第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年浙江省A9協作體高二下學期4月期中考試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合M={x|?2<x<2}，N={x||x?1|<2}，則M∩N=A.{x|?2<x<3} B.{x|?2<x≤1} C.{x|?1<x<2} D.{x|?2<x<2}2.下列結論正確的是A.(ln2)′=12 B.1x3.關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(?1,3)A.a>0 B.ab>0 C.bc<0 D.abc<04.已知函數f(x)=2x3?xf′(1)，則f′(1)的值為A.3 B.2 C.1 D.05.已知a>0，b>0，且a+2b=ab，則a+2b的最小值為A.12 B.9 C.8 D.66.(x2?x+y)6A.60 B.20 C.?20 D.?607.已知正四面體ABCD的頂點A處有一質點P，點P每次隨機沿一條棱向相鄰的某個頂點移動，且向每個頂點移動的概率相同，則點P經過4次移動后仍回到頂點A處的概率為A.1181 B.29 C.7278.已知函數f(x)=(2x?a)(x?2a)2?a2A.?1 B.1 C.2 D.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知隨機變量X～B6,13A.P(X=2)=P(X=4) B.E(3X+2)=8

C.D(X)=43 10.有大小、形狀、質地完全相同的白色、黃色、藍色小球各3個，紅色小球1個，并且將這個紅色小球命名為“幸運A9球”，現將這10個小球裝在一個盒子里，依次任取3個小球，則下列說法正確的是A.“幸運A9球”被選中的概率為310

B.每次取后再放回，則第3次才取到“幸運A9球”的概率811000

C.每次取后不放回，則第3次取到“幸運A9球”的概率最大

D.記事件A為“幸運A9球”被選中，事件B為“取得的311.已知函數f(x)=ex(ax?1)A.若a=0，則f(x)有極大值，無極小值

B.若a=12，則f(x)有四個單調區間

C.若a=1，且g(x)=f(x)?mx+1有兩個零點x1，x2，則x1+x2>2+2m成立三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知隨機變量ξ～N(1,2)，則E(ξ)=

．13.甲、乙等5位大學生分配到3所單位實習，每人只能到一所單位實習，每所單位至少接收一人，則甲、乙分到同一單位的方案有

種．14.已知函數f(x)=ex?2x，g(x)=x?2lnx，對于任意的t>2，存在x1>1，x2>1使得f(四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知(x+a)n(n∈N???，a>0)(1)求n和a的值；(2)求展開式中系數最大的項．16.(本小題15分)某市共有10所重點大學可供考生選擇，其中3所為985高校，5所為211高校，另外2所為特色專業高校．一位考生準備從這10所高校中隨機選擇4所進行志愿填報，每所高校被選中的概率相同．(1)求該考生恰好選到2所985高校的概率；(2)若該考生選到985高校的數量為X，求隨機變量X的分布列和數學期望．17.(本小題15分)已知函數f(x)=aln(1)當a=1時，求曲線f(x)在(1,f(1))處的切線方程；(2)若f(x)≤0恒成立，求實數a的取值范圍．18.(本小題17分)某校為豐富學生的校園生活決定開展興趣課，興趣課包括音樂課、舞蹈課、影視鑒賞課、籃球課、圍棋課等十余種．興趣課共開展3個月，每種課每月4節且必須上滿，每節課可得1分且表現優秀可額外獲得1分，若本月不少于6分，下月可以選擇繼續上此課或者選擇其他的興趣課，6分以下則只能上原來的課．現有甲、乙兩人是好朋友，在第一個月他們一起選擇了音樂課，音樂課上甲每節課表現優秀的概率為13，乙每節課表現優秀的概率為1(1)求甲第一個月得分的分布列及數學期望；(2)求第二個月甲乙兩人可以一起選擇其他興趣課的概率；(3)若乙每種課的表現優秀率一致，在三個月后乙一共獲得21分的情況下，求他在第二個月獲得8分的概率．19.(本小題17分)英國數學家泰勒是18世紀早期一位非常杰出的數學家，以泰勒公式和泰勒級數聞名．泰勒公式是數學分析的重要組成部分，它的理論方法在近似計算、求極限、不等式的證明等方面都有重要的應用．例如：函數f(x)=ex的帶有佩亞諾余項的泰勒展開式為：ex=1+x+x(1)若f(x)=ex，利用泰勒展開式證明：(2)當x>0時，證明：xe(3)當x>0時，不等式x(xe2x?a)≥2lnx+1恒成立，求實數a參考答案1.C

2.B

3.D

4.A

5.C

6.D

7.C

8.B

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.1

13.36

14.1e15.解：(1)展開式中第4項的二項式系數為Cn3，只有這一項二項式系數最大，

則展開式中一共有7項，則n=6，

因為所有項的系數和為729，因為a>0，解得a=2；

(2)(x+2)6的展開式的通項為

Tr+1=C6rx6?r?(2)r=(2)rC6rx6?r，r=0，1，2，3，16.解：(1)從10所高校中，任取4所，共有C104=210種取法，

恰有2所985高校的取法為：C32C72=63，

該考生恰好選到2所985高校的概率為P=63210=310；

(2)設X為該考生選到985高校的個數，則X的取值為0，1，2，3．X0123P1131數學期望為：E(X)=0×1617.解：(1)當a=1時，f′(x)=1x+2x2=2+xx2，

則f′(1)=3，f(1)=?2;

所以曲線f(x)在(1,f(1))處的切線方程為y=3x?5；

(2)函數的定義域為(0,+∞)，f′(x)=ax+2x2=ax+2x2，

?①當a≥0時，f′(x)>0，則f(x)在(0,+∞)上單調遞增，所以f(x)≤0不恒成立;

?②當a<0，令f′(x)=0，則x=?2a，

當x∈(0,?2a)時，f′(x)>0，則18.解：(1)記甲在第一個月的得分為X，則X的取值為4，5，6，7，8，則

P(X=4)=(23)4=1681，

P(X=5)=C4113X45678P1632881E(X)=4×1681+5×3281+6×827+7×881+8×181=163;

(2)記事件A為“甲、乙第二個月可以一起選擇其他興趣課”，

設甲在第一個月的得分為Y45678P11311P(Y≥6)=P(Y=6)+P(Y=7)+P(Y=8)=C42(12)2(12)2+C43(12)3(12)1+C44(12)4=1116，

所以P(A)=P(X≥6)?P(Y≥6)=12119.解：(1)由ex=1+x+x22!+?+xn!+O(xn)，兩邊求導得：

(ex)′=0+1+2x2!+?+nxn?1n!+(n+1)xn(n+1)!+?=1+x+x22!+?+xn?1(n?1)1+xnn!，

即f′(x)=ex;

(2)解法1:由ex=1+x+x22!+?+xnn!+O(xn)知，對于x∈R，ex≥1+x．

先證x∈R時，ex≥1+x，

令φ(x)=ex?1?x，則φ′(x)=ex?1=0，得x=0，

所以x∈(?∞,0)時，φ′(x)<0，φ(x)在(?∞,0)上單調遞減，

x∈(0,+∞)時，φ′(x)>0，φ(x)在(0,+∞