因為，由于當時，恒有，故D錯誤；故選：B.6.已知拋物線的焦點為，點在上，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】拋物線的準線方程為，又點在上且，則，所以，即，故A錯誤，C正確；又，所以，所以，故B、D錯誤.故選：C7.等比數列中，，設甲：，乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】已知等比數列中，若，設公比為.根據等比數列通項公式，即，解得.再根據通項公式求，所以由能推出，充分性成立.

若，同樣根據等比數列通項公式，即，解得，則.又因為，所以由能推出，必要性成立.由于充分性和必要性都成立，所以甲是乙的充要條件.

故選：C.8.經研究表明，糖塊的溶解過程可以用指數型函數（a，k為常數）來描述，其中S（單位：克）代表t分鐘末未溶解糖塊的質量．現將一塊質量為7克的糖塊放入到一定量的水中，在第5分鐘末測得未溶解糖塊的質量為3.5克，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，當時，，當時，，則，則，即.故選：A.9.已知點M，N為圓上兩點，且，點P在直線上，點Q為線段中點，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】已知圓的方程為，將其配方可得.可知該圓的圓心坐標為，半徑.

因為點為線段MN的中點，根據垂徑定理可知.已知，則.在中，根據勾股定理.所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.

已知點在直線上，可得圓心到直線的距離為：.

因為點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以的最小值等于圓心到直線的距離減去圓的半徑，即故選：B.10.如圖，在棱長為2的正方體中，M，N，P分別是，，的中點，Q是線段上的動點（不包含端點），給出下列三個命題：①對任意點Q，都有；②存在點Q，使得平面；③過點Q且與垂直的平面截正方體所得截面面積的最大值為．其中正確的命題個數是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】以為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，設，對于①，，則，所以，即，故①正確；對于②，，設平面的一個法向量為，則，取，得，要使平面，則，則，即，不符合題意，所以不存在點Q，使得平面，故②錯誤；對于③，如下圖，在平面內作⊥，垂足為點，過點作在平面內作⊥交于，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以⊥，因為，、平面，所以平面，平面截正方體截面為平行四邊形，當與點重合時，為中點，截面面積最大，此時，，截面面積為，故③對.故選：C.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.若，則___________.【答案】2【解析】，，所以故答案為：12.如圖，角以為始邊，它的終邊與單位圓相交于點，且點的橫坐標為，則的值為______【答案】【解析】由題意，點的橫坐標為，則，則.故答案為：.13.設，，，則______．【答案】【解析】由，得，因為，所以，即，所以.故答案為：.14.已知雙曲線，若，則雙曲線的漸近線方程為______；若雙曲線上存在四個點A，B，C，D使得四邊形為正方形，則m的一個取值為______．【答案】①.②.（答案不唯一）【解析】當時，雙曲線為，此時，則雙曲線的漸近線方程為.雙曲線，即，其漸近線方程為，要使雙曲線上存在四個點滿足四邊形是正方形，根據正方形的對稱性可得正方形的對稱中心在原點，且在第一象限內的頂點橫縱坐標相等，則，解得，可取.故答案為：；（答案不唯一）.15.高斯取整函數的函數值表示不超過x的最大整數，例如，，．有如下四個結論：①若，則；②函數與函數無公共點；③；④所有滿足點組成區域的面積為．其中所有正確結論的序號是______．【答案】①②④【解析】對于①：若，則，則，，即，故①正確；對于②：函數與函數的圖象如圖所示，由圖可得函數與函數無公共點，故②正確；對于③：當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，，故③錯誤；對于④：當時，，此時組成區域的面積為1，當時，，此時組成區域的面積為1，當時，，此時組成區域的面積為1，當時，，此時組成區域的面積為，綜上點組成區域的面積為，故④正確．故答案為：①②④.三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數（其中，，）．從條件①、條件②、條件③這三個條件中選出兩個作為已知，使得函數唯一確定．（1）求函數的解析式；（2）求函數在上的最大值和最小值．條件①：；條件②：是的對稱中心；條件③：可以由函數平移得到．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答．按第一個解答計分．解：（1）①，由，得；②，由是的對稱中心，得，則，；③，由，因為可以由函數平移得到，則，.由上述可知，要使函數唯一確定，則必須要選③.選①③，由上述可知，，，，則，即，所以或，，則或，，又，則，即.選②③，由上述可知，，，，，則，，即，，又，則，即.（2）由，得，則，則，所以函數在上的最大值為2，最小值為.17.某市在高中階段舉辦“環保知識競賽”，全體高中生參與了此次活動．現從參賽學生中隨機抽取了男、女各30名學生，將他們的成績（單位：分）按，，，，五個分數段進行分組，統計如下：成績男生人數361182女生人數ab1242（1）在抽取60名學生中，從成績在80分及以上的學生中隨機抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分數段不同的概率；（2）從該市參賽的男生中隨機抽取4人，設成績在80分及以上的人數為X，用頻率估計概率，求X的分布列和數學期望；（3）試確定a，b的值，使得抽取的女生成績方差最小．（結論不要求證明）解：（1）確定成績在80分及以上的學生人數，男生中成績在的有8人，在的有2人，共人；女生中成績在的有4人，在的有2人，共人.所以成績在80分及以上的學生共有人.

從這16人中隨機抽取2人的總組合數為種.

要滿足恰好男、女生各1人且分數段不同，分兩種情況：男生從選，女生從選，有種選法.

男生從選，女生從選，有種選法

所以滿足條件的選法共有種.

根據古典概型概率公式所求概率.（2）從男生中隨機抽取1人，成績在80分及以上的概率為.

從該市參賽的男生中隨機抽取4人，設成績在80分及以上的人數為X，因為每次抽取是相互獨立的，且概率相同，所以X服從參數為，的二項分布，即.

根據二項分布的概率公式，可得：.

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所以X的分布列為：X01234P根據二項分布的數學期望公式，可得.（3）因為抽取的女生共30人，所以，即.當數據越集中時方差越小，所以當時，抽取的女生成績方差最小.18.如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，N為的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）點M在線段上，直線與平面所成角的正弦值為，求點M到平面的距離．（1）證明：設的中點為，連接，因為N為的中點，所以，且，又，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面.（2）解：記的中點為，連結，因為，，，所以四邊形是矩形，則，，以為原點，以，，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，則，，，設平面的一個法向量為，所以，令，則，設平面的一個法向量為，所以，令，則，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.（3）解：依題意，設，則，又由（2）得平面的一個法向量為，記直線與平面所成角為，所以，解得（負值舍去），所以，則，而由（2）得平面的一個法向量為，所以點到平面的距離為.19.已知橢圓過點，短軸長為4．（1）求橢圓的方程；（2）橢圓與軸的交點為，（點位于點的上方），直線與橢圓交于不同的兩點，．設直線與直線相交于點．試問點是否在某定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．解：（1）依題意可得，解得，所以橢圓的方程為；（2）在定直線上，理由如下：設點與直線聯立消去整理得，由，且，所以，易知，，則，，兩式作商得，解得，故在定直線上.20.已知函數．（1）若，（i）求曲線在點處的切線方程；（ii）證明：函數在區間上有且只有一個零點．（2）若實數使得對恒成立，求的取值范圍．解：（1）（i）當時，則，又，則，所以函數在點處的切線方程為；（ii）因為，，令，，則，當時，所以，所以即在上單調遞減，又，所以，所以在上單調遞增，又，當時，，所以，所以在區間上有且只有一個零點；（2）由對恒成立，即對恒成立，令，，則，所以，令，則，當時，對任意，則，所以在單調遞減，所以，滿足題意；當時，在上恒成立，所以在單調遞減，又，，①當，即時，恒成立，所以在單調遞減，所以，滿足題意；②當且時，即時，由零點存在性定理知，，使得.當時，，所以在上單調遞增，所以，不滿足題意；③當時，即時，對任意單調遞增，所以，不滿足題意.綜上，的取值范圍為.21.已知有窮數列：，，…，經過一次M變換后得到數列：，，…，，．其中，表示a，b中的最小者．記數列A的所有項之和為．（1）若：1，3，2，4，寫出數列并求；（2）若：，，…，是1，2，3，…，n的一個排列，例如，當時，4，1，3，2可以為1，2，3，4的一個排列．（i）當時，求的最小值；（ii）若經過一次M變換后得到數列，求的最小值．解：（1）由題意，，即1，2，2，1．所以．（2）（i）