矩陣理論 課件 第1章第3節(jié)矩陣的特殊乘積_第1頁
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文檔簡介

矩陣的特殊乘積1.3定義1.7當稱分塊矩陣

為和的Kronecker積,也稱直積或張量積,記為注

一般來說,即矩陣的Kronecker積不滿足交換律,但對于單位矩陣和

有例1.6設(shè)求與矩陣的特殊乘積Kronecker積矩陣的特殊乘積解

定理1.3矩陣的Kronecker積具有下列基本性質(zhì).(1)設(shè)為常數(shù),則(2)矩陣的Kronecker積滿足結(jié)合律,即(3)設(shè)與為同階矩陣,則(4)(5)設(shè)則

矩陣的特殊乘積(6)設(shè)與都是可逆矩陣,則也可逆,且有(7)設(shè)與都是酉矩陣(本章第5節(jié)會介紹酉矩陣),則也是酉矩陣.

證由定義1.7可直接證明性質(zhì)(1)~(4),下面僅證明性質(zhì)(5)~(7).性質(zhì)(5)證明：矩陣的特殊乘積性質(zhì)(6)證明：由性質(zhì)(5)可知故可逆,且有性質(zhì)(7)證明：由性質(zhì)(4)和(5)可知

故為酉矩陣.矩陣的特殊乘積Hadamard積定義1.8設(shè)稱矩陣

為和的Hadamard積,也稱Schur積,記為注

矩陣的Hadamard積遠比通常的矩陣乘法簡單,且可乘條件是兩個矩陣同型.定理1.4矩陣的Hadamard積具有下列一些性質(zhì).(1)(2)(3)矩陣的特殊乘積(4)若與都是對稱矩陣,則也對稱矩陣；若與都是反對稱矩陣,則是對稱矩陣；若是對稱矩陣,是反對稱矩陣,則是反對稱矩陣.

(5)設(shè),又設(shè)是階對角矩陣,而是階對角矩陣,則(6)設(shè),又記則其中,等式左邊是矩陣的第個對角元素,等式右邊是向量的第個分量.(7)設(shè),則三重混合積與對應的對角線元素相同,即

證由定義1.8可直接證明以上性質(zhì).例如,性質(zhì)(6)的證明如下：設(shè)則

矩陣的特殊乘積定理1.5設(shè),則證設(shè)則存在階可逆矩陣和階可逆矩陣使得

記其中.由上式得表明矩陣可以寫成個秩為1的矩陣之和,其每個秩為1的矩陣可表示成列向量乘行向量的形式.同理,對于矩陣,存在和,使得.于是,利用Hadamard積的性質(zhì)(2)和(3)可得表明至多是

個秩為1的矩陣之和,因此,矩陣的特殊乘積Hadamard積和Kronecker積有如下關(guān)系：定理1.6設(shè),則

其中,表示取矩陣的第

行和第列構(gòu)成的子矩陣,即

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