高級中學名校試題PAGEPAGE1安徽省部分地市2025屆高三2月適應性考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數滿足，則（

）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】設，由，則，整理可得，可得，解得，則，所以.故選：D2.為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（）A.橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變B.橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變C.縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變D.縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變【答案】B【解析】為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有的點橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變.故選：B3.已知集合，則集合A的子集個數為（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【解析】由，得或，解得或空集，又，所以，則集合A的子集個數為.故選：C4.已知拋物線，直線過點且與拋物線有且僅有一個公共點，則直線的條數是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因為點在拋物線外，顯然過可作兩條直線與相切，過可作一條與的對稱軸（即軸）平行的直線，它與也只有一個公共點.所以滿足條件的直線有3條，故選：C.5.記雙曲余弦函數為，則函數的最小值為（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】，令，則，所以，所以的最小值為0，故選：A.6.已知是等比數列的前n項和，則“依次成等差數列”是“依次成等差數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】設等比數列的公比為，由依次成等差數列可得，即，因，可得，解得或.當時，，不滿足，故充分性不成立；由依次成等差數列，可得，顯然，故有，因，且，化簡得：，解得或，當時，，即依次成等差數列；當時，，而，故得，即依次成等差數列.故必要性成立.綜上可得，“依次成等差數列”是“依次成等差數列”的必要不充分條件.故選：B.7.已知一條直線與橢圓交于兩點，與圓交于兩點，則的最小值為（）A. B. C.3 D.5【答案】C【解析】如圖所示：取的中點為，則，設圓半徑為，則，設點，圓心，所以，，時，，所以的最小值為3.故選：C8.兩個項數均為的數列和，稱它們對應項差的絕對值之和為數列與的“距離”.設是項數均為4且每項為0或1的個數列，它們中任意兩個數列的“距離”不小于2，則的最大值為（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】因為數列每項為0或1，前三項至多有種組合，若，則中必有兩個數列前三項相同，不妨設該二者為，則當第四項也相同時，它倆的“距離”為0；當第四項相異時，它倆的“距離”為1，都不滿足題意，故不成立.當時，可構造，，，，，，，滿足題意；還可構造，，，，，，，滿足題意（構造不唯一），故的最大值為8．故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于任意兩個非零向量和，下列命題中正確的是（）A. B.C. D.向量與向量垂直【答案】ACD【解析】對于A，，所以A正確；對于B，，所以B錯誤；對于C，，所以C正確；對于D，，這樣向量與垂直，所以D正確.故選：ACD.10.已知函數的定義域為，，且不恒為，則（）A.B.C.是奇函數D.（為的導函數）【答案】ABD【解析】對于A，令，，又因為不恒為，則，所以A正確；對于B，令，可得，因此，所以B正確；對于C，令，可得，所以；又因為函數的定義域為，所以是偶函數，又不恒為0，這樣不可能是奇函數，故C錯誤；對于D，由B的推導過程知，兩邊求導得所以，故D正確.故選：ABD11.已知空間四邊形ABCD，下列條件中一定能推出的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A，舉反例：將一矩形ABCD沿對角線BD翻折，在翻折過程中，始終滿足，但不一定成立，所以A錯誤；對于B，取中點，連，因為，所以，且平面，平面，平面，進而，故B正確；對于C，過A作平面，垂足為，連，，又，平面，所以平面，平面，進而；同理可證：，所以為△的垂心，這樣，又，所以平面，平面，可得：，故C正確；對于D，由條件知，則∴，，∴，即，所以D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.二項式的展開式中，含項的系數為________.【答案】270【解析】二項式的展開式通項為，當時，得，即，故含項的系數為270.故答案為：27013已知，則________.【答案】【解析】因為，即，所以.故答案為：14.切比雪夫不等式是19世紀俄國數學家切比雪夫在研究統計規律時發現的，其內容是：對于任一隨機變量，若其數學期望和方差均存在，則對任意正實數，有.根據該不等式可以對事件的概率作出估計.現拋擲一枚骰子，當出現5點或6點時，就說這次試驗成功，在次拋擲中，記成功次數為，為了至少有98%的把握使試驗成功的頻率在區間內，估計拋擲的次數的最小值為________.【答案】400【解析】由題意知：成功次數，所以，，要使，則，即：，由切比雪夫不等式知：至少有98%的把握使試驗成功的頻率在區間內，則，所以拋擲的次數的最小值為400.故答案為：400.四、解答題:本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角所對的邊分別為，且滿足（1）求角的大小；（2）若中線的長為，求面積的最大值.解：（1）因為，由正弦定理得，所以，所以，又因為，所以，所以，又因為，所以；（2）因為為中線，所以，所以，所以，即（當且僅當時等號成立），所以（當且僅當時等號成立），經檢驗：當時，符合題意；即的最大值為.16.某健身俱樂部研究會員每周鍛煉時長與體重減少量的關系，隨機抽取10名會員的數據如下：會員序號12345678910總和鍛煉時長（小時）342564534440體重減少量（千克）1.01.51.02.02.51.82.01.01.62.016.4并計算得：（1）根據表格中的數據，可用一元線性回歸模型刻畫變量與變量之間的線性相關關系，請用相關系數加以說明；（2）求經驗回歸方程（結果精確到0.01）；（3）該俱樂部推廣了一項激勵措施后，發現會員平均每周鍛煉時長增加2個小時，實際觀測到的平均體重減少量增加了0.8千克.請結合回歸分析結果，判斷該回歸模型是否具有參考價值，并給出合理的解釋.(參考公式：相關系數，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，.參考值：)解：（1）由表可知：所以=,因為與的相關系數接近1,所以與的線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合與的關系.（2）由題可知：=，所以（3）由(2)可知：根據線性回歸方程預測，會員平均每周鍛煉時長增加2個小時，預測平均體重減少量增加0.84千克，與實際增加值0.8千克較為接近，因此實際結果與預測結果基本一致，說明該回歸模型具有參考價值；造成一定差異的原因可能是由于樣本數據過少，或者造成體重減少的原因還受其他因素影響，比如睡眠，飲食、鍛煉強度以及效果等.17.如圖，在四棱錐中，底面為矩形且.（1）若平面，，求二面角的正弦值；（2）若平面平面，求四棱錐體積的最大值.解：（1）以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系由題可知：則設平面的一個法向量為，則，所以，令，則，所以設平面的一個法向量為，則，所以，令，則，所以設二面角的平面角為，則所以，即二面角的正弦值為（2）過點作直線，過點作交于點，過點作交于點，連接，過點作于點因為四邊形為矩形，所以，即有又因為，分別在平面、平面內，所以即為二面角的平面角又因為平面平面，所以又因為且，都在平面內，所以平面，又在平面內，所以，所以，所以又因為，所以又因為，又都在平面內，所以平面在直角三角形，得：又因為（當且僅當等號成立）所以18.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，點是上不與頂點重合的一動點，直線、分別交于另一點、.（1）設，①當時，求直線斜率的取值范圍；②求證：；（2）為坐標原點，問：直線與直線的斜率之積是否為定值，如果是定值，求出該定值；如果不是定值，說明理由.解：（1）①直線交雙曲線于左右支上，因為雙曲線：的漸近線的斜率為，所以直線斜率的取值范圍為.②設，，由雙曲線方程知：，，又兩式相減得：∴由同理，又兩式相減得：∴.可得：，所以.（2）由（1）②知：且可得同理又因為且可得所以直線的斜率又直線的斜率，所以為定值.19.已知函數.（1）求函數的單調區間與極值；（2）若數列滿足，記為數列的前項和.求證：①當時，；②當時，.解：（1）函數的定義域為，求導得，由，得；