第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年浙江省杭州市仁和實驗學校高一（上）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合M={x|x2?4x+3>0}，N={y|y=x2A.(?∞,1)∪(3,+∞) B.[?4,1)

C.[?4,1)∪(3,+∞) D.R2.函數f(x)=4?x2A.[?2,2] B.(?∞,?1)∪(?1,2]

C.[?2,?1)∪(?1,2] D.(?2,2)3.已知p：θ為銳角，q：θ為第一象限角，則p是q的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.若xlog34=1，則4A.1 B.2 C.83 D.5.已知sin(π3?x)=13，且A.13 B.223 C.6.計算：1+tan5π12A.33 B.?33 7.函數f(x)=[x]的函數值表示不超過x的最大整數，例如，[?3.5]=?4，[2.1]=2，則方程[x]?sinx=0的零點個數為(

)A.0 B.1 C.2 D.38.已知奇函數f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的圖象關于直線x=π3對稱，且在區間[0,π6A.23 B.34 C.32二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=|sinx|，則(

)A.f(x)的最小正周期為2π B.f(x)的最小正周期為π

C.f(x)在區間[π,3π2]上單調遞增 10.已知a>0，b>0，且a+b=4，則下列結論正確的是(

)A.ab≤4 B.1a+1b≥1 11.已知函數f(x)=x2+2x?3,x≤0?2+lnx,x>0，若方程f(x)=kA.當k>0或k<?4時，方程f(x)=k有1個解

B.當k<?4時，方程f(x)=k有1個解

C.當k=?4或k>?3時，方程f(x)=k有2個解

D.當?4<k≤?3時，方程f(x)=k有3個解三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知點P(cos2π3,1)是角α的終邊上一點，則cosα=13.已知函數f(x)=(a?22x+1)(1?cos2x)為奇函數，則14.如圖，在扇形OPQ中，半徑OP=1，圓心角∠POQ=π3，C為扇形弧上的動點，矩形ABCD內接于扇形，則矩形ABCD的面積的最大值為______．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

求值：

(1)823+(1616.(本小題12分)

已知α，β為銳角，sin(α+β)=12,sinαcosβ=512．

(1)求證：17.(本小題12分)

已知函數f(x)=sin(2π?x)?sin(3π2?x)?3cos2x+318.(本小題12分)

已知函數f(x)=log21+axx?1(a為常數)是奇函數．

(1)求a的值與函數f(x)的定義域．

(2)若對任意的x∈[53,3]時，都有19.(本小題12分)

對于定義在區間D上的函數y=f(x)，若存在x0∈D，對任意的x∈D，都有f(x)≥f(x0)，則稱函數f(x)在區間D上有“下界”，把f(x0)稱為函數f(x)在D上的“下界”．

(1)分別判斷下列函數是否有“下界”？如果有，寫出“下界”，否則請說明理由；

y=1?2x(x>0)；y=x+16x(0<x≤5)．參考答案1.C

2.C

3.A

4.D

5.B

6.D

7.C

8.C

9.BC

10.BD

11.BCD

12.?13.1

14.315.解：(1)原式=23×23+(23)4×(?34)+1=4+278+1=678；

(2)原式=log3182+lg2lg3×lg32lg2+log33=2+12+1=72．

16.解：(1)證明：因為α，β為銳角，且sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12，

又sinαcosβ=512，

所以cosαsinβ=12?512=112，

所以sinαcosβ=5cosαsinβ，即sinαcosα=5sinβcosβ，

即tanα=5tanβ(證畢)；18.解：(1)因為f(x)是奇函數，

故f(?x)+f(x)=log21?ax?x?1+log21+axx?1=log21?a2x21?x2=0，

即1?a2x2=1?x2，即x2(a2?1)=0，因x不恒為0，故a=±1，

當a=?1時，因1?xx?1=?1<0，函數沒有意義；

當a=1時，f(x)=log21+xx?1，由1+xx?1>0，可得(x+1)(x?1)>0，

即函數的定義域為：(?∞,?1)∪(1,+∞)，

又f(?x)+f(x)=log21?x?x?1+log21+xx?1=log21?x21?x2=log21=0，故f(x)是奇函數，滿足題意．

綜上，a=1，函數f(x)的定義域為(?∞,?1)∪(1,+∞)．

(2)由(1)得f(x)=log21+xx?1=log2(1+2x?1)，

因x∈[53,3]，函數t=1+2x?1在[53,3]上為減函數，故得2≤t