高級中學名校試題PAGEPAGE1安徽省廬巢聯盟2023-2024學年高一下學期第二次月考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數，是虛數單位，則下列結論正確的是（）A. B.的共軛復數為C.的實部與虛部之和為1 D.在平面內的對應點位于第一象限【答案】D【解析】，所以，A選項錯誤；，B選項錯誤；的實部與虛部之和為2，C選項錯誤；對應點為，在第一象限，，D選項正確.故選：D.2.已知邊長為2的正三角形采用斜二測畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，是邊長為2正的直觀圖，則，，則高，故的面積.故選：C.3.下列說法中，正確的個數是（）①如果兩條平行直線中的一條和一個平面相交，那么另一條也和這個平面相交；②一條直線和另一條直線平行，它就和經過另一條直線的任何平面平行；③若直線在平面外，則.A. B.C. D.【答案】B【解析】在正方體中，，與平面相交，則與平面相交，①正確；若兩條直線平行，則它們共面，因此這條直線可能在經過另一條直線的平面內，故②不正確；對于③，包括兩種情形，直線或直線與相交，故③不正確.故選：B.4.已知是虛數單位，是復數的共軛復數，，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設，則由題設可得.故選：A．5.已知圓錐的表面積為，且它的側面展開圖是一個半圓，則圓錐的底面半徑為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】故選：C.6.設非零向量，滿足，則（）A.⊥ B.C.∥ D.【答案】A【解析】由平方得，即，則.故選：A.7.在中，角，，的對邊分別為，b，，若，則角的值為（）．A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】，，即，且有意義即，，在中，為或.故選：．8.五一假期，某景點為了給游客提供便利，在廣場大屏幕上滾動播放景區的實時動態信息，已知大屏幕下端離地面3.5米，大屏幕高3米，若某位游客眼睛離地面1.5米，則這位在距離大屏幕所在的平面多遠，可以獲得觀看的最佳視野？（最佳視野是指看到屏幕上下夾角的最大值）（）A. B. C.3 D.2【答案】B【解析】已知如圖所示：，設，則，，，所以當且僅當，即時等號成立，因為，所以當時，可以獲得觀看的最佳視野.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知i為虛數單位，復數z滿足z（2-i）=i2020，則下列說法錯誤的是（）A.復數z的模為 B.復數z的共軛復數為C.復數z的虛部為 D.復數z在復平面內對應的點在第一象限【答案】ABC【解析】復數滿足，整理得，對于A：由于，故，故A錯誤；對于B：由于，故，故B錯誤；對于C：復數的虛部為，故C錯誤；對于D：復數在復平面內對應的點為，故該點在第一象限內，故D正確.故選：ABC．10.等腰直角三角形直角邊長為1，現將該三角形繞其某一邊旋轉一周，則所形成的幾何體的表面積可以為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】如果是繞直角邊旋轉，形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線就是直角三角形的斜邊，所以所形成的幾何體的表面積是，如果繞斜邊旋轉，形成的是上下兩個圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高，兩個圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長是1，所以寫成的幾何體的表面積.綜上可知形成幾何體的表面積是或.故選：AB.11.的內角，，的對邊分別為，，，，，，則（）A.B.C.外接圓的面積為D.的面積為【答案】ABD【解析】設的外接圓的半徑為，因為，所以，所以，則外接圓的面積為，因為，所以所以，所以ABD正確，C錯誤.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.中國南北朝時期數學家、天文學家祖沖之、祖暅父子總結了魏晉時期著名數學家劉徽有關工作，提出“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.上述原理在中國被稱為祖暅原理.一個上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為的正六棱臺與一個不規則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規則幾何體的體積為________________.【答案】21【解析】由祖暅原理，該不規則幾何體體積與正六棱臺體積相等，故.故答案為：21.13.如圖，在矩形中，已知，且，則__________.【答案】【解析】以AB為x軸，以AD為y軸建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（6，0），E（6，2），F（2，4），∴（6，2），（﹣4，4），∴?24+8＝﹣16．故答案為：﹣16．14.已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，點D為AC邊的中點，已知，則當角C取到最大值時等于___________.【答案】【解析】點D為AC邊的中點，，則，即，因為，所以，由知，角C為銳角，故，因，所以由基本不等式得：，當且僅當，即時等號成立，此時角C取到最大值，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）已知復數z在復平面內對應的點在第二象限，，且，求z；（2）已知復數為純虛數，求實數m的值.解：（1）設，由題意每解得，，∵復數z在復平面內對應的點在第二象限，∴，∴.（2），由題意得，解得.16.已知向量，且．（1）求及與的夾角的余弦值；（2）若與垂直，求實數的值．解：（1）因為向量，所以，，即，解得，所以.（2）由（1）知，故，故，因為與垂直，所以，解得.17.如右圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為nmile，貨輪由A處向正北航行到D處時，再看燈塔B在北偏東120°，求：（1）A處與D處的距離；（2）燈塔C與D處的距離．解：（1）在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，∠B=45°，由正弦定理得.（2）在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD?ACcos30°，解得CD=，所以A處與D處之間的距離為24nmile，燈塔C與D處之間的距離為nmile．18.如圖，已知點在圓柱的底面圓上，為圓的直徑，，，三棱錐的體積為.（1）求圓柱的表面積；（2）求三棱錐外接球的體積.解：（1）∵在中，，∴，又在中，，，∴，而點的圓柱的底面圓上，∴，所以，于是由，得，∴，∴圓柱的表面積.（2）三棱錐外接球即為圓柱的外接球，則外接球的球心是的中點，半徑，所以三棱錐外接球的體積.19.重慶是我國著名的“火爐”城市之一，如圖，重慶某避暑山莊O為吸引游客，準備在門前兩條小路OA和OB之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感，已知