專題9-1概率與統計及分布列歸類(理)

目錄

講商考....................................................................................1

題型全歸納...............................................................................6

【題型一】摸球與放球型...........................................................6

【題型二】超幾何分布.............................................................8

【題型三】兩點分布..............................................................12

【題型四】二項分布..............................................................14

【題型五】正態分布..............................................................18

【題型六】多線程分類討論型......................................................23

【題型七】數列計算型分布列......................................................26

【題型八】機器人跳棋型..........................................................30

【題型九】求導計算最值型........................................................34

【題型十】多人比賽(傳球)型....................................................37

【題型十一】實驗方案型..........................................................40

專題訓練........................................................................44

講高考

1.(2022年高考全國甲卷數學(理)真題)甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項

目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的學

校獲得冠軍.已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0,4,0.8,各項目的比賽結果

相互獨立.

(1)求甲學校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望.

【答案】⑴0.6；(2)分布列見解析，E(X)=13.

【分析】(1)設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為4B,C,再根據甲獲得冠軍則至少獲

勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；

(2)依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,再分別計算出對應的概率，列出分布列，即

可求出期望.

【詳解】(1)設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為48,C,所以甲學校獲得冠軍的概率

為

P=P[ABC)+P(ABC]+P[ABC)+P(ABC]

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0,5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

(2)依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,所以，

p(x=o)=0.5x0.4x0.8=0.16,

P(=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

=20)=0.5x0,6x0.8+0.5x0,4x0.2+0,5x0,6x0.2=0.34,

尸（X=30）=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期望￡（X）=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

1

2.（2022年新高考北京數學高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球

比賽，比賽成績達到9.50m以上（含9.50m）的同學將獲得優秀獎.為預測獲得優秀獎的人

數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.

（1）估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；

（2）設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數學期望￡（X）；

（3）在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）

7

【答案】（1）0.4（2）當（3）丙

【分析】（1）由頻率估計概率即可

（2）求解得X的分布列，即可計算出X的數學期望.

（3）計算出各自獲得最高成績的概率，再根據其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計

值最大.

【詳解】（1）由頻率估計概率可得

甲獲得優秀的概率為0.4,乙獲得優秀的概率為0.5,丙獲得優秀的概率為0.5,

故答案為0.4

（2）設甲獲得優秀為事件小,乙獲得優秀為事件加，丙獲得優秀為事件出

---------3

P（X=0）=P（444）=°-6X0.5x0.5=——，

p(x=1)=尸(444)+尸(444)+尸(444)

Q

=0.4><0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—,

20

p(x=2)=P(444)+P(444)+P(l44)

7

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—,

20

2

尸(X=3)二尸(44,3)=0?4x0.5X0.5=—.

的分布列為

X0123

3872

P

20202020

38727

"X)=0x——+lx—+2x—+3x——=

202020205

（3）丙奪冠概率估計值最大.

因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為《，甲獲得9.80

4

的概率為占，乙獲得9.78的概率為!.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數越

106

多，對丙越有利.

3.（2022年新高考全國I卷數學真題）一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居

民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調

查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組）,

得到如下數據：

不夠良好良好

2

病例組4060

對照組1090

(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，4表示曼件“選到的人衛生習慣不夠良好”，8表示事件“選到

的人患有該疾病”.瞿耳與鬻國的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的

P(B\A)P(B|A)

一項度量指標，記該指標為足

尸(41B)P(A|B)

(i)證明:

P(A15)P(A|B)

(ii)利用該調查數據，給出P(418),P(/1月)的估計值，并利用(i)的結果給出R的估

計值.

附K2=______—____________

(a+Z))(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)答案見解析(2)(i)證明見解析；(ii)H=6；

【分析】(1)由所給數據結合公式求出犬2的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%

的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異；(2Xi)根據定義結合條件概

率公式即可完成證明；(ii)根據(i)結合已知數據求R.

22

▼、小.上2200(40x90-60x10)?.

【詳解】(1)由已知K2=------n-(-a-d--b--e)-------=------------------=24,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100

又尸(片26.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異.

尸(例/)P(B|A)_P(AB)P(4)P(畫P(A)

(2)⑴因為及=

P(B|A)P(B|A)~P(A)'P(A豆)P(A)P(AB)

所以火:33必3

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

所以不?丹

(ii)

由已知尸⑷0=由,尸(/閔=此

_60--90P(A\B)P(A\B)_

又尸(川8)=前，尸(川3)=旃，所以7?=6

P(A|B)P(A|B)

4.(2021年全國新高考n卷數學試題)一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，

設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……,

該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖

下一代的個數，尸(X=z)=Pi(i=0,1,2,3).

(1)已知％=0.4,0]=0.3,02=。2,03=。』，求E(X)；

(2)設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：

Po+0X+P2X2+夕3苫3=x的一個最小正實根，求證：當￡(x)41時，P=1,當E(X)>1時,

。<1;

(3)根據你的理解說明(2)問結論的實際含義.

【答案】(1)1；(2)見解析；(3)見解析.

3

【分析】（1）利用公式計算可得E（X）.

（2）利用導數討論函數的單調性，結合/■⑴=0及極值點的范圍可得/（x）的最小正零點.

（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應的理解說明.

【詳解】（1）E（X）=0x0.4+lx0.3+2x0.2+3x0.1=l.

（2）設/（同=°3%3+P2尤2+（P1T）x+Po,

x3++x+

因為P3+P2+01+PO=1，/（^）=Pi+-（P2PoP3）Po＞

若￡（X）41,則P[+2P2+3p3VI,故P2+2P3VP0.

/'（x）=3忙2+2p2x-（02+Po+03），

因為/''（。卜-5+外+小卜。，/'（I）=2+22-AVO,

故/'（x）有兩個不同零點吃,馬，且再＜0＜14/，

且xe（-oo,xju（x2，+oo）時，/f（x）＞0；xe（再,工2）時,/,（x）＜0；

故/（X）在（-00,玉），仁,+00）上為增函數，在（玉,x?）上為減函數，

若馬=1,因為/（x）在（々,+8）為增函數且/■⑴=0,

而當xe（O,X2）時，因為/（x）在（占,%）上為減函數，故/（X）＞/（X2）=〃1）=O,

23

故1為Po+Pi》+p2x+p3x=x的一個最小正實根，

若尤2＞1,因為/⑴=0且在上為減函數，故1為PO+BX+PZX'+TV^M龍的一個最小

正實根，

綜上，若￡（X）41,則p=l.

若E（X）＞1,則P[+2P2+303＞1，故。2+2。3＞。0.

此時/''⑼=-（P2+PO+P3）＜O，/'⑴=02+223-00＞0,

故/'（X）有兩個不同零點七,匕，且退＜0＜》4＜1，

且xe（Y,X3）U（X4，+oo）時，f'（x）＞0；》《%3戶4）時，/'（x）＜0;

故/（X）在（-00戶3），（匕，+°°）上為增函數，在（工3，匕）上為減函數，

而/⑴=0,故/（%）＜0,

又/⑼=。。＞0,故/'（無）在（O,xJ存在一個零點P,且。＜1.

所以P為P0+P1X+P2/+°3苫3=X的一個最小正實根，此時P＜1,

故當E（X）＞1時，p＜\.

（3）意義：每一?個該種微生物繁殖后代的平均數不超過1,則若干代必然滅絕，若繁殖后

代的平均數超過1,則若干代后被滅絕的概率小于1.

5.（2021年北京市高考數學試題）在核酸檢測中,7合1”混采核酸檢測是指：先將人個人

的樣本混合在一起進行1次檢測，如果這4個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，

得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這左個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果

為陽性，此時需對每人再進行1次檢測，得到每人的檢測結果，檢測結束.

現對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.

（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.

⑴如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數；

（ii）已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為1.設X是檢測的總次數，求X的

分布列與數學期望E（X）.

（H）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設丫是

檢測的總次數，試判斷數學期望E（F）與⑴中E（X）的大小.（結論不要求證明）

【答案】（1）①20次；②分布列見解析；期望為*;（2）E（y）＞E（X）.

【分析】（1）①由題設條件還原情境，即可得解；

4

②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進而可得分布列，再由期望的公式即可得解;

（2）求出兩名感染者在一組的概率，進而求出￡位），即可得解.

【詳解】（1）①對每組進行檢測，需要10次；再對結果為陽性的組每個人進行檢測，需要

10次；

所以總檢測次數為20次；

②由題意，X可以取20,30,

產（X=20）=（,尸（X=30）=T=T，

則X的分布列:

X2030

110

P

n11

所以E（X）=20x：+30x《320

TT

（2）由題意，Y可以取25,30,

23

兩名感染者在同一組的概率為4=等20C產C不在同一組的概率為￡二9|5|

Cioo99

則￡（/）=25*±+30*紀=”史＞￡（幻.

V,999999V'

6.（2021年全國新高考I卷數學試題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有N,8兩類問題，

每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則

該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與

否，該同學比賽結束幺類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；2類問題中的

每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答/類問題的概率為0.8,能

正確回答3類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關.

（1）若小明先回答/類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）B類.

【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.（2）

與（1）類似，找出先回答8類問題的數學期望，比較兩個期望的大小即可.

【詳解】（1）由題可知，X的所有可能取值為0,20,100.

尸（X=0）=1—0.8=0.2；

尸（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；

P（X=100）=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列為

X020100

P0.20.320.48

（2）由（1）知，￡（X）=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答8問題，記丫為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0,80,100.

P（y=0）=l-0.6=0.4；

尸（￥=80）=0.60-0.8）=0.12；

P（X=100）=0.8x0,6=0.48.

所以E（Y）=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

5

因為54.4<57.6,所以小明應選擇先回答5類問題.

題型全歸納

【題型一】摸球與放球型

【講題型】

例題L在數學探究實驗課上，小明設計了如下實驗:在一個盒子中裝有藍球、紅球、黑球等多

種不同顏色的小球，一共有偶數個小球，現在從盒子中一次摸一個球，不放回.

(1)若盒子中有6個球，從中任意摸兩次,摸出的兩個球中恰好有一個紅球的概率為g.

①求紅球的個數；

②從盒子中任意摸兩次球,記摸出的紅球個數為X,求隨機變量X的分布列和數學期望.

(2)已知盒子中有一半是紅球，若“從盒子中任意摸兩次球，至少有一個紅球”的概率不大于巳，

求盒子中球的總個數的最小值.

【答案】(1)①紅球的個數為3;②分布列見解析;數學期望為1(2)最小值為8

【分析】(1)設出紅球的個數,根據古典概型的概率公式列出等式，即可解出紅球的個數;根據紅

球的個數寫出X的所有可能取值,分別求出概率，列出分布列即可；

(2)設出球的個數，求出從盒子中任意摸兩次球，都不是紅球的概率，進而求得至少有一個紅球

的概率，使其小于等于《，即可求得球的總個數范圍，進而求出結果.

【詳解】(1)①設紅球的個數為""及),則摸出的兩個球中恰好有一個紅球的概率

解得〃=3,所以紅球的個數為3;

②X的所有可能取值為0,1,2,

則尸(X=0嚏=1p(X=l)=|,P(X=2)瞪=：,

故隨機變量X的分布列為

131

所以￡(?=0、1+巴+2*=1；

(2)設球的總個數為2m，則紅球的個數為加，

C2m(m-l)m2-m

則從盒子中任意摸兩次球,都不是紅球的概率:P=二=丁、-77=:2、

C2m4m-2m

4m2-2m4m2-2m48m-414

解得冽24,所以盒子中球的總個數的最小值為8.

例題2.為喜迎馬年新春佳節，懷化某商場在正月初六進行抽獎促銷活動，當日在該店消費滿

500元的顧客可參加抽獎.抽獎箱中有大小完全相同的4個小球，分別標有字

“馬”“上”“有”“錢”.顧客從中任意取出1個球，記下上面的字后放回箱中，再從中任取1個

球，重復以上操作，最多取4次，并規定若取出“錢”字球，則停止取球.獲獎規則如下：依

次取到標有“馬”“上”“有”“錢”字的球為一等獎；不分順序取到標有“馬”“上”“有”“錢”字的球，

為二等獎；取到的4個球中有標有“馬”“上”“有”三個字的球為三等獎.

6

(1)求分別獲得一、二、三等獎的概率；

(2)設摸球次數為九求4的分布列和數學期望

15Q175

【答案】⑴⑵分布列見解析，石⑷=77

2JO2JO6404

【分析】(1)設“摸到一等獎、二等獎、三等獎”分別為事件A,B,C,每次摸球相互獨立,

每個球被摸到的概率為:，由事件的相互獨立性性質求尸(4),先由排列方式計算事件B的

基本事件個數，再由古典概型求概率方式求尸(8),最后三等獎的情況有:“馬，馬，上，有”;

“馬，上，上，有”；“馬，上，有，有”三種情況，由相互獨立性求概率即可；

(2)由相互獨立性計算J的取值為1、2、3、4時的概率，并列出對應的分布列，進而由均

值計算公式求得均值.

【詳解】(1)解；設“摸到一等獎、二等獎、三等獎”分別為事件A,B,C.

A；-15

則PQ)=—X—X—X—=--------P?=

444425644256

三等獎的情況有：“馬，馬，上，有”；“馬，上，上，有”；“馬，上，有，有”三種情況,

所以尸(。)=—X—X—X—XA4

44444

(2)解：設摸球的次數為九則J的可能取值為1、2、3、4,

13133319

所以℃=1)=:，^=2)=-x-=-P^=3)=-x-x-=—,

4P4416f44464

27

P(^=4)=l-P(^=l)-P(^=2)-P(^=3)=—,

64

故取球次數J的分布列為

1234

j_3927

P

4166464

【講技巧】

摸球與放球模型。要注意幾點：

L是否放回。還是有條件的替換摸球

2.一次一個摸球，還是一次摸多個球

【練題型】

袋中有。個白球和。個黑球，從中任取一?球，若取出白球，則把它放回袋中；若取出黑球,

則該黑球不再放回，另補一個白球放到袋中.在重復〃次這樣的操作后，記袋中白球的個數

為X".

⑴求X1的數學期望E(XJ；

⑵設尸=a+左)=0-求P(X“+i=a+A),斤=0,1,…,6.

a

Ax，左=0

【答案】⑴告a+b

⑵V

a+kb-k+\

Pkx+A-ix-,--k---=--1--,-2-,,,,,匕

a+ba+b

rih

【分析】(l)當〃=1時，袋中白球的個數可能為。或。+1,得概率為一'或上7,求期望

a+ba+b

即可；

7

（2）當左=0時，求出尸（工+|=。+0）,再分別計算第"次操作后袋中

有a+左個白球和第〃次操作后袋中有（。+左-1）個白球，求解計算即可.

【詳解】（1）當〃=1時，袋中白球的個數可能為。（即取出的是白球），概率為一三

a+b

也可能為。+1（即取出的是黑球），概率為一二.

a+b

(八ba2+ab+b

故￡(Xj=ax，一+(a+l)x------=---------------

l"a+ba+ba+b

（2）當上=0時，P（X同=a+0）=p°x--

a+b

當左=1,2,…,6時，第”+1次操作后袋中有a+左個白球的可能性有兩種：

①第〃次操作后袋中有。+后個白球，顯然每次取球后，球的總數保持不變,

即a+6個（此時黑球有6-左個），第〃+1次取出來的也是白球，

這種情況發生的概率為4x當小=1,2,…,6）；

②第"次操作后袋中有（。+左-1）個白球，第〃+1次取出來的是黑球，

由于球的總數保持不變，為a+6個，故此時黑球的個數為6-左+1,

A—"]

這種情況發生的概率為A-ix———（^=1,2L的），

a+b

故尸（X"+i=a+左+■（左=1,2,…,6）,

a+ba+b

a

P。x------,k=0

a+b

尸（X,+i=。+左）=，

a+kh—左+],.

Px------+A-ix-----12…/

綜上所述,ka+ba+b

【題型二】超幾何分布

【講題型】

例題1.某石化集團獲得了某地深海油田區塊的開采權，集團在該地區隨機初步勘察了部分幾

口井，取得了地質資料，進入全面勘探時期后，集團按網絡點來布置井位進行全面勘探.由

于勘探一口井的費用很高，如果新設計井位與原有井位重合或接近，便利用舊井的地質資料,

不必打這口新井，以節約勘探費用.勘探初期數據資料見如表：

井號I123456

坐標(x,y)(hn)(2,30)(4,40)(5,60)(6,50)(8,70)(1J)

鉆探深度（.）2456810

出油量（L）407011090160205

（1）1?6號舊井位置線性分布，借助前5組數據求得回歸直線方程為j=6.5x+a,求。的值，

并估計>的預報值；

⑵現準備勘探新井7（1,25）,若通過1,3,5,7號井計算出務，嚷的值（令，一精確到0.01）

相比與（1）中的6,。值之差不超過10%,則使用位置最接近的已有舊井6（1/）,否則在

新位置打井，請判斷可否使用舊井？

（3）設出油量與勘探深度的比值左不低于20的勘探井為優質井，那么在原有6口井中任意勘

探4口井，求勘探優質井數X的分布列與數學期望.

8

44

（參考公式和計算結果號號------，a=v-bx，S4-I=94,1XT%T=945）

2

2-/■=1i=l

>xz-nx

Z=1

案［（l）a=17.5；V的預報值為24；（2）使用位置最接近的已有舊井6（1,24）；（3）分布列見解

析；EX=g.

【分析】（1）計算I、五，求出回歸系數。，寫出回歸直線方程，進而求得了的預報值；

（2）計算元、五，利用參考公式與計算結果求出回歸系數否，￡的值，由此求得相比于（1）

中的6,。值之差不超過10%,從而得出結論；

（3）根據題意判斷得X服從超幾何分布，從而求得對應的概率值，由此得到X的分布列與

數學期望.

——1

【詳解】(1)依題意，由前5組數據得至IJ玉=[x(2+4+5+6+8)=5,

一1

凹=『(30+40+60+50+70)=50,

因為y=6.5x+a,所以。=50-6.5x5=17.5,故回歸直線方程為=6.5x+17.5，

當x=l時，3=6.5+17.5=24,所以了的預報值為24.

一1一14

(2)因為無2=—x(2+5+8+l)=4,=-X(30+60+70+25)=46.25,因為￡名.1=94,

44i=i

4

IX-MT=945,

4___

g、比945-4x4x46.25

所以6=^----------——=-9"4x不^6.83,故。=46.25—6.83x4=18.93，

-4工2

1=1

?/v人6.83—6.518.93—17.5,,

貝n1U=6.83，。=18.93，6=6.5，a=17.5,所以———-5n%/,—————-8on%/,均不超

6.517.5

過10%,

所以使用位置最接近的已有舊井6(1,24).

(3)由題意得，1,3,5,6這4□井是優質井，2,4這兩口井是非優質井，

所以勘察優質井數X的可能取值為2,3,4,且X服從超幾何分布，即「（入=無）=筆^

尸

例題2.2020年我國科技成果斐然，其中北斗三號全球衛星導航系統7月31日正式開通.北

斗三號全球衛星導航系統由24顆中圓地球軌道衛星、3顆地球靜止軌道衛星和3顆傾斜地

球同步軌道衛星，共30顆衛星組成.北斗三號全球衛星導航系統全球范圍定位優于10米,

實測的導航定位精度都是2?3米，全球服務可用性99%,亞太地區性能更優.

（I）南美地區某城市通過對1000輛家用汽車進行定位測試，發現定位精確度X近似滿足

9

X?N［：，：］，預估該地區某輛家用汽車導航精確度在［1，3］的概率；

(II)(i)某地基站工作人員30顆衛星中隨機選取4顆衛星進行信號分析，選取的4顆

衛星中含3顆傾斜地球同步軌道衛星數記為Y,求丫的分布列和數學期望；

(ii)某日北京、上海、拉薩、巴黎、里約5個基地同時獨立隨機選取1顆衛星進行信號分

析，選取的5顆衛星中含中圓地球軌道衛星的數目記為“求J的數學期望.

附：若X?N仇〃)，貝［］尸(〃-＜74》＜〃+＜7)20.6827,尸(〃一2crVXV〃+2cr)20.9545,

尸(〃-3crWXW〃+3b)*0.9973.

2

【答案】(I)0.84；(II)(i)分布列見解析，j；(ii)4.

【分析】(I)根據“3b”原則及圖形的對稱性即可求解；

(II)(?)由題可知Y服從超幾何分布，利用公式即可求解；(ii)由題可知《服從二項分

布，利用公式即可求解.

【詳解】(I)由易知〃=|,b=g

09973-06827

.?.P(lWXV3)=P(〃-3bVXV〃+b)。0.6827+-------———=0.6827+0.1573=0.84,

則預估該地區某輛家用汽車導航精確度在［1,3］的概率為0.84.

(II)(?)由題意知丫?〃(4,3,30),P(y=i)=￡*(i=0,l,2,3),的分布列為

。30

Y0123

13065391

P

20320310151015

we翳】嘿+2392

+3xw?

W155

(ii)5個基地相互獨立，每個基地隨機選取1顆衛星是中圓地球軌道衛星的概率—為2三4二g4

所以5個基地選取的5顆衛星中含中圓地球軌道衛星的數目4?

4

E^^=np=5x—=4.

【講技巧】

超幾何分布：

若在一次實驗中事件發生的概率為0(0＜夕＜1),則在〃次獨立重復實驗中，在第左次

首次發生的概率為M4)=(1—,k=l,2,...,Er-O

(4)超幾何分布：總數為N的兩類物品，其中一類為M件，從N中取〃件恰含M中

的加件,m=0,l,2...,k,其中。為M與”的較小者,稱4

服從參數為N,/,〃的超幾何分布，記作J-H(N,M,n)，此時有公式4=歹。

10

【練題型】

某省2021年開始將全面實施新高考方案.在6門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目

采用原始分計分；思想政治、地理、化學、生物這4門科目采用等級轉換賦分，將每科考生

的原始分從高到低劃分為A,B,C,D,E共5個等級，各等級人數所占比例分別為15%、

35%、35%、13%和2%,并按給定的公式進行轉換賦分.該省組織了一次高一年級統一考

試，并對思想政治、地理、化學、生物這4門科目的原始分進行了等級轉換賦分.

（2）假設該省此次高一學生生物學科原始分丫服從正態分布陽75.8,36）.若丫?NT，/）,令

〃=與幺，貝【JN（0,l）,請解決下歹問題：

①若以此次高一學生生物學科原始分。等級的最低分為實施分層教學的劃線分，試估計該劃

線分大約為多少分？（結果保留為整數）

②現隨機抽取了該省800名高一學生的此次生物學科的原始分，若這些學生的原始分相互獨

立，記4為被抽到的原始分不低于71分的學生人數，求尸修=心取得最大值時左的值.

附：若〃?N（0,l）,貝IJ/（7^0.8）^0.788,1.04）?0.85.

3

【答案】（1）分布列詳見解析，數學期望為：；（2）①69分；②左=631.

【分析】（1）寫出隨機變量X的所有可能的取值，根據超幾何分布求出X的每個值對應的

概率，列出分布列，求出數學期望；

（2）①設該劃線分為機，由丫?可（75.8,36）求出〃。.由〃=3,得丫=6〃+75.8.由題意

（J

卜0.85,又尸（悵1.04）。0.85，〃?N（0,l）,故尸（〃2-1.04卜0.85,故七冬白-1.04,即可

6

二夕，根據獨立重復實驗的概率計算公式，求出

求出機；②由題意

尸（4=左）2尸（。=左+1）

P（J=左）,P（J=左_1）,尸傳=左+1）,代入不等式組，即求上的值.

【詳解】（1）隨機變量X的所有可能的取值為0,1,2,3.

由題意可得：P（X=O）=豐■二也二工，p（x=i）=*■=毀=2

3v

中心心Jf\C,012012C；o12012

P(X=2)=竽=50_5_10_1

二詢=0'尸("=3)=可=西=0

^10

隨機變量X的分布列為

X0123

1551

P

12121212

數學期望E(X)=0X^+1X』+2X2+3XL=3

121212122

（2）①設該劃線分為加,由）?N設5.8,36）得"=75.8,b=6,

令〃=3加，則丫=6〃+75.8,

(J6

11

由題意，尸（y>機）20.85,即尸（6〃+75.8分機）=山》一；）81a0.85,

-：r]-N（0,Y）,尸仍W1.04）Q0.85,P（T?>-1.04）?0.85,

——^^2-1.04,.-.m=>69.56,取加=69.

6

②由①討論及參考數據得

P（Y》71）=尸（6〃+75.8》71）=尸（欄-0.8）=尸（〃W0.8）?0.788,即每個學生生物統考成績不低于

71分的事件概率約為0.788,?8（800,0.788）,尸雋=后）」C*。0.788鼠1-0.788嚴修.

M

[P=上）2尸（J=a—1）][oO.788"l-0.788）8°°4>0.788（1-0.788）8°?，

800A+1799

曰尸"=a+1'，即1c^00.788"（1-O.788）-'>0.788（1-0.788）^,

解得630.188WAT631.188,vAreN,."=631,

.??當左=631時，尸優=左）取得最大值.

【題型三】兩點分布

【講題型】

例題L武漢市掀起了轟轟烈烈的“十日大會戰”，要在10天之內，對武漢市民做一次全員檢

測，徹底摸清武漢市的詳細情況.某醫院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現有

1000僅eN*）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗1000次.

方案②：按上個人一組進行隨機分組，把從每組上個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果

每個人的血均為陰性，則驗出的結果呈陰性，這左個人的血就只需檢驗一次（這時認為每個

人的血化驗1次）；否則，若呈陽性，則需對這左個人的血樣再分別進行一次化驗這樣，該

組上個人的血總共需要化驗上+1次.假設此次檢驗中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為P,

且這些人之間的試驗反應相互獨立.

（1）設方案②中，某組上個人中每個人的血化驗次數為X,求X的分布列；

（2）設。=0」.試比較方案②中，左分別取2,3,4時，各需化驗的平均總次數；并指出在這

三種分組情況下，相比方案①，化驗次數最多可以減少多少次？（最后結果四舍五入保留整

數）

【答案】（1）分布列見解析；（2）左=2,總次數為690次；左=3,總次數為604次；k=4,

次數總為594次；減少406次

【分析】（1）設每個人的血呈陰性反應的概率為4,可得4=1-。，再由相互獨立事件的概

率求法可得k個人呈陰性反應的概率為q。呈陽性反應的概率為1-qk,隨機變量X=",1+g

即可得出分布列.

（2）由（1）的分布列可求出數學期望，然后令上=2,3,4求出期望即可求解.

【詳解】（1）設每個人的血呈陰性反應的概率為則4=1

所以上個人的血混合后呈陰性反應的概率為呈陽性反應的概率為1-/,

1

依題意可知》=萬/+?，所以的分布列為:X1+-

XIk

k

Pqk一

（2）方案②中，結合（1）知每個人的平均化驗次數

為:E（X）=；/+（1+））（1_/）=；_/+1

所以當上=2時，￡（^）=1-0.92+1=0.69,

此時1000人需要化驗的總次數為690次，

4=