第一節多元函數的基本概念

教學目的：學習并掌握關于多元函數的區域、極限以及多元函數概念，掌握多元

函數的連續性定理，能夠判斷多元函數的連續性，能夠求出連續函數

在連續點的極限.

教學重點：多元函數概念和極限，多元函數的連續性定理.

教學難點：計算多元函數的極限.

教學內容：

一、平面點集n維空間

討論?元函數時，經常用到鄰域和區間的概念.由于討論多元函數的需要，我們首先把

鄰域和區間概念加以推廣，同時還要涉及其它一些概念.

1.平面點集

設Po（%,打）是my平面上的一個點，6是某一正數.與點Po（/，%）距離小于6的點

P（x,y）的全體，稱為點入的6鄰域，記為U（Po，b）,即

。（幾,/={7附。|<一,

也就是

U（痣》）={（x,y）|J（X-X（））2+（」一%）~<b}.

在幾何上，°（耳,力就是wy平面以上點〃0（%,打）為中心、6>0為半徑的圓的內

部的點p*，y）的全體.

設E是平面上的一個點集，P是平面上的一個點.如果存在點P的某一鄰域U（P）uE,

則稱P為E的內點（畫圖8T顯示）.顯然，E的內點屬于E.

如果E的點都是內點，則稱E為開集.例如，點集瓦={（x，W+y2<4}中每個

點都是Ei的內點，因此為開集.

如果點P的任一鄰域內既有屬于E的點，也有不屬于E的點（點尸本身可以屬于E,

也可以不屬于E）,則稱尸為E的邊界點（可畫圖8-2顯示）.E的邊界點的全體稱為E的

邊界.例如上例中，E,的邊界是圓周i+y2=1和/+>12=4.

設D是開集.如果對于D內任何兩點，都可用折線連結起來，且該折線上的點都屬于D,

則稱開集D是連通的.

連通的開集稱為區域或開區域.例如，｛（%）中+>>*及心'琲<x2+y2<4｝都是

區域.

開區域連同它的邊界一起，稱為閉區域，例如

｛（x,y）|x+y》o｝及｛（x,y）|iw/+Vw4｝

都是閉區域.

對于點集E,如果存在正數K,使一切點PwE與某一定點A間的距離|AP|不超過K,

即

|4P|Wk,對一切PwE成立，

則稱E為有界點集，否則稱為無界點集.例如，｛（x，y）Ilw_+>'2<4｝是有界閉區域，

｛（x,y）|x+y>（）｝是無界開區域

2.〃維空間

我們知道,數軸上的點與實數有一一對應關系,從而實數全體表示數軸上一切點的集合,

即直線.在平面上引入直角坐標系后，平面上的點與二元數組（%）’）一一對應，從而二元數組

*，y）全體表示平面上一切點的集合，即平面.在空間引入直角坐標系后，空間的點與三元數

組（x,y,z）一—對應，從而三元數組（x,y,z）全體表示空間一切點的集合，即空間.一

般地，設〃為取定的一個自然數，我們稱〃元數組（的，々,…,4）的全體為〃維空間，而

每個〃元數組（占，々，…，貓）稱為n維空間中的一個點，數Xi稱為該點的第i個坐標.n維空

間記為Rn.

n維空間中兩點，/，…,％）及。（一,七，…，/）間的距離規定為

\PQ\=/（乃一X|）2+（），2—二）2+?,,+（%】一%）2

容易驗知，當〃=1,2,3時，由上式便得解析幾何中關于直線（數軸），平面，空間內兩點

的距離.

二、多元函數概念

在很多自然現象以及實際問題中，經常遇到多個變量之間的依賴關系，舉例如下：

例8-1圓柱體的體積V和它的底半徑r、高人之間具有關系

V=m'h

這里，當r、力在集合{(「'')卜內取定一對值(一，〃)時，V的對應值就隨之確定.

例8-2一定量的理想氣體的壓強。、體積V和絕對溫度7之間具有關系

RT

P=~V~,

例8-3設R是電阻與、尺2并聯后的總電阻，山電學知道，它們之間具有關系

&+&

定義8-1-5設E是〃維空間R"的非空子集，若存在對應關系/,對E中任意點

P(X1,X2,---,X?)GDf按照對應關系了,對應唯一一個yeR,則稱對應關系/是定義在

E上的〃元函數，表示為：

f-ETR

點尸對應的數y稱為函數/在點p的函數值，表示為：

y=/(P)

或y=/(X1,x2,--?,%?)

數集E稱為函數/的定義域，函數值的集合稱為函數/的值域，表示為

/(E)={y|y=/(P),PeE}uR

〃元函數有〃個自變數x”聲,…,x"，當給定一個函數，沒有特別指明它的定義域，就

認為它的定義域是使該函數有意義的點的集合，一般可由函數解析式確定.

與一元函數相同，我們約定將〃元函數/：ETR,表示為

y=f(P)

或y=/(%!，x2,-?■%?)

根據多元函數的概念，不難看出8-1,8-2,8-3都是多元函數，二元和二元以上的函數

統稱為

多元函數.

例8-4求函數Z=ln(x+y)的定義域.

解函數z=ln(x+y)的定義域是{(X+>)卜+y>°},它是位于直線x+y=°上方

的平面，不含直線彳+>=°(圖8-5),是一個無界開區域.

例8-5求函數z=arcsin（x?+/）的定義域為

解函數z=arcsin（F+>2）的定義域為｛（x+y）,、/<1｝

（圖8-6）,這是個閉區域.

設函數z=/*,y）的定」?任意取定的點尸（x，y）￡,困數值為

圖8-5圖8-6

z=/（x,y）.這樣，以X為橫坐標、y為縱坐標、z=/（x,y）為豎名僅'"一,回網確定一點

/（了,》*）.當（匕》）遍取。上的一切點時，得到一個空間點集

｛（x,y,z）\z=f（x,y）,（x,y）&。｝,

這個點集稱為二元函數％=/*,>）的圖形.通常我們也說二元函數的圖形是?張曲面.

三、多元函數的極限

與一元函數的極限概念類似，如果在「（兒田7痣（%。4。）的過程中，對應的函數值

/*，y）無限接近一個確定的常數A,我們就說A是函數'lx。，y-?y。時的極限.下面

用“￡-6”語言描述這個極限概念.

定義設函數/（x，y）在開區域（或閉區域）。內有定義，々）（x。，〉。）是。的內點或

邊界點.如果對于任意給定的正數￡，總存在正數6,使得對于適合不等式

O<|P綜1=4-/尸+⑶-%）？<3的一切點p0,y）e0,都有l〃x，y）一川<￡成

立，則稱常數A為函數/a，y）當xfX。，時的極限，記作

lim/（x,y）=A

XTXQ,

或f（x,y）->A（『-?O）,這里夕=仍闈

為了區別于一元函數的極限，我們把二元函數的極限叫做二重極限.

/(x,y)=(x2+y2)sinh工

例8-6設％+y(/+)2H0).

lim/(x,y)=O

x->0

證明

2222122

U+>~)sin2-0=|(x+y)lsin22<x+y

證因為x+yjr+y-可見,

對任給￡>o,取6=正，則當o<J*-。）.+（y-o）2時,總有

(x2+y2)sin—~7一。<￡

x+y成立

lim/(x,y)=O

所以XTXO

注：所謂二重極限存在，是指P*，y）以任何方式趨于尸。a，）'）時，函數都無限接近于

A.因此，如果尸*,y）以某一種特殊方式，例如沿著一條直線或定曲線趨于"a，）'）時，即

使函數無限接近于某?確定值，我們還不能由此斷定函數的極限存在.但是反過來，如果當

P（x,y）以不同方式趨于與a，y）時,函數趨于不同的值，那么就可以斷定這函數的極限不

存在.卜一面用例子來說明這種情形.

盯x2+y20,

f(x,y)=<X2+y2

0,x2+y2=o,

顯然，當點P（x，y）沿X軸趨于點（0,0）時，蚓"/°）=颼°=°；又當點P（x,y）

/nn\lim/（O,y）=limO=0

沿y軸趨于點（°，°）時，t.'-0

雖然點P（x，）‘）以上述兩種特殊方式（沿X軸或沿y軸）趨于原點時函數的極限存在并且

hmf（x,y）

相等，但是并不存在.這是因為當點P（x，y）沿著直線>'=kx趨于點（0,0）

xykx2k

lim—5―=~r=htn-----=--------7

T.%+yx-

忖，有產so/+k，y\+k-,

顯然它是隨著人的值的不同而改變的.

四.多元函數的連續性

有了多元函數極限的概念，就不難說明多元函數的連續性.

定義設函數/a，〉,）在開區域（閉區域）。內有定義，慮a。，〉。）是。的內點或邊界

點且與e如果

limf（x,y）=f（x,y）

XTX。00

）fo,

則稱函數/（*，y）在點連續.

定義如果函數/a，、）在開區域（或閉區域）。內的每一點連續，那么就稱函數

/a,y）在。內連續，或者稱/（%y）是。內的連續函數.

以上關于二元函數的連續性概念，可相應地推廣到〃元函數/（尸）上去.

若函數/a,y）在點外（xo，）'o）不連續，則稱po為函數的間斷點.這里順便指

出：如果在開區域（或閉區域）。內某些孤立點，或者沿D內某些曲線，函數/（羽丁）沒

有定義，但在。內其余部分都有定義,那么這些孤立點或這些曲線上的點，都是函數/a，田

的不連續點，即間斷點.

與閉區域上一元連續函數的性質相類似，在有界閉區域上多元連續函數也有如下性質.

性質1（最大值和最小值定理）在有界閉區域。上的多元連續函數，在。上一定有

最大值和最小值.這就是說，在。上至少有一點々及一點打，使得/（片）為最大值而/（鳥）

為最小值，即刻于一切PWD,有

性質2（介值定理）在有界閉區域。上的多元連續函數，如果在。上取得兩個不同的

函數值，則它在。上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次.特殊地，如果〃是函數在。

上的最小值〃2和最大值M之間的一個數，則在。上至少有一點°,使得/（Q）=4.

一元函數中關于極限的運算法則，對于多元函數仍然適用：根據極限運算法則，可以

證明多元連續函數的和、差、積均為連續函數；在分母不為零處，連續函數的商是連續函數.

多元連續函數的復合函數也是連續函數.

與-元的初等函數相類似，多元初等函數是可用一個式子所表示的多元函數，而這個

式子是由多元多項式及基本初等函數經過有限次的四則運算和復合步驟所構成的（這里指

出，基本初等函數是一元函數，在構成多元初等函數時，它必須與多元函數復合）.例如，

x+x2-y2

1+x2-

是兩個多項式之商，它是多元初等函數.又例如sin（x+y）是由基本初等函數sin〃與多項式

〃=復合而成的，它也是多元初等函數.

根據上面指出的連續函數的和、差、枳、商的連續性以及連續函數的復合的連續性,

再考慮到多元多項式及基本初等函數的連續性，我們進一步可以得出如下結論：

一切多元初等函數在其定義區域內是連續的.所謂定義區域是指包含在定義域內的區域

或閉區域.

由多元初等函數的連續性，如果要求它在點入處的極限，而該點又在此函數的定義區

域內，則極限值就是函數在該點的函數值，即

hmf（P）=f（P0）

PT%.

lim蟲

例8-7求盯.

解函數孫是初等函數，它的定義域為°={5，）'）卜,°廣,°}.

因。不是連通的，故。不是區域.但A={（"，y）卜＞°，、＞0}是區域，且Ru°,所以。

是函數/（x，y）的一個定義區域.因玲（l，2）e2,故

limx+2=/（12）=1

同盯2

如果這里不引進區域DI,也可用下述方法判定函數/（X，）,）在點鳥（1，2）處是連續的：

因「。是/（x,y）的定義域。的內點，故存在尸o的某一鄰域U（痣）u°,而任何鄰域都是區

域，所以°（玲）是了（兒田的一個定義區域，又由于/&，乃是初等函數，因此/*，田在

點處連續.

一般地,求如H"P）,如果/（P）是初等函數,且乙是"P）的定義域的內點，則/（「）

在點尸。處連續，于是既

lim恒壬1

.XT。XV

例8-8求.1。7.

ry/xy+1-1xy+1-1..1i

lim----------hm----:----hm/=——I

解，孫=―xyQxy+1+1）=-Jx），+1+1=5

小名圣本節在一元函數的基礎上，討論多元函數的基本概念.討論中我們以二元函數為主，

針對二元函數的極限及連續予以重點介紹.從二元函數到二元以上的多元函數則可

以類推.

第二節偏導數

教學目的：學習偏導數的定義，學會求多元函數的偏導數和多階偏導數。

教學重點：偏導數的定義，判斷二元函數偏導數的存在性，計算二元、多元函數

的偏導數。

教學難點：判斷二元函數偏導數的存在性，計算多元函數的偏導數。

教學內容：

一、偏導數的定義

在研究一元函數時，我們從研究函數的變化率引入了導數概念.對于多元函數同樣需要

討論它的變化率.但多元函數的自變量不止一個，因變量與自變量的關系要比一元函數復雜

得多.在這一節里，我們首先考慮多元函數關于其中一個自變量的變化率.以二元函數

z=/(x,y)為例，如果只有自變量X變化，而自變量y固定(即看作常量)，這時它就是X

的一元函數，這函數對X的導數，就稱為二元函數Z對于X的偏導數，即有如下定義：

定義設函數Z=f(》，田在點(/，>。)的某一鄰域內有定義，當丫固定在〉。而工在％0

處有增量以時.，相應地函數有增量

f(x0+A.r,y0)-/(x0,y0)5

/Oo+Ar,)'o)—/(x。，〉。)

,elimT

如果-TOAr(1)

存在，則稱此極限為函數z=/(x,y)在點(X。，%)處對X的偏導數，記作

?df

dxHxx="Z』x=xo\

y=>'o,>->o,,.y=yo或Jx/o/

例如，極限(1)可以表示為

，/、，.f(x0+/^x,y0)-f(x0,y0)

(x,Vo)=lim7

f八x0zo2。Ax.(2)

類似地，函數z=/(x，y)在點(x°，孔)處對y的偏導數定義為

f(x0,y0+^y)-f(x0,y0)

lim;

△)TOAy(3)

.df

記作方寂，力/，”」款或了,（》。，》。）

如果函數z=/a，y）在區域D內每一點a，y）處對刀的偏導數都存在，那么這個偏導

數就是小y的函數，它就稱為函數z=/a，y）對自變量y的偏導數，記作

dzdf

dx,dx,J或'Ey）

類似地，可以定義函數z=/（x，y）對自變量y的偏導數，記作

dy,辦，，Zy或fy（x,y）

由偏導數的概念可知，/（X，＞）在點處對（X。，＞0）處對x的偏導數￡（/，孔）顯然就是

偏導函數工（兀內在點a。，y。）處的函數值；Aa。，?。）就是偏導函數人（x,y）在點

（%）,打）處的函數值.就象一元函數的導函數一樣，以后在不至于混淆的地方也把偏導函數簡

稱為偏導數.

至于實際求z=/（x,y）的偏導數，并不需要用新的方法，因為這里只有一個自變量在

或

變動，另個自變量是看作固定的，所以仍就是一元函數的微分法問題.求ax時，只要把）

笠

暫時看作常量而對工求導數：求辦,時，則只要把工暫時看作常量而對y求導數.

偏導數的概念還可以推廣到二元以上的函數.例如三元函數M=/（x,y,z）在點（sy,z）

處對x的偏導數定義為

,z、「/（x+Ar,y,z）-/（x,y,z）

A（x,y,z）=h0m-----------7------------

其中（羽居名）是函數M=/*，y，z）的定義域的內點.它們的求法也仍舊是一元函數的微分

法問題.

例8-9求7=/+3盯+〉2在點（］,2）處的偏導數.

解把）'看作常量，得

—=2x+3y

dx

把龍看作常量，得

dz

—=3x+2y

dy

將（1,2）代入上面的結果，就得

%：：；=2?1+3-2=8

dx',

例8-10求名=$足2y的偏導數.

手隗=2尤sin2y爭*2x?cos2y

解dxly-2,dy1

例8-11設Z=xv（x>0,xHl）,求證：

Xdz1dzn

一二一3"=2Z

y*+inxoy

—=yx^1半=x）Inx

證因為&,dy,

Xdz1azXy-l1

yyy

一」---丁一yx------xInx=x+x=2z

所以ydx+Inx=y+Inx

例8-12求-=J-+/+z2的偏導數.

解把丫和Z都看作常量，得

dr-x

d^c^ylx2+y2+Z2=7

由于所給函數關于自變量的對稱性，所以

力ya-z

力=r,次=r.

孔:;=3J+2.2=7

dyr

二、偏導數的幾何意義

二元函數/*，月在點a。，％）的兩個偏導數有明顯的幾何意義：設

陰0（%,九J（Xo，y（）））為曲面z=/（x,y）上的一點，過Mo作平面y=y°,截此曲面得一

d（xI

曲線，此曲線在平面y=%上的方程為2=/（*，>。），則導數公E°,即偏導數

/（X。，先人就是這曲線在點M。處的切線/。工對x軸的斜率（見圖8-6）.同樣，偏導數

人（%,汽）的幾何意義是曲面被平面x=/所截得的曲線在點M。處的切線M。7；對了軸

的斜率.

我們已經知道，如果一元函數在某點具有導數，則它在該點必定連續.但對于多元函數

來說，即使各偏導數在某點都存在，也不能保證函數在該點連續.這是因為各偏導數存在只

能保證點P沿著平行于坐標軸的方向趨于用時，函數值，（P）趨于/（入入但不能保證點P

按任何方式趨于穌時.，函數值/（P）都趨于/（%）.例如，函數

孫+y2H0,

Z=〃X,y)=</+y2

0,x2+y2=0,

在點(0,0)對X的偏導數為

i-/(0+Ax,0)-/(0,0)_

￡,(0,0)=hm--------;-----------=0

AATOZk￥

同樣有

,r/(O,O+Ay)-/(O,O)

/v(0,0)=hm--------T-----------=0

Av—。Ay

但是我們在第一節中已經知道這函數在點(0,0)并不連續.

三、高階偏導數

設函數Z=/（X，）'）在區域。內具有偏導數

生=/1（x,y）i|=/vUo1）

ox,,

那么在D內＜（x，y）、都是3，y的函數.如果這兩個函數的偏導數也存在，則稱

它們是函數z=/a，y）的二階偏導數.按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數:

=f￡x,y)

a〔aJ=次2一x,））,方〔aJ=去辦

加⑶=獷=—'）

=fv1（x，y）

8x1力)=dydx

其中第二、三個偏導數稱為混合偏導數.同樣可得三階、四階、以及”階偏導數.

二階及階以上的偏導數統稱為高階偏導數.

d2zMza'd3z

例8-13設Z=X、2-3盯3一盯+1,求去2、辦世、力為、力2及dx3

dzdz

解dx=3x2y2-3y3dy=2x3y-9xy2-x.

a%

Q=6xF,dydx=6x2y-9y2-1.

d2z

dxdy=6x2y-9y2-1dy2-18x2—18xy.

d3Z

dx3=6y

a2z也

我們看到上例中兩個二階混合偏導數相等，即力派=這不是偶然的.事實上，我

們有下述定理.

d2Zd2z

定理如果函數z=f(x,y)的兩個二階混合偏導數dydx及派小，在區域D內連續，那

么在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等.

換句話說，二階混合偏導數在連續的條件下與求導的次序無關.這定理的證明從略.

對于二元以上的函數，我們也可以類似地定義高階偏導數.而且高階混合偏導數在偏導

數連續的條件下也與求導的次序無關.

例8-14驗證函數Z=In次+y2滿足方程

32Z

dx2+砂2=o.

=Injx2+y2=—\n(x24-y2)

因為

證Z2,

x也y

浪=/+22

所以y,dy=x+/,

22

d2z(￡1+y2)-x-2xyT

定=(，+打=(X2+y2)2

a2z，+y2)_y.2y

a/=(犬+),2)2傘+打

因此

d2z耍y2-x2/-y2

3%2+^y2=修+#2+G+小。

Tzaz

定理如果函數z=/0，＞）的兩個二階混合偏導數力a及dxdy在區域口內連續，

那么在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等.

換句話說，二階混合偏導數在連續的條件下與求導的次序無關.這定理的證明從略.

對于二元以上的函數，我們也可以類似地定義高階偏導數.而且高階混合偏導數在偏導

數連續的條件下也與求導的次序無關.

例8-15驗證函數？=InJ,+V滿足方程

d2zMz

7

瓦+獷=0.

dzxdzy

所以dx=x2+y2,力=/+)[

cc22

2

3z(x+y")-x-2xy-x

必=(x，+y2)2=(/+>2)2,

d2Z(x2+y2)-y-2yF

力2=(x2+y2)2=(x2+y2)2

因此Q+方2=(x2+yJ+8+/2丫R

小結：本節在一元函數微分學的基礎上，討論多元函數(以二元函數為重點)

偏導數的定義及存在條件和求法，這是多元函數微分學的基礎.

第三節全微分

教學目的：學習和掌握多元函數（以二元函數為主）全微分的定義，掌握二元函

數可微與偏導數存在之間的關系，會求多元函數的全微分。

教學重點：可微與偏導數存在之間的關系，多元函數的全微分。

教學難點：計算多元函數的全微分。

教學內容：

一、全微分的定義

定義設函數z=/（x,y）在點（%,%）的某鄰域內有定義，如果函數在點（/，兒）的全

增量

&=/（X。+M%+Ay）-f（x0,%）

可表示為

Az=AAr+BAy+o（p）,

其中A、B不依力賴于?、△）’而僅與X。、比有關，P=J（由尸+（由尸，則稱函數

z=/&,y）在點（/，先）可微分，而AAx+BAy稱為函數z=/（x,y）在點（/，＞o）的全微

分，記作dz,即dz=A\x+B\y

如果函數在區域。內各點處都可微分，那末稱這函數在。內可微分.

在第二節中曾指出，多元函數在某點的各個偏導數即使都存在，卻不能保證函數在該點

連續.但是，由上述定義可知，如果函數z=/（x,y）在點10，比）可微分，那末函數在該點

必定連續.事實上，這時由（2）式可得

設函數Z=/（x,y）在點（X。，汽）的某一鄰域內有定義，并設（X。+&,%+△）’）為這鄰

域內的任意一點，則稱這兩點的函數值之差/（X。+八"，＞。+△）'）一/（X。，先）為函數在點

（Xo，X））對應于自變量增量Ar、△）'的全增量，即

&=/（/+Ax,y0+Ay）-/（x0,y0）

2.可微分的條件

定理（可微的必要條件）若函數z=/（x,y）在點（/，%）可微分，則該函數在點

次,

（X。，了。）的偏導數去、力必定存在，且函數z=/（x,y）在點（/，孔）的全微分為

dz運

dz=dxAx+力△）：

證設函數z=/*，y）在點a。，、。）可微分.于是，對于點a。，%）的某個鄰域的任意」

點（X。+&，%+△》），（2）式總成立.特別當勺"。時（2）式也應成立，這時夕

所以（2）式成為

f（x+Ax,y）-f（x,j）=A-Ax+o（|zlrI）.

上式兩邊各除以心,再令八丫~0而取極限，就得

f(x+^x,y)-f(x,y)

Alm0Ar=A,

dz.

從而偏導數Hx存在，且等于A.同樣可證力=8.所以（3）式成立.證畢.

我們知道，一元函數在某點的導數存在是微分存在的充分必要條件.但對于多元函數來

dz.

說，情形就不同了.當函數的各偏導數都存在時，雖然能形式地寫出獲Ar+力△）',但它

與4之差并不一定是較P高階的無窮小，因此它不一定是函數的全微分.換句話說，各偏導

數的存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件.例如，函數

z=/（x,y）=10,廠+）廣=0

在點（0,0）處有6（0,0）=0及亦（0,0）=0,所以

Ay

△z-[啟0,0）?Ar+亦（0,0）?Ay]=7（^）2+（AJ）2,

如果考慮點（%+必汽+山）沿著直線y=%趨于（°，°）,則

Ar.Ay

J（Ax『+（Ay）2AxAy1

2222

p=（Ar）+（A>-）=（Ax）+（Ar）=2,

它不能隨0而趨于0,這表示°忖，

Az-[A0,0）-Ax+/v（0,0）Ay]

并不是較P高階的無窮小，因此函數在點（°，°）處的全微分并不存在，即函數在點尸（°，。）處

是不可微分的.

由定理1及這個例子可知，偏導數存在是可微分的必要條件而不是充分條件.但是，如

果再假定函數的各個偏導數連續，則可以證明函數是可微分的，即有下面定理.

及.

定理（可微的充分條件）如果函數1=/（兀、）的偏導數溫、在點（％,打）連

續，則函數在該點可微分.

證因為我們只限于討論在某一區域內有定義的函數（對于偏導數也如此），所以假定

偏導數在點（X。，）'。）連續，就含有偏導數在該點的某一鄰域內必然存在的意思（以后凡說到

偏導數在某一點連續均應如此理解）.設點（“。+&：，凡+&'）為這鄰域內任意一點，考察函

數的全增量

&=/(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)

="(x+Ax,y+Ay)-f(x,y+Ay)]+[f(x,y+Ay)-/(x,y)]

在第一個方括號內的表達式，由于>+與不變，因而可以看作是》的一元函數

/(x,y+Ay)的增量于是，應用拉格郎日中值定理，得到

Az=f(x+y+Ay)-f(x,y+

=fx{x+Ax,y+Ay)(0<6<1)

又假設，亦(%y)在點尸。,》)連續，所以上式可寫為

/(x+Ar,y+Ay)-f(x,y+Ay)

J(x,y)Ax+￡&,(4)

其中8為?、的函數，且當加-?0,Ayio時，

同理可證第二個方括號內的表達式可寫為

/(x,y+Ay)-f(x,y)=fy(x,y)Ay+￡2邱，(5)

其中心為△)'的函數，且當△)'一°時，￡270.

由(4)、(5)式可見，在偏導數連續的假定下，全增量可以表示為

△z=亦(x,y)Ax+fy(x,y)Ay+&Ax+￡2Ay.(6)

容易看出

與Ax+JAy

|P曰曰1+|￡2|,

它是隨著以f°，△)'70即夕10而趨于零.

這就證明了％=/(%y)在點P*,y)是可微分的.

以上關于二元函數全微分的定義及微分的必要條件和充分條件，可以完全類似的推廣

到三元和三元以上的多元函數.

習慣上，我們將自變量的增量以、△)'分別記作dx、dy,并分別稱為自變量X、y的

微分.這樣，函數z=/(x,y)的全微分就可以寫為

dz.

dz=dxdx+dydy⑺

22

例8-15計算函數Z=x+尸的全微分.

次運

解因為Hx=2q，dy=/+2y,

所以dz=2xydx+(x+2y)dy.

例8-16計算函數Z=在點(2,1)處的全微分.

dz.

xy

解因為dx=ye,?=xexy

dz.

Hx|x=2=e~,力卜=2=2e),

所以改=%%x+2e2d)尸

u=x+sin』+e"

例8-17計算函數2的全微分.

3M加1y加

解因為*=1,力=22+ze>z,

1y

所以du=dx+(22'dz.

小結：本節討論了多元函數(以二元函數為重點)全微分的定義及存在條件和

求法

第四節多元復合函數求導法則

教學目的：掌握多元函數的求導法則，會求多元函數的導數，掌握全微分形式不

變性

教學重點：針對多元函數的表達狀態(參數方程、復合函數)，能夠求其導函數.

教學難點：抽象復合函數的求導

教學內容：

多元復合函數與隱函數的求導是多元函數微分學中的一個重要內容.本屆就是要把一元函

數微分學中的求導法則推廣到多元函數中去.

1、復合函數的中間變量均為一元函數的情形

定理如果函數〃=帆)及v=叭t)都在點，可導，函數Z=/("#)在對應點("#)具有連

續偏導數，則復合函數z=/SQ)，"(f)］在點f可導，且其導數可用下列公式計算：

dzdzdudzdv

dt=dudt+3vdt.(1)

證設f獲得增量這時"=°(。、P=+")的對應增量為△”、△口,由此，函數

z=/("#)對應地獲得增量Az.根據假定，函數z=/("#)在點(“#)具有連續偏導數，

于是由第三節公式(6)有

dzdz

Az=duA〃+dv△u+與△〃+△〃+￡24匕

這里，當A〃一＞0,Au—＞0時，與一＞0,J-。,

將上式兩邊各除以得

M3z△〃及AvAv

Az=加Ar+dvAr+e\Ar+與A,.

AwduAvdv

因為當△/一＞0時，△〃-()，Av-^O,AtT出，X—dt,所以

「AzHzdudzdv

11m---------------

ATOAf=oudt+dvdt

這就證明了復合函數z=/S(f)，U(。]在點f可導，且其導數可用公式⑴計算.證畢.

用同樣的方法，可把定理推廣到復合函數的中間變量多于兩個的情形.例如，設

z=/("#,w),“=。。)、V="(f),w=0(r)復合而得復合函數

則在與定理相類似的條件下，這復合函數在點f可導，且其導數可用下列公式計算

dzdzdudzdvdzdd_

dt=dudt+dvdt+Gsdt.⑵

dz

在公式⑴及(2)中的導數帚稱為全導數.

2.中間變量不是一元函數而是多元函數的情形

上述定理還可推廣到中間變量不是?元函數而是多元函數的情形.

定理設z=/("，y),"=o(x，y),u=-(x，y)復合而得復合函數

z=f[(/＞(x,y),^(x,y)],(3)

如果"=0(x,y)及v=叭x,y)都在點(x,y)具有對x及對y的偏導數，函數z=/("，v)在

對應點("#)具有連續偏導數，則復合函數G)在點a，y)的兩個偏導數存在，且可用下列

公式計算：

HzHz加Hzdv

dx=dudx+dvdx9(4)

dz女電Hz如

力=協辦+加力.（5）

3z

事實上，這里求ax時，將y看作常量，因此中間變量〃及丫仍可看作一元函數而應用

上述定理.但由于復合函數（3）以及"=O（x，y）和v=-（x,y）都X、y是的二元函數，所

以應把⑴式中的d改為。，在把f換成X,這樣便由⑴得到（4）式.同理由⑴式可得到（5）

式.

類似地，設〃=。（羽y）、V=叭x,y）及w=o（x,y）都在點（x,y）具有對x及對V的偏

導數，函數z=/（"#，卬）在對應點（〃/，卬）具有連續偏導數，則復合函數

z=/S（x,y）,-（x,y）,a（x,y）],

在點（匕田的兩個偏導數都存在，且可用下列公式計算：

dzdzdudzdvdzdw

dx=Oudx+dvdx+dwdx,（6）

Hz次加次加dz川

力=du6+3v力+Hw辦.⑺

如果z=/（〃/,w）具有連續偏導數，而〃=O（x,y）具有偏導數，則復合函數

z=/S（x,y）,x,y],（8）

可看作上述情形中當y=x,卬二了的特殊情形，因此

5=avv

a^r=0,

37加

￥

=0ay=1,

從而復合函數3）具有對自變量x及y的偏導數，且由公式（6）及（7）得