高考數學經典題型

1、設函數1,則滿足f(f(a))=2&a的a取值范圍是()

\4fAX

巳+

(A)&31](B)[0,1](C)3s)(D)[1,+s)

[答案]c[解析]當a》l時，f(a)=2a>l,.\f(f(a))=2f(a),當a<l時，f(a)=3a-1,若f(f(a))=2『⑥則

222

f(a)Nl,即3a-INI,；Ya<1,綜上aA..?.選C

333

［方法點撥］1.分段函數求值或解不等式時，一定要依據條件分清利用哪一段求解，對于具有周期性的函數

要用好其周期性.

2.形如f(g(x))的函數求值應遵循先內后外的原則.

.偶函數f(x)在［0,+8)上為增函數，若不等式f(ax-l)<f(2+x2)恒成立，則實數a的取值范圍為()

A.(-2^3,2)B.(-2,2)C.(-2^3,2小)D.(-2,2^3)

懈析］由于函數為偶函數，故f(ax-l)=f(|ax-l|),因此f(ax-l)〈f(2+x2)=f(|ax-iDVfQ+x2),據已

知單調性可得f(|ax-11)<f(2+x2)?|ax-l|<2+x2,據題意可得不等式|ax-1|<2+x?恒成立，即-(2+

x2-ax+3>0,p2-12<0,

22

x)<ax-l<2+x^-恒成立，據二次函數知識可知■2解得-2〈a〈2,故

x2+ax+1>0|a-4<0,

選B.

1

3、已知f(x+l)為偶函數，且f(x)在區間(1,+8)上單調遞減，a=f(2)sb=f(log32)sc=f㈠，則有()

2

A.a<b<cB.b<c<aC,c<b<aD.a<c<b

［答案］D［解析］；f(x+l)為偶函數，.?.其圖象關于y軸對稱，.?.函數f(x)的圖象關于直線x=l對稱，

又；函數f(x)在(1,+8)上單調遞減，.?.函數f(x)在(-8,1)上單調遞增，

第1頁共90頁

11

Vf(2)=f(0),fi0<-<log32,.?.f(2)<fH<f(log32)1Aa<c<b.

22

log21-x+1,一lWx〈k

4、已知函數f(x)h500,若存在k使得函數f(x)的值域是[0,2],則實數a的

x-3x+2,kWWa

取值范圍是()

［答案］B［解析］當a=2時，f（x）=x5-3x+2,k4W2,f⑵=28不合題意，.3會2,排除A、D；

1111222

當a=-0寸，\?度xWa,??.kW—,當k二一時，-lWx<一,—<1-x^2,.*.log2—<log2（l又log2一<0,

3333333

?,不合題意，排除C,故選B.

5、.已知命題Pi：函數y=2*-2一*在R上為增函數，P2：函數丫=2*+2^在R上為減函數.則在命題q1

P1VP2,Q2.P1AP2,Q3：（「P1）VP2和Q4-P1/\（「P2）中，真命題是（）

A.qi,q3B.q2,qaC.qi,q4D.q2,q4

［答案］C［解析］???y=2x在R上是增函數，丫=2^在R上是減函數，.?.y=2X-2-x在R上是增函數，

所以Pi：函數y=2X-2一*在R上為增函數為真命題，P2：函數y=2*+2^在R上為減函數為假命題，故

q1：P1VP2為真命題，Q2-P1AP2是假命題，Q3：（「P1）VP2為假命題，Q4-P1A（「P2）是真命題.故真命題

是qi、Q4,故選c.

6、已知實數a、b,則“2,2b”是“log2a>log2b”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［答案］B［解析］由y=2x為增函數知，2a>2boa>b；由y=log2X在（0,十⑹上為增函數知，

log2a>log2b=a>b>0,.*.a>b=>/a>b>0,但a>b>00a>b,故選B.

7、1已知定義在R上的函數fS=2|x-m|-l(m為實數)為偶函數.記a=f(logo.53),b=f(log25),c=f(2m),

則a,b,c的大小關系為()

A.a<b<cB.a<c<bC,c<a<bD,c<b<a

第2頁共90頁

［答案］C［解析］考查函數奇偶性及指數式、對數式的運算.因為函數f(x)二1為偶函數，所

1

log2

=23-1=21og23-1=3-1=2,

b=f(log5)=21og5-1=4,c=f(2m)=f(0)=2°-1=0,所以c〈a〈b,故選C.

22n

歷法點撥］L募式、對數式等數值比較大小問題，利用同底數、同指數或同真數等借助于函數單調性

或圖象求解.

2.指數函數與對數函數的圖象與性質

指數函數對數函數

函數y=logax(a>0,aWl,x>0)叫對數

定義函數y=aX(a〉0,aWl,xGR)叫指數函數

函數

值域(0,+8)(-8+8)

0<a<lyla>ly

A

圖象

乙0

oX

(l)x>0；

(l)y>0;

⑵圖象恒過點(L0)；

⑵圖象恒過點(0,1)；

⑶a>l,

⑶a〉l,

當x>l時，y>0；

當x>0時，y>l；

當0<x<l時，y<0；

當x<0時，0<y<l；

性質0<a<l,

0<a<l,

當x>l時，y<0；

當x>0時，0<y<l；

當0〈x〈l時，y>0；

當x<0時，y>l；

(4)a>l,在(0,+8)上y=logaX為增

(4)a>l,在R上y=a，為增函數；0<a<l,

函數；0<a<l,在(0,+8)上y=logaX

在R上丫=￡1'為減函數

為減函數

第3頁共90頁

3.鼻函數的性質

函數

1

y=x,y=x

特征y=x2y=x"1

y=x32

性質

(-°°,0)U(0,+

定義域RR[0,+8)

8)

(-°°,o)U(0,+

值域R[0,+8)[0,+8)

8)

奇偶性奇函數偶函數非奇非偶奇函數

xe[o,

XE(0,+8)時，

+8)

減

單調性增時，增增

xd(-8,0)時,

0］時,減減

定點(1,1)

8、命題P：函數能)=2*-2色>0且￡1#1)的圖象恒過點(0,-2)；命題q：函數f(x)=lg|x|(#O)有兩個零

點.

則下列說法正確的是()

A.“P或q”是真命題B.“p且q”是真命題

C.rp為假命題D.rq為真命題

［答案］A［解析］???f(0)=a°-2=-1,.?.p為假命題；令lg|x|=O得，3=1,，x=±l,故q為真命

題，；.pVq為真，pAq為假，rp為真，rq為假，故選A.

2X-1,x>0,

9、已知函數f(x)=，.若函數g(x)=f(x)-m有3個零點，則實數m的取值范圍是

-x2-2x,xWO,

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［答案］(o,D［解析］函數f(x)的圖象如圖所示：

當0〈m〈l時，直線y二m與函數f(x)的圖象有三個交點.

10、已知a、be[-l,1],則函數f(x)=ax+b在區間(1,2)上存在一個零點的概率為()

1B.1C.11

A.---D.—

24816

［答案C［解析］如圖，由圖形可知點(a,b)所在區域的面積S=4,滿足函數f(x)=ax+b在區間(1,2)

1

11171

上存在一個零點的點(a,b)所在區域面積S=-X-XlX2="故所求概率

22248

",xe[0,1

3

11、函數f(x)若f(xo)則x0的取值范圍是()

k-2x,x￡[l,2],2

3B.(0,log20]U[5,+8)

A.(log2-

224

C.[0,log2^]uB,2]D.(Iog2：1)U[5,2]

2424

iWxoW2,

O^xo<l,

3

［答案］c［解析］利用分段函數建立不等式組求解.f(xo)1=七xoW：或'4_2xoW_解得

2o

2

35

0Wx成log2~^Yx()W2,故選C.

24

第5頁共90頁

12、已知常數a、b、c都是實數，f(x)=ax3+bx2+cx-34的導函數為f⑨，f3W0的解集為｛x|-2WxW

3),若f(x)的極小值等于-115,則a的值是()

A.-°1B,1

--C.2D.5

223

「公…依題意得￡但=32*2+26*+瓜()的解集是［-2,3］,于是有32>0，-2+3=，b

［答案］C［解析］—

3a,

c3a

-2X3=—,.*.b=----,c=-18a,函數f(x)在x=3處取得極小值，于是有f⑶=27a+9b+3c-34二

3a2

115,-Oia--81,a-2,故選C.

2

3、設函數f(x)=+ax

1―--(aGR).若f(x)在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線y=f(x)在點(1,

f⑴)處的切線方程。

xeoxxTa

6x+ae-3x?+axx_25_a

解析：(1)對f(x)求導得f&)=-----------------------------------------------------

xx

e2e

因為f(x)在x=0處取得極值，所以f(0)=0,即a=0.

0X2

當a=0時，f(x)=,f氏)=-3x2+6x

ecXe-X

33

故f⑴二一，f(1)=—

ee

33

從而f(x)在點(1,f⑴)處的切線方程為y--二-(x-1),化簡得3x-ey=0.

ee

14、已知函數f(x)=(ax?+bx+c)e>在［0,1］上單調遞減且滿足f(0)=1,f(l)=0.求a的取值范圍；

［解析］⑴由f(0)=1,f⑴=0得c=l,a+b=-1,則f(x)=［ax?-(a+l)x+l］e',

f，⑨=［ax?+(a-l)x-a］e'依題意須對于任意x￡(0,1),有f，⑨<0.

當a>0時，因為二次函數y=ax2+(a-l)x-a的圖象開口向上，而『(0)=-a〈0,所以須

fz(l)=(a-l)e<0,即0<a<l；

第6頁共90頁

當a=l時,對任意xG(O,l)有『@=&2-1及〈0,f(x)符合條件;

x

當a=0時，對于任意xd(O,l),60=-xe<0,f(x)符合條件；

當a<0時，因f，(O)=-a〉O,f(x)不符合條件.

故a的取值范圍OWaWL

［答案］B［解析］2sin

11

sin又由于sin-cosasina+—cosa-cosaa--cosa=

222

3

15

218,

［方法點撥］L已知條件為角a的終邊過某點時，直接運用三角函數定義求解；已知條件為角。的終邊在

某條直線上，在直線取一點后用定義求解；已知sina、cosa、tana中的一個值求其他值時，直接運用同角

關系公式求解，能用誘導公式化簡的先化簡.

2.已知tana求sina與cosa的齊次式的值時，將分子分母同除以cos%化“切”代入所求式為整式

時，視分母為1,用1=siiA+cos2a代換.

3.sin9+cos9,sin。-cos。，sinBcos。知一求其他值時，利用關系(sin?士cos。)？=l±2cos。cos。.

第7頁共90頁

要特別注意利用平方關系巧解題.已知某三角函數式的值，求另一三角函數式的值時，關鍵是分析找出兩

三角函數式的聯系恰當化簡變形，再代入計算

1

16、已知角a的終邊經過點A(-S，/，若點［A在拋物線y二一一X?9的準線上，則sina=()

4

SSC.-1D.1

A.--B.工-

2222

方程為y=l,故A(-#,1),所以Sina=

［答案］D［解析］由已知得拋物線的準線

2

ji

17、函數f(x)=Asin(3x+6)(其中A>0,CD>I),2KT的圖象如圖所示，為了得到g(x)=sin3x的圖象，

2

則只要將f(x)的圖象()

y

/一JL

…一一、xx12y/一，

0

71兀

A.向右平移一個單位長度B.向右平移一個單位長度

412

ji兀

C.向左平移一個單位長度D.向左平移一個單位長度

412

［答案］B［解析］由題知，函數f(x)的周其iT=4(°n-9=2%所以2兀2兀

124333,

解得3=3,易知A=l,所以f(x)=sin(3〉工+6).又f(x)=sin(3x+6)過點(％,-1),

12

所以sin(3X°m+小)=-1,所以3義5兀+()=2k兀+3兀,k￡Z,

12122

JIJIJIJIJI

所以6=2kn+—,kez,又6<一,所以6二一,所以f(x)=sin(3x+—)=sin[3(x+—)],

424412

ji

所以將函數f(x)的圖象向右平移一個單位TW度可以得到函數g(x)=sin3x的圖象，故選B.

12

第8頁共90頁

歷法點撥］1.已知正弦型（或余弦型）函數的圖象求其解析式時，用待定系數法求解.由圖中的最大值

或最小值確定A,再由周期確定3,由圖象上特殊點的坐標來確定小，只有限定小的取值范圍，才能得出唯

一解，否則小的值不確定，解析式也就不唯一.

將點的坐標代入解析式時，要注意選擇的點屬于“五點法”中的哪一個點.“第一點”（即圖象上升時

與X軸的交點）為3X0+6=0+2kJi（kez）,其他依次類推即可.

2.解答有關平移伸縮變換的題目時，向左（或右）平移m個單位時，用x+m（或x-m）代替x,向下（或

xy

上）平移n個單位時，用y+n（或y-n）代替y,橫（或縱）坐標伸長或縮短到原來的k倍，用不替x（或T弋替

kk

y）,即可獲解.

貝tan2a二(

18、已知a￡R,sina+2cosa:)

2

4B.0C.-0D.

A—

3443

寸77兩邊平方可得,

［答案］C［解析］本題考查三角函數同角間的基本關系.將sina+2cosa=

2

sin2a+4sinacosa+4cos2a=—.*.4sinacosa+3cos2a=—

22

將左邊分子分母同除以cos2a得，+4tana31

-------解得tana=3或tana=——,

1+tanJa23

2tana3

?\tan2a=------；-=—：

1-tan2a4

jiJI

19、函數f(x)=Asin(cox+6)(A>0,3>0母I〈一）的圖象關于直線x=一對稱，它的最小正周期為兀,則函

23

數f（x）圖象的一個對稱中心是（）

兀JI5兀n

A.(―,1)B.(—,0)C.(—,0)D.(----,0)

3121212

［答案］B［解析］由題意知T=兀，???3二2,

第9頁共90頁

JIJIJIit

由函數圖象關于直線X二一對稱,得2X—+6=一+k兀(k￡Z),即。=—+k兀(k^Z).

3326

JIitJIJI兀k

又I@I《一,4)=---,=Asin(2x—)令2x---二kr(k￡Z),貝Ijx=—+一兀(k￡Z).

2666122

JI

?二一個對稱中心為(一,0),故選B.

12

20、在Z\ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1,則cosC的值是()

i

C.1D.

A

322

tanA+tanB

［答案］B［解析］由tanA,tanB=tanA+tanB+1,可得------1--,-即---t-a-n(A+B)二一1,

1-tanA,tanB

,貝IJC二嗎cosC二寸,

所以A+B=J"故選B.

442

JIJI

「鼻,cos2xx￡R則f(x)在閉區間一下-「的白工,古力白一古

21、已知函數f(x)=cosx?sinlJ44上的取大值和取小值

4

分別為

111r9\l3=1sin2x-(cos2x+1)

［答案］-—［解^］f(x)=—sinxcosx+V3cos2x+1-

4222Y4444

JL-l-n

JIJI5兀，-1.11

1n

—sm|當x￡44時,2x--e66,.*.sin|Ie2.Z.f(x)e24

23

22、已知f(x)=>\/3sinG)x-2sin2——(3〉0)的最小正周期為3兀.

Y2

JI3兀

⑴當x￡［一,—］時，求函數f(x)的最小值；

24

⑵在AABC中,若f(C)=l,2sin2B=cosB+cos(A-C),求sinA的值.

,sin(wx)-2,10us

產析］,?￥6)=ft,Ox、/^sin(sx)+cos(wx)-1=2sin(wx+—)-1,

2Y6

第10頁共90頁

由乙兀二3兀得3=2,?工&)=2sin(2x+。一1.

3336

⑴由慮W3兀得兀W2x+"W2兀，???當sin(2x+⑩=時,f(x)min=2X，^-1=p-1.

242363362

2n2兀

⑵由f(C)二2sin(-C+7-1及其。二:1,得sin(一C+T=1

3636

n2兀5兀2JiJIn

而―^-C+-—,所以-C十一二一,解得c二一

63663622

JI

在RtAABC中,*.*A+B=—,2sin2B=cosB+cos(A-C),.*.2cos2A-sinA-sinA=0,

2

sin2A+sinA-1=0,解得sinA=1±^.*.*0<sinA<1,/.sinA=-1

22

3、已知函數f(x)=2sin(x+4cos(x+5兀)一2cos?(x+)+1.

2———

242424

⑴求f(x)的最小正周期；

⑵求函數f(x)的單調遞增區間.

產析](1)Vf(^=2sin(x+U*cos(x+5m-2cos2(x+5兀)+1=sin(2x+5兀)-cos(2x+5兀

2424241212

A[sin(2x+°@?cos兀一cos(2x+5兀)?sin耳二年in[(2x+5兀)一可fein(2x+力.

7——-V--?6

124124124

.f(x)的最小正周期T二二二兀

2

JlHHTlJIJI

⑵由⑴可知f(x)=、/2sin(2x+勺.當一一+2krW2x++2k兀(k￡Z),即k兀--+—(k￡Z)

626236

時,

函數f(x)=/sin(2x+一)是增函數,兀n

???函數f(x)的單調遞增區間是[k兀--,kn+-](kez).

36

第11頁共90頁

24、已知tana=2.

4

sin2a2sinacosa

sin2a+sinacosa-cos2a-1sin2a+sinacosQ-2cos2a-1-1

2sinacosa2tana2X2

sin2a+sinacosa-2cos2atan2a+tana-222+2-2

25、在直角梯形ABCD中，AB〃CD,/ABC=90,AB=2BC=2CD,貝1Jcos/DAC=()

［答案］B［解析］由已知條件可得圖形，如圖所示,

22

設CD=a,0ACD中，CD2=AD2+AC2-2ADXACXcosZDAC,.*.a2=(?^2a)+^5a)-2X-^2a

/&aXcosZDAC,.'.cosZDAC=

10

［方法點撥］解三角形的常見類型：

⑴已知兩角和一邊，如已知A,B和c,由A+B+C=n求C,由正弦定理求a,b.

⑵已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知a、b和C,應先用余弦定理求c,再應用正弦定理先求較短邊所

對的角，然后利用A+B+C=n求另一角.

⑶已知兩邊和其中一邊的對角，如已知a、b和A,應先用正弦定理求B,由A+B+C=”求C,再由

正弦定理或余弦定理求c,要注意解的討論.

第12頁共90頁

⑷已知三邊a、b、c,可應用余弦定理求A、B、C.

角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若sinA=乙4,a=2,SAABC=p,貝1Jb

6、在銳角AABC中,

2

3Y

的值為（）

,.1112'.*.be=3,

［答案］A［解析］由已知得：cosA二一，S=-bcsinA=-bcX—

3AABC223

22

又由余弦定理得：a2=b2+-2bccosA,gpb+c-2=4,

.?JD2+C2=6,Ab+c=2-xj3,解得b=c=3，選A

)7一在ZXABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若@+c?-b2)tanB=#ac,則角B的值為()

JIJIJI5JIJI2兀

A.-B.一C?一或一D.一或—

636633

廠a2+c2-b2「

［答案］D［解析］f^(a2+c2-b2)tanB=M3ac----------*tanB=AJ3,再由余弦定理cosB=

ac

a2+c2-b2「、/3n2n

----------得，2cosB?tanB艮|1sinB,???角B的值為一或一,故應選D.

2ac--------------------------------233

28、在AABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,且c=^「,

JI

c=―,則AABC的面積是（）

3

A.3sB.7My/21D.3s或73

C.4

4636

JIn

［答案］D［解析］由已知得：2sinBcosA=3sin2A=6sinAcosA,若cosA=0,則NA=一，貝IJB二一,

26

yp???S^ABC=Ibe=ix］X尸J兀

r=^--一?一7」一；若NAA,貝IJsinB=3sinA,由正弦定理得：b=3a

322362

第13頁共90頁

又由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC,即7=a2+9a2-3a2=7a2,.*.a=1,b=3,SAABC=-absinC=—

22

*1X3義乙父選D

24

29爵AABC中，已