第。部分把書讀厚

教材同步導學

基礎知識系統整合

重點難點釋疑解惑

規律方法歸類點撥

熱點命題權威解讀

知能訓練跟蹤落實

編排設計按能力層級布局

識記理解把握應用——認知步步高

讓你在學通學精教材的同時

緊緊把握高考的脈動

第1章裳用遐輯用語

DI1ZHANG

1.1.1四種命題

CTiFB命題的概念

//////7^n本科'〃/〃

觀察下列語句的特點：

(1)這幅畫真漂亮！

(2)求證小是無理數；

(3)菱形是平行四邊形嗎？

(4)等腰三角形的兩底角相等；

(5)x>2012；

(6)若f=20122,則x=2012.

問題：在這些語句中哪些能判斷出真假，哪些不能判斷出真假.

提示：⑴(2)(3)(5)不能判斷真假；(4)(6)能判斷真假.

//////t豫'〃〃/

1.能夠判斷真假的語句叫做命題.

人真命題：判斷為真的命題.

2"命題［假命題：判斷為假的命題.

LT7碼四種命題及其關系

〃〃人入門半稗"〃/

觀察下列四個命題：

(1)若兩個三角形全等，則這兩個三角形相似；

(2)若兩個三角形相似，則這兩個三角形全等；

(3)若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不相似；

(4)若兩個三角形不相似，則這兩個三角形不全等.

問題：命題(1)與命題(2)、(3)、(4)的條件和結論之間分別有什么關系？

提示：命題(1)的條件是命題(2)的結論，且命題(1)的結論是命題(2)的條件.

對于命題(1)和(3).其中一個命題的條件和結論分別是另一個命題的條件的否定和結論的否定：

對于命題(1)和(4).其中一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論的否定和條件的否定.

〃〃.新知|解"〃/

1.四種命題的概念

(1)如果一個命題的條件和結論是另一個命題的結論和條件,那么這兩個命題叫做互逆命題.

(2)如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的條件的否定和結論的否定,那么這兩個命題叫做互

否命題.

(3)如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論的否定和條件的否定,那么這兩個命題叫做互

為逆否命題.

2.命題的四種形式

原命題：若p,則q；逆命題：若q,則p；

否命題：若非〃，則非毛逆否命題：若非〃，則非〃.

3.四種命題之間的關系

四種命題真假之間的關系

入門答料7〃

觀察下列命題，回答后面的問題：

(1)如果兩個三角形全等，那么它們的面積相等；

(2)如果兩個三角形的面積相等，那么它們全等；

(3)如果兩個三角形不全等，那么它們的面積不相等；

(4)如果兩個三角形面積不相等，那么它們不全等.

問題1：若把命題(1)看作原命題，這四個命題之間有什么關系？

提示：(1)與⑵、(3)與(4)為互逆關系；(1)與(3)、(2)與(4)為互否關系；(1)與(4)、(2)與(3)為互為逆否關

問題2：判斷四個命題的真假.

提不：命題(1)(4)是真命題；命題(2)(3)是假命題.

//////|解7〃〃

1.四種命題的真假性

原命題逆命題否命題逆否命題

真真真琪

真假假真

假真M假

假假假假

2.四種命題的真假性之間的關系

(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性.

(2)兩個命題互為逆命題或否命題，它們的真假性沒有關系.

［歸納.升華.領悟］--------------------------->

1.原命題是相對其他三種命題而言的.事實上，可以把任意一個命題看成原命題，來研究它的其他形

式的命題.

2.當一個命題有大前提而要寫出其他三種命題時，大前提仍作大前提.

3.若兩個命題互為逆否命題，則它們有相同的真假性，即它們同真同假.所以，當一個命題的真假不

易判斷時，可以通過對其逆否命題的真假的判斷來判斷原命題的真假.

高頻考點題組化，名師一點就通［對應學生用書P3］

命題的概念及其判斷

［例1J判斷下列語句是否為命題？若是命題，則判斷其真假：

(1)啦是無限循環小數；

(2)f-3x+2=0；

(3)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？

(4)一個等比數列的公比大于1時，該數列為遞增數列；

(5)當x=4時，2x+l>0；

(6)把門關上.

［思路點撥］首先判斷是不是命題，如果是，然后再判斷它是真命題還是假命題.

I精解詳析I(1)能判斷真假，是命題，是假命題.

(2)不是命題，因為語句中含有變量x,在沒給變量x賦值前，無法判斷語句的真假(這種語句叫“開語

句").

(3)不能判斷真假，不是命題.

(4)是命題，當等比數列的首項0<0,公比q>l時，該數列是遞減數列，因此是一個假命題.

(5)能判斷真假，是命題，是真命題.

(6)因為沒有作出判斷，所以不是命題.

［一點通］

1.判斷一個語句是不是命題，關鍵是看能不能判斷真假.

2.判定一個命題是真命題時，一般需要經過嚴格的推理論證，論證要有推理依據，有時應綜合各種情

況作出正確的判斷；而判定一個命題為假命題時，只需舉出一個反例即可.

，〃/，題.做?例，"〃/

1.下列語句：

(1)2+2也是有理數；

(2)1+1>2；

(3)2i°°是個大數；

(4)968能被11整除；

(5)非典型性肺炎是怎樣傳播的？

其中是命題的是.

解析：(1)能判斷真假，是命題，是假命題；

(2)能判斷真假，是命題，是假命題；

(3)不能判斷真假，不是命題：

(4)是命題，是真命題；

(5)不能判斷真假，不是命題.

答案：⑴、(2)、(4)

2.判斷下列命題的真假：

(1)函數j=sin4x—cos4x的最小正周期是7t；

(2)斜率相等的兩條直線平行;

2

(3)不等式|3萬一2|>4的解集是(-8,--)U(2,+8)；

(4)平行于同一平面的兩條直線平行.

解：⑴yusin'x—costrnsir/x-cos2x=—cos2x,顯然其最小正周期為兀，故⑴為真命題.

(2)斜率相等的兩條直線有可能平行，也有可能重合，故(2)是假命題.

(3)由|3x—2|>4得，3x~2>4或3x~2<—4,

.'.x>2或x<一本

2

；.|3x-2|>4的解集是(-8,--)0(2,+℃).

故(3)為真命題.

(4)平行于同一平面的兩條直線可能平行，可能相交，可能異面，故(4)為假命題.

四種命題及其真假判斷

［例2］分別寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假：

(1)若實數a,b,c成等比數列，則"=ac；

(2)函數y=log/(a>0且在(0,+8)上是減函數時，loga2<0.

［思路點撥］先分清所給命題的條件和結論，再按要求寫出逆命題、否命題和逆否命題，并做出真假判

斷.

I精解詳析I

(1)原命題可以寫成：若實數a,6,c成等比數列，則層="，為真命題.

逆命題：若實數a,b,c滿足層=ac,則a,b,c成等比數列，為假命題.

否命題：若實數a,b,c不成等比數列，則屬之砒，為假命題.

逆否命題：若實數mb,c,滿足則a,b,c不成等比數列，為真命題.

(2)原命題可以寫成：若函數y=logMm>0且“W1)在(0,+8)上是減函數，貝log“2<0,為真命題.

逆命題：若log“2<0，則函數y=logax(a>0且a#l)在(0，+8)上是減函數，為真命題.

否命題：若函數y=logM(a>0且在(0,+8)上不是減函數，則Iog“220,為真命題.

逆否命題：若log“220,則函數y=l0gHx(a>0且a#l)在(0,+8)上不是減函數，為真命題.

|一點通］

1.四種命題進行轉化時應首先找出原命題的條件和結論，然后利用四種命題的概念直接轉化即可.

2.對于命題的真假判斷，當直接判斷有難度時，可以通過判斷它的逆否命題的真假來判斷.

,〃/，題.做集制"〃/

3.把下列命題改寫成“若p,則q”的形式，并判斷命題的真假：

(1)等腰三角形的兩個底角相等；

(2)當x=2或x=4時，%2—6x+8=0：

(3)已知x、y為正整數，當y=x+l時，y=3,x=2.

解：(1)原命題可改寫成：若一個三角形是等腰三角形，則兩個底角相等，真命題.

(2)原命題可改寫成：若x=2或x=4,則f-6x+8=0,真命題.

(3)原命題可改寫成：已知x、y為正整數，若y=x+l,則y=3,x=2.假命題.

4.寫出下列原命題的其他三種命題，并分別判斷其真假：

(1)在△ABC中,若a>b,則NA>NB；

(2)正偶數不是質數；

(3)若xJ則xG(4UB).

解：(1)原命題：在△ABC中，若a>b,則NA>NB,真命題；

逆命題：在△ABC中，若NA>NB,則優功，真命題；

否命題：在△ABC中，若則NAWNB,真命題；

逆否命題：在△A8C中，若NAWN8,則真命題.

(2)原命題：若一個數是正偶數，則它一定不是質數，假命題，例如2;

逆命題：若一個數不是質數，則它一定是正偶數，假命題，例如9;

否命題：若一個數不是正偶數，則它一定是質數，假命題，例如9;

逆否命題：若一個數是質數，則它一定不是正偶數，假命題，例如2.

(3)原命題：若xGA,則xG(AUB),真命題；

逆命題：若xC(AUB),則xWA,假命題；

否命題：若遇4,則廷(AUB),假命題；

逆否命題：若K(AUB),則KA,真命題.

四種命題的綜合應用

［例3］證明：已知函數KQ是(-8,+8)上的增函數，a,beR,若人幻+大加宓—幻+大一勿，則。

+b20.

I思路點撥】根據原命題與逆否命題的等價性，先證逆否命題即可.

［精解詳析］法一：原命題的逆否命題為“已知函數/U)是(-8,+8)上的增函數，a,b^R,若“十

b<0,則犬〃)+/(〃)勺(一“)+大一切.”

證明如下：

若a+b<0,貝！］a<~b,b<-a.

又..TU)在(-8,+8)上是增函數，

.,.犬。)+,穴匕)勺(一a)—b).

即原命題的逆否命題為真命題.

...原命題為真命題.

法二：假設a+*0,JUlla<-b,b<~a.

又,.,火處在(一8,十8)上是增函數，

.?.貝〃)4一份，Ab)<J(-a).

，火㈤+/(b)<J［—a)+X~b).

這與已知條件J(a)+J(b)為(一a)+4—b)相矛盾.

因此假設不成立，故。+/?一().

［一點通］

由于原命題與它的逆否命題具有相同的真假性，所以在直接證明某一個命題為真命題有困難時，可以

通過證明它的逆否命題為真命題來間接地證明原命題為真命題.

〃〃，題做靠刑，:加z

5.已知c>0,設p：函數y=c*在R上單調遞減，q：不等式x+|x—2c|>l的解集為R,如果p和“有

且僅有一個正確，求c的取值范圍.

解：函數y=c”在R上單調遞減=0<c<l.

記/>={<?|0<。<1}

不等式x+|x-2c|>l的解集為RQ函數y=x+|x-2c|在R上恒大于1.

2x-2c,x》2c,

'：x+\x-2c\='

2c,x<2c,

.?.函數y=x+|x—2c|在R上的最小值為2c.

???不等式x+|x-2c|>l的解集為R02C>1OC：4.

記Q={d

如果〃正確，且q不正確，

借助數軸得0<c^!.

如果p不正確，且g正確，

借助數軸得c2l.

.?.C的取值范圍為(0,1U［l,+°o).

6.證明：若a?—4層一2a+lW0,則a#2/?+l.

證明：“若"一4〃-2〃+1去0,則。手2川+1”的逆否命題為“若a=26+l,則/一4層一2a+1=0”.

\"a=2b+1,

Aa2-4fe2-2?+1=(26+1)2—4/-2(2〃+1)+1

=4/?2+1+46—4b2-4b-2+1

=0.

命題“若〃=2。+1,貝"a2_4/_2a+i=o”為真命題.

由原命題與逆否命題具有相同的真假性可知，結論正確.

［方法.規律.小結］-------------------------

1.寫四種命題時，可以按下列步驟進行:

(1)找出原命題的條件p和結論q；

(2)寫出條件p的否定非p和結論q的否定非q；

(3)按照四種命題的概念寫出所有命題.

2.判斷命題的真假時，可以根據互為逆否的命題的真假性相同來判斷，這也是反證法的理論基礎.

課下訓練經典化,貴在觸類旁通[對應課時跟蹤訓練(一)]

1.給出下列語句：①空集是任何集合的真子集；②三角函數是周期函數嗎？③一個數不是正數就是負

數；④老師寫的粉筆字真漂亮！⑤若xGR,則f+4x+5>0.其中為命題的序號是,為真命題的序

號是.

解析：①是命題，且是假命題，因為空集是任何非空集合的真子集；②該語句是疑問句，不是命題；

③是命題，且是假命題，因為數0既不是正數，也不是負數；④該語句是感嘆句，不是命題；⑤是命題，

因為f+4x+5=(x+2)-+1>0恒成立，所以是真命題.

答案：①③⑤⑤

2.設db是向量，命題“若。=一力，則⑷=|臼”的逆命題是.

答案：若⑷=網，則”=一》

3.命題“對于正數a,若a>l,則lga>0”及其逆命題、否命題、逆否命題四個命題中真命題的個數為

解析：逆命題：對于正數“，若lga>0,則a>l.

否命題：對于正數a,若aWl,則IgaWO.

逆否命題：對于正數〃，若IgaWO,則“W1.

根據對數的性質可知都是真命題.

答案：4

4.命題“若a=W，貝Utana=l”的逆否命題是.

解析：將條件與結論分別否定，再交換即可.

7T

答案：若tana#1,則aW1

5.給出下列命題：①“若W+y2f0,則X,y不全為零”的否命題；②“若｛%｝既是等差數列，又是

等比數列，則詼=斯+|(〃21)”的逆命題;③“若而>1,則不等式f+2x+w>0的解集為R”的逆否命題.

其中所有真命題的序號是.

解析：①的否命題為“若f+y2=O,則X,y全為零”是真命題；②的逆命題為“數列｛斯｝中，若

斯+15GN*),則數列｛%｝既是等差數列，又是等比數列”是假命題，如0,0,0……;對于③當〃?>1時，/=4

—4/〃<0恒成立，f+Zx+zn〉。的解集為R是真命題.因此逆否命題是真命題.

答案：①③

6.把下列命題寫成“若p,則q”的形式，并判斷真假.

(1)奇函數的圖像關于原點對稱；

(2)當2%—3=0時，x=—3或尤=1；

(3)6/<0時，函數y=ax+6的值隨x值的增大而增大.

解：(1)若一個函數是奇函數，則它的圖像關于原點對稱，是真命題.

(2)若/一級一3=0,則x=—3或x=l,是假命題.

(3)若a<0,則函數y=ax+匕的值隨著x值的增大而增大，是假命題.

7.證明:若病+1=2,則根+“W2.

證明：將‘‘若"『+"2=2,則加+〃W2”視為原命題，則它的逆否命題為"若〃?+〃>2,則手2”.

由于，〃+〃>2,則/n2+/i25:y(/M+/i)2>^X22=2,

所以加之+〃2豐2.

故原命題的逆否命題為真命題，從而原命題也為真命題.

8.判斷下列命題的真假，并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假.

(1)若四邊形的對角互補，則該四邊形是圓的內接四邊形；

(2)若在二次函數丫=0?+云+。中，b2—4ac<0,則該函數圖像與x軸有交點.

解：(1)該命題為真.

逆命題：若四邊形是圓的內接四邊形，則四邊形的對角互補，為真.

否命題：若四邊形的對角不互補，則該四邊形不是圓的內接四邊形，為真.

逆否命題：若四邊形不是圓的內接四邊形，則四邊形的對角不互補，為真.

⑵該命題為假.

逆命題：若二次函數、=℃2+版+。的圖像與x軸有交點，則//一4"c<0,為假.

否命題：若二次函數y=oy2+bx+c中/―4ac20,則函數圖像與x軸無交點，為假.

逆否命題：若二次函數y=ar2+bx+c的圖像與x軸無交點，則后一4(zc20,為假.

1.1.2充分條件和必要條件

充分條件和必要條件

〃〃〃入門答薜'〃〃/

如圖：p-.開關A閉合，q：燈泡B亮.

問題1：p與4有什么關系？

提不：命題0成立，命題g一定成立.

p：兩三角形相似，q：對應角相等.

問題2：p與q有什么關系？

提示：命題p成立，命題4'一定成立.

|解"〃〃

一般地，如果臼，那么稱p是q的充分條件，q是p的必要條件.

充要條件

/〃〃，入門答狎'〃〃/

已知P：整數x是6的倍數；

q：整數x是2和3的倍數.

問題1：“若p,則是真命題嗎？

提示：是.

問題2：“若q,則0”是真命題嗎？

提示：是.

問題3：p是夕的什么條件？

提示：充要條件.

//////|豫"〃〃

1.如果p=q,且4=〃，那么稱〃是。的充分必要條件.簡稱P是q的充要條件,記作pCq.

2.如果p=q,且q#p,那么稱。是。的充分不必要條件.

3.如果p#q,且q=p,那么稱〃是<7的必要不充分條件.

4.如果p#q,且g#p,那么稱〃是。的既不充分又不必要條件.

［歸納.升華.領悟］--------------------------->

原命題“若p,則逆命題為“若心則p"，則p與q的關系有以下四種情形：

原命題逆命題p、q的關系

p是q的充分不必要條件

真假

“是p的必要不充分條件

p是q的必要不充分條件

假真

q是p的充分不必要條件

真真p與q互為充要條件

〃是q的既不充分也不必要條件

假假

夕是〃的既不充分也不必要條件

高頻考點題組化，名師一點就通

［對應學生用書P6J

充分條件和必要條件的判斷

［例1J對于二次函數/(x)=℃2+/)x+c(aW0),下列結論正確的是.

①/=/一4〃c>0是函數Xx)有零點的充要條件；

②/=/—4比=0是函數兀0有零點的充分條件；

③/=/—4ac>0是函數段)有零點的必要條件；

@J=Z>2-4?C<0是函數_/U)沒有零點的充要條件.

［思路點撥］逐一分析」,根據二次函數與/的關系，判斷結論是否正確.

［精解詳析J

①是正確的，因為/=Z>2—4“c20=方程ox2+&x+c=0(aW0)有實根oy(x)=ax2+6x+c有零點；

②是正確的，因為/=/-4改=0=方程"2+版+c=o(a70)有實根，因此函數式》)=0?+法+以4#0)

有零點，但是_/U)=af+6x+cmW0)有零點時，有可能/>0；

③是錯誤的，因為函數於)=??+桁+以。#0)有零點時，方程加+bx+c=0(a#0)有實根，但未必有/

=b2—4ac>0,也有可能/=0；

④是正確的，因為/=/—4ac<0o方程/+法+。=0(4彳0)無實根=函數於)=0?+公+以4彳0)無零

點.

［答案］①②④

［一點通］充分、必要條件判斷的常用方法：

(1)定義法：分清條件和結論，利用定義判斷.

(2)等價法：將不易判斷的命題轉化為它的等價命題判斷.

〃〃，題做臬?鐘/勿^

1.從“="、“用”與中選出適當的符號填空：

(l)x>1x>0；

(2)a>bcT>b2；

(3)/+/=laba=b；

(4)A￡0A=0.

解析：⑴由于命題“若x>l,則x>0”為真命題，則x>l=x>0;

⑵由于命題“若a>Z?,則a'b?"為假命題，則。>0=//>02；

(3)由于命題“若/+反=2刈，則a=b”為真命題，且逆命題也為真命題，故/+/=2而

(4)由于命題“若AU。，則A=0”為真命題，且逆命題也為真命題，故AU0=A=0.

答案：(1)=(2)*(3)=(4)=

2.(福建高考改編)已知集合4={1,a］,8={1,2,3},則“°=3”是“AUB”的條件.

解析：因為4={1,a］,B={1,2,3},若。=3,則4={1,3},所以AU8:若AG8,則。=2或。=3,

所以AUB#a=3,所以“〃=3"是“AUB”的充分不必要條件.

答案：充分不必要

3.指出下列各題中p是夕的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不

充分又不必要條件”中選一個作答)：

(l)p：x—3=0,q：(x—2)(x—3)=0；

(2)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等；

(3)p：a>h,q：a+c>b+c；

(4)p：a>b,q：ac>bc.

解：(l)x-3=0=(x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=O念一3=0,故p是q的充分不必要條件.

(2)兩個三角形相似#兩個三角形全等，但兩個三角形全等=兩個三角形相似，故p是g的必要不充分

條件.

(3)a>b=a+c>8+c,且a+c>/?+c=a>8,故p是q的充要條件.

(4)a>bac>bc,JLac>bca>b,故p是q的既不充分又不必要條件.

充分條件、必要條件的應用

［例2］已知0：2x2—3x—2^0,q：f—2(a—l)x+a(a—2)20,若。是q的充分不必要條件，求實數。

的取值范圍.

［思路點撥I先利用不等式的解法確定命題p、q成立的條件，再根據p是q的充分不必要條件確定“

的不等式組，求得。的范圍.

［精解詳析］令M={x|2?—3%一220}

={x|(2x+l)(x—2)20}

=3或122},

^={^|?-2((7-1)%+^-2)^0}

={x|(x—a)［x—(a—2)］^0}

={小2或x^a］.

由已知p=4且(7#p,得MN.

3m3

。產〃<2或殍〃/2

3

-

2

即所求“的取值范圍?是g3,2J.

［一點通］根據充分條件或必要條件求參數范圍:

(1)記集合”={/以%)},N=［x\q(x)};

(2)若。是q的充分不必要條件，則MN,

若p是q的必要不充分條件，則NM,

若p是4的充要條件，則M=N;

(3)根據集合的關系列不等式(組)；

(4)求參數范圍.

〃〃，'〃〃

3-tn3+tn

4.已知p；關于x的不等式丁-氣<~^一,q：x(x—3)0,若p是q的充分不必要條件，求實數m的

取值范圍.

解：記4=｛嚀〃用，

B=｛x［x(x-3)<0｝=｛x|0<x<3｝,

若p是q的充分不必要條件，則AB.

注意到8=｛刀|0<%<3｝手。，分兩種情況討論：

3-m3+/%

(1)若A=。，即\—》一廠，求得加式0,此時AB,符合題意；

3—3+〃?

(2)若4=#。，即，,求得相>0,

要使AB,應有03+加解得0<加<3.

2<3,

<m>0

綜上可得，實數機的取值范圍是(一8,3).

5.已知條件p：f+x—6=0,條件4：加v+l=O,且g是〃的充分不必要條件，求機的值.

解：由題意得p:A=｛x|x=-3或x=2｝,

當m=0時，p=B=。,

當加右0時，P:8=%|x=—5｝.

:夕是p的充分不必要條件，：.BA.

易知m=0適合題意.

當一,=-3或一,=2,即團=〈或m=一以寸，也適合題意.

tnm52

m的值為一J或g或0.

求充要條件

［例3］已知數列｛〃“｝的前〃項和S〃=p〃+q(pWO,pWl),求數列｛〃〃｝是等比數列的充要條件.

［思路點撥］根據數列的前〃項和S〃與數列通項斯的關系，先求出數列的通項斯，根據數列｛斯｝為等

比數列，探求4所滿足的條件，同時要注意充分性的證明.

［精解詳析］0=S［=〃+/

當〃22時，an—Sn—S〃-i=p"\p—1)>

?「pWO,pWl,?*./j-iz［、=p.

P(pT)

若｛冊｝為等比數列，則f=乎=p.

.p(p—l)

"p+q=p，

?「pWO,:?p-1=p+qf

???q=-1.???｛〃〃｝為等比數列的必要條件是4=-1.

下面證明q=T是｛恁｝為等比數列的充分條件.

當q=-1時，S〃=p"—p#l),

?*?^1=S[=p_1；

1=n1

當時，cin—Sn—S〃-[=p"—p"p(p—I)，

；?%=(p—Dp"(pW。，pWl)，

年北二*\p為常數，

.??q=—1時，數列｛的)為等比數列.即數列｛斯｝是等比數列的充要條件為4=-1.

［一點通］求充要條件一般有兩種方法：

(1)等價轉化法.將原命題進行等價變形或轉化，直至獲得其成立的充要條件，求解的過程同時也是證

明的過程，因為求解的過程的每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來證.

(2)非等價轉化法.先尋找必要條件，即將求充要條件的對象視為結論，尋找使之成立的條件；再證明

此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明.

〃，題做臬?鐘

6.使函數7U)=|尤一al在區間［1,+8)上為增函數的充分不必要條件為.

解析：由函數,/(x)=|x一a的圖像知，函數y(x)=|x—a|在區間［1,+8)上為增函數的充要條件為aWl,

所以使“函數/(x)=|x-a|在區間［1,+8)上為增函數”的充分不必要條件即求使“aWI”成立的充分不必

要條件，即填寫形如aWp,且p<l即可，故答案不唯一，可填。W0.

答案：aWO

7.設〃dN*,一元二次方程f—4x+〃=0有整數根的充要條件是"=.

解析：由于方程都是正整數解，由判別式“16—4”20”得“1W〃W4”，逐個分析，當w=l、2時，方

程沒有整數解；而當〃=3時，方程有正整數解1、3;當〃=4時，方程有正整數解2.

答案：3或4

［方法?規律?小結］

1.關于充分條件、必要條件、充要條件以及既不充分又不必要條件的關系有如下四種情形:

(1)若pq,則p是q的充分不必要條件；

(2)若qp,則p是q的必要不充分條件；

(3)若p=q,則p是q的充分必要條件，既充要條件；

(4)若pZg,且則p是q的既不充分又不必要條件.

2.根據充分條件、必要條件、充要條件的關系求參數的取值范圍，往往運用等價轉化的思想，利用互

為逆否命題的等價性來解決.

________[對應課時跟蹤訓練(二)]

厘國嶂副摩篇瞬'課下訓練經典化.貴在觸類旁通

1.(安徽高考改編)“(2x-l)x=0”是“x=0”的條件.

解析：由(2x—l)x=O可得x=T或x=0,因為"*=；或x=0"是"x=0"的必要不充分條件，所以"(2r

-l)x=OM是“x=0”的必要不充分條件.

答案：必要不充分

2.已知直線/i：x+ay+6=0和，2：3—2)x+3y+2〃=0,則(〃6的充要條件是"=.

解析：由1X3—aX(a-2)=0,得”=3或-1,而”=3時，兩條直線重合，所以〃=一1.

答案：一1

3.對任意實數a,b,C,給出下列命題：

①“a=b”是"ac=bc”的充要條件；

②Z?”是“/>廬，的充分條件；

③“a<5”是7<3”的必要條件；

④“。+5是無理數”是““是無理數”的充要條件.

其中真命題的序號為.

解析：①“4=6”是ac=bc的充分不必要條件，故①錯，②3〃是a2>/；2的既不充分也不必要條件，故

②錯.③④正確.

答案：③④

4.(北京高考改編)“0=兀”是“曲線y=sin(2x+°)過坐標原點”的條件.

解析：由sin8=0可得8=依(攵《Z),此為曲線y=sin(2x+p)過坐標原點的充要條件，故“夕=兀"是“曲

線y=sin(2x+e)過坐標原點”的充分不必要條件.

答案：充分不必要

5.若p：x(x—3)<0是02]—3<機的充分不必要條件，則實數機的取值范圍是.

解析：p:0<x<3,q\x<~2~，

3+加

若p是g的充分不必要條件，則即“23.

答案：[3,+°0)

6.求證：一元二次方程欠2+公+。=0有一正根和一負根的充要條件是〃“0.

證明：（1）必要性：因為方程以2+笈+。=0有一正根和一負根，所以/=反-4〃C>0,X]X2=^<O（X1,X2

為方程的兩根），所以ac<0.

（2）充分性：由ac<0可推得/=〃一4，”>0及xiX2=，）（xi,Q為方程的兩根）.所以方程加+加+。=0

有兩個相異實根，且兩根異號，即方程af+6x+c=0有一正根和一負根.

綜上所述，一元二次方程以2+法+0=0有一正根和一負根的充要條件是比<0.

7.求直線/：or—y+6=0經過兩直線小2x—2y—3=0和83》一55+1=0交點的充要條件.

解：由得交點叫

[3x—5y+l=0,

若直線/:ax—y+b=O經過點P,

1711

貝可——+/?=0..\I7a+4b=l\.

設〃，b滿足17〃+4b=U,則6="

代入方程ax—y+b=Of得ax—y+~^~~^~^=09

整理，得（），_?）一。（》_￥）=0.

，直線/:ax—y+Z?=O恒過點（?，引，此點即為人與6的交點.

綜上，直線/:ax—y+6=0經過兩直線/i：2x-2y-3=0和，2：3工一5），+1=0交點的充要條件為17a

+4〃=11.

22

8.已知p：—6Wx—4W6,q：x—2x+1—ni^O（fn>O）t若q是p的充分不必要條件，求實數機的取

值范圍.

解：p:—6W%—4W6<=>-10.

q:d—2x+1—/%2W0<=>[x—（1—（1+m）]WO（〃7>O）<=>1—機WxW1+m（，〃>0）.

因為q是〃的充分不必要條件.

即{x|l一〃zWxW1+小}{x|—2WxW10},如圖，

X

[1一，n—一2,[1-m>-2,

故有或

[l+w<10,[l+"zW10,

解得，”W3.

又/n>0,所以實數m的范圍為{削0cmW3}.

第二課時含邏輯聯結詞的命題的真假判斷

高頻考點題組化，名師一點就通

［對應學生用書PIO］

EES含邏輯聯結詞的命題的真假判斷

［例1］分別指出下列各組命題構成的“pWp'q"糠P”形式的命題的真假：

(l)p：6<6,q：6=6；

(2)p：函數y=f+x+2的圖像與x軸沒有公共點.

q：不等式d+x+2<0無解；

(3)/2：函數y=cosx是周期函數.q：函數y=cosx是奇函數.

［思路點撥］先判斷命題p、q的真假，再判斷“pNq”“p7q”的真假.

I精解詳析］(l)：p為假命題，〃為真命題，為假命題，pVq為真命題，㈱p為真命題.

(2)；p為真命題，q為真命題，

.?.pAq為真命題，pVq為真命題，㈱為假命題.

(3)：p為真命題，q為假命題，...pAq為假命題，pVq為真命題，為假命題.

［一點通］判斷含邏輯聯結詞的命題的真假的步躲：

(1)確定復合命題的構成形式，是“pNq”、“p7q”還是形式；

(2)判斷其中簡單命題p,q的真假：

(3)根據真值表判斷含邏輯聯結詞的命題的真假.

么“鳥,俶親河勿”

1.分別指出由下列各組命題構成的“p或q”“p且/'的形式的命題的真假：

(l)p：a2+l>l,q：2>3；

(2)p：2+2=5,q：3>2；

(3)p：1G{1,2},q；{1}￡{1,2}；

(4)p：0G{O},q：0={O}.

解：

Pq〃或qp且q

(1)真假真假

(2)假真真假

(3)真真真真

(4)真假真假

2.分別指出下列命題的構成形式及各命題的真假：

(1)全等三角形周長相等或對應角相等；

(2)9的算術平方根不是一3；

(3)垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩段弧.

解：(1)這個命題是p\Jq的形式，其中p:全等三角形周長相等，q:全等三角形對應角相等，因為p

真4真，所以pVq為真.

(2)這個命題是㈱p的形式，其中p:9的算術平方根是一3,因為p假，所以㈱p為真.

(3)這個命題是pAq的形式，其中p:垂直于弦的直徑平分這條弦，</:垂直于弦的直徑平分這條弦所對

的兩段弧，因為p真g真，所以p/\q為真.

含有邏輯聯結詞的命題的綜合應用

［例2］已知p：函數丫=￡+g+1在(-1,+8)上單調遞增，q.函數y=4x2+40”-2)x+1大于零恒

成立.若0或q為真，p且q為假,求，”的取值范圍.

［思路點撥］由p或q為真，p且q為假，可判斷p和q—真一假，進而求，〃的范圍.

［精解詳析］若函數y=f+,〃x+l在(-1,+8)上單調遞增，則芳w—1,解得杉2,即小辰2；

若函數y=47+4(m一2)X+1恒大于零，

貝!J/=16。〃一2/一16<0,解得1<〃2<3,即q：l</n<3.

因為〃或夕為真，p且q為假，

所以p、q一真一假，

加22,

當〃真4假時，由得加23,

33或mW1,

m<2,

當p假q真時，由，，?得

綜上可知，加的取值范圍是{m\m^3或1<m<2}.

［一點通］

1.含有邏輯聯結詞的命題pAq、pVq的真假可以用真值表來判斷，反之根據命題pAq、pVq的真假

也可以判斷命題p、q的真假.

2.解答這類問題的一般步驟：

(1)先求出構成命題pA外pVq的命題p、q成立時參數需滿足的條件；

(2)其次根據命題o人小pVq的真假判定命題p、q的真假；

(3)根據p、q的真假求出參數的取值范圍.

〃〃，罪做卷刑，一

3.命題〃：關于x的不等式f+2wc+4>0對一切x￡R恒成立；命題q：函數氏0=一(5—2〃)”是減函

數，若p或q為真，〃且q為假，求實數。的取值范圍.

解：由/=4〃2—16<0,得一2<。<2,

故命題p:—2<a<2.

由5~2a>\,得a<2,

故命題q:a<2.

若〃或夕為真，p且q為假，則

—2＜。＜2,

①?真，q假.則由-、得q￡0.

QW—2或〃22,

②〃假，9真,八

〃＜2,

Aa<—2.

綜上可知，符合條件的〃的取值范圍為(一8,-2)

4.已知。>0,且aWl,設p：函數y=log.(x+l)在工￡(0,十8)內單調遞減，q：曲線y=f+(2。-3)x

+1與九軸交于不同的兩點，“〃或q”為真，“p且夕”為假，求實數。的取值范圍.

解：當OVoVl時，函數y=log/t+l)在(0,+8)內單調遞減；當。>1時，函數y=log4a+l)在(0,

+8)內不是單調遞減的.

曲線y=f+(2q—3)x+l與x軸交于不同的兩點等價于(2。一3尸一4>0,即avg或

(1)若p為真且q為假，即函數y=log“(x+l)在(0,+8)內單調遞減，曲線y=f+(2。-3)X+1與工軸

不交于不同的兩點，則〃￡(0/)ri1,|,

即1).

(2)若p為假且q為真，即函數y=log“(x+l)在(0,+8)內不是單調遞減的，曲線y=f+(24-3)x+l

與x軸交于不同的兩點，則“e(i,+°°)n^0,+8)),即”e(|,+8).

綜上可知，a的取值范圍為;，l)u(|,+8)

［方法.規律.小結］-------------------------'

1.含邏輯聯結詞的綜合問題，一般會出現“0或4”為真，“p或4”為假，“p且4”為真，“P且q”

為假等這些條件，解題時應先將這些條件翻譯成p,C］的真假，p,q的真假有時是不確定的，需要討論，

然后當它們為假時，取其補集即可.

2.相關結論：使“p或q”為真的參數范圍為使命題p,q分別為真的參數范圍的并集，使