第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年山東省青島市李滄區、西海岸新區、平度市、膠州市中考一模數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.?15的倒數是A.?15 B.?5 C.152.紋樣是我國古代藝術的瑰寶.下列四幅紋樣圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(不包含底部介紹文字)(

)A.如意紋 B.忍冬紋

C.

樣云紋 D.

環帶紋3.陀螺是我國民間最早的娛樂工具之一，如圖是一個陀螺玩具(上面是圓柱體，下面是圓錐體)，它的左視圖是(

)A. B. C. D.4.菲爾茲獎是數學領域的國際最高獎項之一，每四年頒發一次.以下是部分菲爾茲獎得主的年齡(單位：歲)：32，33，31，29，31，29，31，32，則下列說法錯誤的是(

)A.中位數是31 B.眾數是31 C.平均數是30 D.極差是45.一元二次方程x2+x?1=0的兩根分別為x1，x2，則xA.1 B.3 C.5 6.《四元玉鑒》是中國古代著名的數學專著，書里記載一道這樣的題：“今有綾、羅共三丈，各值錢八百九十六文.只云綾、羅各一尺共值錢一百二十文，問綾、羅尺價各幾何？”題目譯文是：現在有綾布和羅布，布長共3丈(1丈=10尺)，已知綾布和羅布分別全部出售后均能收入896文；綾布和羅布各出售1尺共收入120文.問兩種布每尺各多少錢？若設綾布有x尺，根據題意可列方程是(

)A.89630?x?120=896x B.89630?x+7.如圖，△ABC內接于⊙O，AC，BD是⊙O的直徑，過點D作⊙O的切線DE，交BC的延長線交于點E.若∠BAC=53°，則∠E的度數是(

)A.37°

B.43°

C.53°

D.57°8.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，其對稱軸為直線x=?1，則過點M(a,a?b+c)和點N(b2A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。9.2025年3月，中國科學院物理研究所團隊首次實現大面積二維金屬材料的普適性制備.其中，鉛(Pb)二維金屬厚度約為0.00000000075米.將數據0.00000000075用科學記數法表示為______．10.如圖，AB//CD，FG平分∠EFD.若∠AEF=58°，則∠AGF的度數為______°.11.若點M(?5,y1)和點N(?2,y2)都在反比例函數y=k?3x的圖象上，且12.如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD位于第一象限，點D的坐標是(4,3)，把矩形ABCD向下平移2個單位長度得到矩形A1B1C1D1，再將矩形A1B1C113.如圖，在扇形AOB中，OA=4，C為AB上的一點，連接AC，BC.如果四邊形AOBC為菱形，則圖中陰影部分的面積為______．14.如圖，正方形ABCD和正方形CEFG的頂點B，C，F在同一條直線上，AB=6,CE=22，下列結論：①∠DCE=30°；②BF=10；③AE=45；④△DCG的面積是12.其中正確的是______.(三、解答題：本題共10小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題4分)

已知：如圖，△ABC．

求作：點P，使點P在△ABC內部，且點P到∠ACB.兩邊的距離相等，PB⊥AB．16.(本小題10分)

(1)解不等式組：x<x2+3x3>x+25；17.(本小題6分)

七巧板、九連環、魯班鎖是深受大家喜愛的益智玩具.現將1個七巧板，2個九連環和1個魯班鎖分別裝在4個不透明的盒子中(每個盒子裝1個)，所有盒子除里面的玩具外均相同．

(1)從這4個盒子中隨機選取1個盒子，選中魯班鎖的概率是______；

(2)從這4個盒子中隨機選取2個盒子，請用畫樹狀圖或列表的方法求選中的2個盒子里都是九連環的概率．18.(本小題6分)

“風電”是未來全球最重要的清潔能源之一，在我們身邊也經常能見到“風電”的身影，在某一山坡頂端的平地上建有一座風力發電機，其平面示意圖如圖所示.某校綜合實踐小組在測量風力發電機組塔筒AB的高度時，獲得了如下數據：站在山腳C處測得塔筒的頂端A的仰角為53°，山坡CD的坡比i=3：4，山坡CD的長度為120米，山坡頂端D與塔筒底端B的水平距離BD為24米，塔筒AB、山坡CD及平地BD均在同一豎直平面內，塔筒AB與地面CE垂直，平地BD與地面CE平行.請根據以上數據，求塔筒AB的高度．

(參考數據：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)19.(本小題8分)

人工智能是把“金鑰匙”，不僅影響未來的教育，也影響教育的未來.為培養學生創新思維，提升科技素養，某校舉行人工智能通訊競賽，并對測試成績(單位：分)，進行了統計分析：

【收集數據】隨機抽取部分學生的競賽成績組成一個樣本．

下列抽取學生競賽成績的方法最合適的是：______.(只填寫序號)

①隨機抽取該校一個班級學生的競賽成績

②隨機抽取該校一個年級學生的競賽成績

③隨機抽取該校一部分女生的競賽成績

④分別從該校各年級的每個班中隨機抽取10%學生的競賽成績

【整理數據】將學生競賽成績的樣本數據分成A，B，C，D四組進行整理.(滿分100分，所有競賽成績均不低于60分).如表：組別ABCD成績(x/分)60<x<7070<x<8080<x<9090<x<100人數(人)a574527【描述數據】根據競賽成績繪制了如下兩幅不完整的統計圖．

【分析數據】根據以上信息，解答下列問題：

(1)填空：a=______；

(2)扇形統計圖中，C組對應的圓心角的度數是______°；

(3)若競賽成績80分以上(含80分)為優秀，請你估計該校參加競賽的1500名學生中成績為優秀的人數．20.(本小題8分)

2025年第九屆亞洲冬季運動會在哈爾濱舉辦.某經銷商發現，與吉祥物“濱濱”和“妮妮”相關的甲、乙兩款紀念品深受大家喜愛.已知購買3個甲款紀念品和2個乙款紀念品共需180元；購買5個甲款紀念品比購買3個乙款紀念品多15元．

(1)甲、乙兩款紀念品的售價各是多少？

(2)甲款紀念品的進價為20元，乙款紀念品的進價為38元.若該經銷商計劃購進甲、乙兩款紀念品共60個，且乙款紀念品的購買數量不低于甲款紀念品購買數量的2倍，則應如何進貨能使得這批紀念品全部售出后所獲利潤最大，最大利潤是多少？21.(本小題8分)

【概念呈現】

設一個鈍角三角形的兩個銳角為α與β，如果2α+β=90°，那么我們稱這個鈍角三角形是倍余三角形，這個銳角α叫做這個三角形的倍余角．

【特例感知】

若一個三角形的三個內角分別為15°，60°和105°，則這個三角形______(填寫“是”或“不是”)倍余三角形.【深入探究】

若一個等腰三角形是倍余三角形，則這個三角形的倍余角的度數為______°.

【拓展延伸】

在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=28°，點D是邊BC上一點，若△ADC是倍余三角形，則∠ADC的度數為______．22.(本小題8分)

如圖，在菱形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于點E，∠ACD的平分線交AD于點F．

(1)求證：AF=CE；

(2)從下列條件中任選一個作為已知條件，并判斷四邊形AECF的形狀.請證明你的結論．

①∠BAD=2∠ABC；②AC=BC．

選擇的條件：______(填寫序號)．

(注：如果選擇①，②分別進行解答，按第一個解答計分)23.(本小題10分)

3D打印技術通過數字化建模與增材制造特性，成為傳統工藝數字化升級與消費體驗法代的核心驅動力.在某次科技活動中，小明利用所學數學知識借助3D打印設備制作了兩款水杯(分別記為1號杯和2號杯)，并對兩款水杯所盛水的水面高度y(cm)與體積x(L)之間的數量關系進行了統計與分析：

1號冰杯所盛水的水面高度y1(cm)與體積x(L)x/L00.10.20.30.40.45y024m89水面高度y1(cm)與體積x(L)近似地滿足一次函數關系．

2號水杯所盛水的水面高度y2(cm)與體積x(L)的關系可以近似地用二次函數y=ax2+bx刻畫，其圖象如圖所示：

請解答下列問題：

(1)m=______；

(2)求2號水杯所盛水的水面高度y2(cm)與體積x(L)的函數關系式；

(3)當0<x<0.4時，在所盛水的體積相同的情況下，______號水杯的水面高度較高24.(本小題10分)

如圖，在?ABCD中，BD⊥CD，AB=8cm，AD=10cm.動點N從點C出發，沿CB方向勻速運動，速度為1cm/s；動點M同時從點D出發，沿DB方向勻速運動，速度為1cm/s.過點M作EF//CD，分別交AD，BC于點E，F，MN與DF相交于點H.設運動時間為t(s)(0<t<6)，請解答下列問題：

(1)當四邊形CDEF為菱形時，求t的值；

(2)設五邊形EMNCD的面積為S(cm2)，求S與t之間的函數關系式；

(3)在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得FH：HD=1：3？若存在，求出此時

參考答案1.B

2.B

3.A

4.C

5.D

6.B

7.C

8.C

9.7.5×1010.29

11.6(答案不唯一)

12.(1,?4)

13.16314.②③

15.解：如圖，點P即為所求．

作CT平分∠ACB，過點B作BP⊥CT，交CT于點P，點P即為所求．16.解：(1)x<x2+3①x3>x+25②，

解不等式①得x<6，

解不等式②得x>3，

所以不等式組的解集為3<x<6；

(2)原式=(4aa+2b?aa?2b)?(a+2b)(a?2b)a

=4aa+2b?(a+2b)(a?2b)a?aa?2b?(a+2b)(a?2b)a

=4(a?2b)?(a+2b)

=4a?8b?a?2b

=3a?10b，

∵6a?20b+9=0，七巧板九連環九連環魯班鎖七巧板(七巧板，九連環)(七巧板，九連環)(七巧板，魯班鎖)九連環(九連環，七巧板)(九連環，九連環)(九連環，魯班鎖)九連環(九連環，七巧板)(九連環，九連環)(九連環，魯班鎖)魯班鎖(魯班鎖，七巧板)(魯班鎖，九連環)(魯班鎖，九連環)共有12種等可能的結果，其中選中的2個盒子里都是九連環的結果有2種，

∴選中的2個盒子里都是九連環的概率為21218.解：延長AB交CE于H點，如圖，∠ACE=53°，

，在Rt△CDF中，∵山坡CD的坡比i=3：4，

∴DF：CF=3：4，

設DF=3x，CF=4x，

∴CD=5x，

即5x=120，

解得x=24，

∴CF=96米，DF=72米，

∵∠DFH=∠DBH=∠FDB=90°，

∴四邊形BDFH為矩形，

∴FH=BD=24米，BH=DF=72米，

∴CH=CF+FH=96+24=120(米)，

在Rt△ACH中，∵tan∠ACH=AHCH，

∴AH=CH?tan53°≈120×1.33=159.6(米)，

∴AB=AH?BH=159.6?72=87.60(米)．

19.解：【收集數據】

從各年級每個班隨機抽取10%學生，覆蓋全校不同層次，避免因單一班級或年級的特殊性導致偏差，其他選項均存在局限性(如僅抽取一個班級、年級或性別)，

故答案為：④；

【分析數據】

(1)∵57÷38%=150(人)，

∴a=150?(57+45+27)=21，

故答案為：21；

(2)∵45150×100%=30%，

∴360°×30%=108°，

故答案為：108°；

(3)1500×45+27150=720(人)，

∴該校參加競賽的1500名學生中成績為優秀的人數為720人．

20.解：(1)設甲款紀念品的售價是a元，乙款紀念品的售價是b元，

由題意可得：3a+2b=1805a?3b=15，

a=30b=45，

答：甲款紀念品的售價是30元，乙款紀念品的售價是45元；

(2)設甲款紀念品購進x個，總的利潤為w元，

由題意可得：w=(30?20)x+(45?38)(60?x)=3x+420，

∴w隨x的增大而增大，

∵乙款紀念品的購買數量不低于甲款紀念品購買數量的2倍，

∴60?x≥2x，

解得x≤20，

∴當x=20時，w取得最大值，此時w=480，60?x=40，

答：當購進甲款紀念品20個，乙款紀念品40個時，能使得這批紀念品全部售出后所獲利潤最大，最大利潤是480元．

21.解：特例感知：∵倍余三角形定義為鈍角三角形中兩個銳角α與β滿足2α+β=90°．

∴在三角形三個內角為15°，60°和105°，兩個銳角為15°，60°，2×15°+60°=90°，

∴滿足倍余三角形定義，

故答案為：是；

深入探究：情況一，當α是底角時，β是底角，那么α=β，代入2α+β=90°，解得α=30°；

情況二，當α是底角時，β是頂角，根據三角形內角和為180°，β=180°?2α，2α+β=90°，所以2α+180°?2α=90°，不成立；

情況三：當α是頂角時，β是底角，2α+β=90°，且α+2β=180°，由2α+β=90°可得β=90°?2α，代入α+2β=180°，即α+2(90°?2α)=180°?3α=0，不成立．

故答案為：α=30°；

拓展延伸：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=28°，則∠BAC=180°?90°?28°=62°因為△ADC是倍余三角形，∠C=28°，設∠DAC=α，∠ADC=β，然后分情況討論．

情況一：當2∠C+∠DAC=90°時，2×28°+∠DAC=90°，則∠DAC=34°，根據三角形內角和∠ADC=180°?∠C?∠DAC=180°?28°?34°=118°；

情況二：當2∠DAC+∠C=90°時，2∠DAC+28°=90°，2∠DAC=62°，∠DAC=31°，∠ADC=180°?∠C?∠DAC=180°?28°?31°=121°．

故答案為：118°或121°．

22.(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=BC=CD=AD，AB//CD，AD//BC，

∴∠BAC=∠ACD，

∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，

∴∠CAE=12∠BAC，∠ACF=12∠ACD，

∴∠CAE=∠ACF，

∴AE//CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴AF=CE；

(2)解：選①，平行四邊形AECF是矩形，理由如下：

∵∠ABC+∠BAD=180°，∠BAD=2∠ABC，

∴∠B=60°，

∵AB=BC，

∴△ABC是等邊三角形，

∵AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，

∴平行四邊形AECF是矩形．

故答案為：①(答案不唯一)．

23.解：(1)∵水面高度y1(cm)與體積x(L)近似地滿足一次函數關系，且過(0,0)，

∴設y1與x的函數解析式為y1=kx

把(0.1,2)代入y1=k