線性變換2.3線性變換線性變換的概念定義2.10設和是數域上的線性空間,是的映射.如果對任意和有

則稱是的線性映射.的線性映射稱為上的線性變換.例2.27設定義上的變換為

則是上的一個線性變換.例2.28在線性空間或中,求微商的變換

是一個線性變換,稱為微分變換.線性變換例2.29在線性空間中,求積分的變換

是一個線性變換．例2.30取定矩陣定義的變換

由于對任意和都有

可見,當時,不是線性變換；反之,當時,是線性變換.例2.31線性空間的恒等變換(或單位變換)和零變換都是線性變換．線性變換不難從定義直接推出線性變換具有下述基本性質.(1)因為

(2)若則

即線性變換保持線性組合不變.(3)

若線性相關,則也線性相關.若線性相關,則存在不全為零的數使

用作用到上式兩端,得

說明線性相關.線性變換注此結論的逆命題不成立,即線性變換可能將線性無關的向量組也變成線性相關的向量組,如零變換就是這樣.(4)若線性變換是單射,則把線性無關的向量組仍變成線性無關的向量組.設線性無關,又設

則有由于是單射且因此

由線性無關可知,.因此線性無關.

線性變換線性變換的運算定義2.11設是數域上的線性空間,都是上的線性變換,則有以下結論.(1)若對任意

,恒有,則稱與相等,記作

.(2)

,稱為與的和.(3),稱為與的數乘.(4)

,稱為與的乘積.(5)對線性變換,若存在線性變換,使得

(恒等變換)則稱為可逆變換,是的逆變換,記為

.定理2.16線性變換的和、數乘、乘積仍為線性變換,可逆線性變換的逆變換仍為線性變換.證

對任意線性變換(1)因為所以是線性變換.(2)因為

從而是線性變換.(3)因為

從而是線性變換.線性變換(4)設為可逆線性變換,令則

從而也是線性變換.注線性變換的乘積不滿足交換律,即.例如,在中定義以下線性變換：

則

顯然,.線性變換可以驗證線性變換的加法和數乘滿足下列8條運算規律.設和是數域上線性空間的線性變換,則有以下結論(1).(2)

.(3)(其中為零變換).(4).(5).(6).(7).(8).記是線性空間上線性變換的全體,則按上述加法和數乘的定義,以及所滿足的8條運算規律,可知構成了數域上的一個線性空間.線性變換定義2.12設是線性空間上的線性變換,為正整數,則記

為的次冪.特別約定.當可逆時,定義的負整數冪為

根據以上定義,可得到線性變換的冪運算法則：

定義2.13設有數域上的多項式

是線性空間上的線性變換.定義

顯然,是上的線性變換,稱之為的多項式變換.線性變換例2.31設,在中定義

則是上的線性變換.解對任意和任意,都有

和

因此是上的線性變換.線性變換線性變換的矩陣表示在一個確定的基下,線性空間中的向量可以用其在該基下的坐標來表示.類似地,在一個確定的基下,線性變換可以用矩陣來表示.如此抽象的線性變換可以用一個具體的矩陣來表示.事實上,該矩陣的每一列就是每個基向量的像在該基下的坐標.定理2.17設是維線性空間的一個基,若線性變換滿足

則證

設中任意向量則有

即線性變換定理2.18設是維線性空間的一個基,是中任意一組向量,則存在唯一的線性變換使得

證設中的向量定義上的變換

下面證明其是線性變換.設則由定義可得

因此是線性變換.又因為由定義可知

所以的存在性得證,其唯一性由定理2.17即得.線性變換定理2.18表明在一個基下,任意一組向量都可以唯一對應一個線性變換.下面給出線性變換在一個基下的矩陣.設是維線性空間的一個基,對中的向量有

表明只要知道了基的像即可知道下面考察定義2.14設是維線性空間的一個基,基的像

可由基線性表示為

(2.8)線性變換令

則依據矩陣向量的乘法規則,式(2.8)可形式地寫為

(2.9)稱矩陣為在基下的矩陣.由定義2.14可知,線性變換在某個基下的矩陣就是以基像組在基下的坐標作為列向量構成的矩陣.線性變換例2.33在維線性空間上取定基寫出求導運算在該基下的矩陣.解因為

所以

線性變換即

例2.34設的線性變換為(1)求在自然基下的矩陣.(2)求在基下的矩陣.解

(1)因為線性變換所以在基下的矩陣為

(2)因為

所以在基下的矩陣為線性變換例2.35寫出例2.32的線性變換在基下的矩陣.解由于

因此在基下的矩陣為線性變換在維線性空間中取定一個基后,矩陣由基在下的像唯一確定；反之,矩陣可以唯一確定基在某個線性變換下的像即可唯一確定這個線性變換.因此,維線性空間上的線性變換與階方陣之間存在著一一對應的關系.線性變換與矩陣的一一對應還表現在它們的運算等方面的一致性上.定理2.19設是維線性空間的一個基,和是的兩個線性變換,且它們在基下的矩陣分別是和,則有以下結論.(1)在基下的矩陣為.(2)在基下的矩陣為.(3)在基下的矩陣為.(4)可逆的充要條件是可逆,且在基下的矩陣為.若與其像在基下的坐標分別為與則線性變換證由假設可知

從而

即在基下的矩陣為,(1)得證.同理可證(2)與(3).根據(3)可知,等式與對應,從而,可逆的充要條件是可逆,且在基下的矩陣為,(4)得證.由假設可知

另外,還有線性變換因此由坐標的唯一性可得(5)得證.例2.36設是的一個基,是的線性變換,且若在下的坐標為求