期中易錯題壓軸題專項復習【28大題型】（考試范圍：第1~3章）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【易錯篇】 2【考點1等腰三角形】 2【考點2等邊三角形】 3【考點3含30度角的直角三角形】 4【考點4直角三角形全等的判定與性質】 5【考點5勾股定理與網(wǎng)格】 6【考點6利用勾股定理求值】 8【考點7趙爽弦圖】 9【考點8勾股定理逆定理的應用】 11【考點9勾股定理的應用】 12【考點10線段的垂直平分線】 13【考點11角平分線】 14【考點12一元一次不等式】 15【考點13一元一次不等式組】 16【考點14圖形的平移】 16【考點15圖形的旋轉】 18【考點16中心對稱】 19【壓軸篇】 20【考點17等腰三角形與圖形變換】 20【考點18等腰三角形中的動態(tài)變化】 22【考點19等腰三角形中的存在性問題】 24【考點20等腰三角形中的最值問題】 25【考點21圖形上與已知兩點構成直角三角形的點】 27【考點22利用勾股定理構造圖形解決問題】 28【考點23求立體圖形的最短路徑問題】 29【考點24不等式(組)的整數(shù)解問題】 31【考點25不等式組的有解或無解問題】 31【考點26利用不等式的基本性質求最值】 31【考點27方程與不等式（組）的實際應用】 32【考點28利用圖形的變換設計圖案】 33【易錯篇】【考點1等腰三角形】【例1】（24-25八年級·河南新鄉(xiāng)·期中）如圖，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC；D是BC邊的中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，以下四個結論：①ED=FD；②△DEF是等邊三角形；③△AEF是等腰三角形；④連接AD，AD垂直平分EF．其中正確的結論有(

)A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式1-1】（24-25八年級·吉林松原·期末）如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為D，交AC于點E，若∠A=∠ABE，BD=1，BC=3，則AC的長為．【變式1-2】（24-25八年級·海南省直轄縣級單位·期末）如圖，在△ABC中，AD，AF分別是△ABC的中線和高，BE是△ABD的角平分線．(1)若∠BED=60°，∠BAD=40°，求(2)若△ABC面積為40，AD=5，求AF的長．【變式1-3】（24-25八年級·河北石家莊·期末）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，A?3,0，∠OBC=60°，BC與y軸正半軸交于點C，且BC=4(1)B點的坐標是__________；(2)如圖2，點P從點A出發(fā)，沿射線AB方向運動，同時點Q在邊BC上從點B向點C運動，在運動過程中：①若點P的速度為每秒2個單位長度，點Q的速度為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，當△PQB是直角三角形時，求t的值；②若點P、Q的運動路程分別是a，b，當△PQB是等腰三角形時，求出a與b滿足的數(shù)量關系．【考點2等邊三角形】【例2】（24-25八年級·山西大同·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=12，BC=DC，∠A=60°，點E在AD上，連接BD，CE相交于點F，CE∥AB．若CE=8，則CF的長為（

A．6 B．5 C．4 D．3【變式2-1】（24-25八年級·浙江臺州·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，將△CAB繞點C按逆時針方向旋轉得到△CDE，點D恰好在AB邊上，連接BE【變式2-2】（24-25八年級·山西大同·期末）已知等邊三角形ABC，D，E分別為邊AB,BC的中點，連接DE；G為射線EB上的一個動點，以DG為邊，并在其左側作等邊三角形DHG，連接BH．(1)如圖1，若AB=4，DG⊥BC，HG與BD相交于點O，則DO=，∠HBG=°．(2)如圖2，當點G在EB的延長線上時，①HB與GE有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論．②請計算∠HBC的度數(shù)．【變式2-3】（24-25八年級·安徽合肥·期末）點E為等邊三角形ABC內(nèi)一點，分別以AE、BE為邊作等邊三角形AEF、BDE．如圖，DE與AB交于點H,DF與AB交于點G．則下列結論不一定成立的是（）A．DF=BC B．DFC．EG⊥AD D．∠ADE=∠ECF【考點3含30度角的直角三角形】【例3】（24-25八年級·湖北武漢·期末）如圖，點E在等邊△ABC的邊BC上，BE=3，射線CD⊥BC，垂足為C，點P是射線CD上一動點，點F是線段AB上一動點，當EP+FP的值最小時，BF=5，則AB的長為（

）A．6.5 B．7 C．8 D．9【變式3-1】（24-25八年級·浙江臺州·期末）如圖，在等邊三角形ABC中，BC=8，點D是AB的中點，過點D作DF⊥AC于點F，過點F作EF⊥BC于點E，則BE的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式3-2】圖①是一種矩形時鐘，圖②是時鐘示意圖，時鐘數(shù)字2的刻度在矩形ABCD的對角線BD上，若測量得時鐘的長BC為48cm，則時鐘的另一邊AB的長為【變式3-3】（24-25八年級·浙江杭州·期末）在△ABC中，已知點D在BC上，且CD=CA，點E在CB的延長線上，且BE=BA．(1)如圖①，若∠BAC=120°，AB=AC，求∠DAE的度數(shù)；(2)試探求∠DAE與∠BAC的數(shù)量關系；(3)如圖②，若AB平分∠DAE，AC⊥CD于點C，求證：BE=2CD．【考點4直角三角形全等的判定與性質】【例4】（24-25八年級·湖北武漢·期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠B=90°，BE=AD=4，∠BCD的平分線交AB于點E，若BC與CD的差為1，則AE的長為（）A．1 B．12 C．23 【變式4-1】（24-25八年級·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，線段PQ=AB，P，Q兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AO上運動，點P從點A運動到點C，點P的運動速度為每秒鐘2cm，當運動時間為秒時，【變式4-2】（24-25八年級·山東聊城·期末）在△ABC中，P，F(xiàn)分別是邊AB，BC邊上的點，作PD⊥AC于點D，PE⊥BC于點E，連接PF，若PD=PE，PF=FC．(1)求證：CE=CD；(2)若AC=BC，△ABC的面積為6，求△PFC的面積．【變式4-3】（24-25八年級·甘肅平?jīng)觥て谀┤鐖D，已知△ABC中BC邊上的垂直平分線DE與∠BAC的平分線交于點E，EF⊥AB交AB的延長線于點F，EG⊥AC交于點G．(1)求證：BF=CG．(2)求證：AG=1【考點5勾股定理與網(wǎng)格】【例5】（24-25八年級·江蘇淮安·期末）某班學生在勞動實踐基地用一塊正方形試驗田種植蘋果樹，同學們將試驗田分成7×7的正方形網(wǎng)格田，每個小正方形網(wǎng)格田的邊長為1米，如圖所示，為了布局美觀及蘋果樹的健康成長，同學們要把蘋果樹種植在格點處（每個小正方形的頂點叫格點），且每兩棵蘋果樹之間的距離都要大于2米，則這塊試驗田最多可種植棵蘋果樹．【變式5-1】（24-25八年級·山西臨汾·期末）如圖，在6×6的網(wǎng)格圖中，每個小方格的邊長為1，請在給定的網(wǎng)格中按下列要求畫出圖形．(1)畫一個三邊長分別為4，5，13的三角形；(2)畫一個腰長為10的等腰直角三角形．【變式5-2】（24-25八年級·河南駐馬店·期末）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，若△ABC和△BCD的頂點都在小正方形網(wǎng)格的格點上，則∠ACB+∠DBC=（

）A．45° B．75° C．120° D．135°【變式5-3】（24-25八年級·安徽安慶·期末）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，△ABC的頂點A，B，C均在格點上．若AD⊥BC于點D，則線段AD的長為【考點6利用勾股定理求值】【例6】（24-25八年級·浙江紹興·期末）如圖，在長方形ABCD中，AB=3，BC=4，將△ABC沿AC折疊，點B落在B′處，AD與B′C交于E，則CEA．134 B．72 C．258【變式6-1】（24-25八年級·江蘇蘇州·期末）勾股定理是數(shù)學史上的一顆玻璃珠．被譽為清代“歷算第一名家”的名數(shù)學家梅文鼎先生（圖①）在《梅氏叢書輯要》（由其孫子梅瑴成編纂）的“勾股舉隅”卷中給出了多種勾股定理的證法．其中一種是在圖②的基礎上，運用“出入相補”原理完成的．在△ABC中，∠ACB=90°，四邊形ABDE，ACFG，BCHI均為正方形，HI與AE相交于點J，可以證明點D在直線HI上．若△AHJ，△DEJ的面積分別為2和6，則直角邊AC的長為（

）A．2 B．3 C．5 D．2【變式6-2】（24-25八年級·陜西西安·期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC,BD交于點O．若AD=1,BC=4，則AB2

【變式6-3】（24-25八年級·四川達州·期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足為E，AE=CE，連接AC，若DE=5(1)AC的長；(2)四邊形ABCD的面積．【考點7趙爽弦圖】【例7】（24-25八年級·江蘇宿遷·期末）綜合實踐我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”．他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)恒等式，嚴密又直觀，為中國古代“形數(shù)統(tǒng)一”、代數(shù)和幾何緊密結合的獨特風格樹立了一個典范．在一節(jié)八上數(shù)學復習課上，老師為了弘揚中國的數(shù)學文化，和同學們開啟對“趙爽弦圖”的深度研究．(1)類比“弦圖”，證明定理小明同學利用四張全等的直角三角形紙片（如圖1），證明勾股定理．因為大正方形的面積可以看成4個直角三角形與1個邊長為b?a的小正方形組成，即面積表示為：4×12ab+善于思考的小亮同學把一個直立的火柴盒放倒（如圖2），聰明的他發(fā)現(xiàn)用不同的方法計算梯形ABCD的面積，也可證明勾股定理，請你和他一起證明．(2)利用“弦圖”，割拼圖形如圖3，老師給出由5個小正方形組成的十字形紙板，讓同學們嘗試剪開，使得剪成的若干塊能夠拼成一個無縫的大正方形，可以怎么剪？請你畫出示意圖．(3)構造“弦圖”，應用計算如圖4，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，點D是BC中點，過點C作CE⊥AD，垂足為點F，交AB于點E，若BE=3，求AB的長．【變式7-1】（24-25八年級·江蘇南京·期末）如圖是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個大正方形ABCD．連接AQ、BP、CN、DM．若正方形ABCD的面積為2a，陰影部分的面積為2b．則AN的長度為（

）A．a(chǎn)+b B．a(chǎn)2+b2 C．【變式7-2】（24-25八年級·四川成都·期末）如圖1，將四個全等的直角三角形拼成了一個四邊形ABEC，然后將前面四個全等的直角三角形拼成了一個大的正方形如圖2，該正方形的面積為5；再將其四個全等的直角三角形拼成了圖3形狀，圖3的外輪廓周長為4+45，則圖1中的點C到AB的距離為【變式7-3】（24-25八年級·浙江金華·期末）圖1是由5個全等的直角三角形與一個小正方形組成，延長DK交AB、AC分別于點M、N，延長EH交BD于點P（如圖2）．（1）若Rt△ABF的面積為5，小正方形FGHK的面積為9，則AB＝（2）如圖2，若S四邊形AEHNS四邊形BMHP=k，則【考點8勾股定理逆定理的應用】【例8】（24-25八年級·黑龍江雙鴨山·期末）兩艘輪船從同一港口同時出發(fā)，甲船時速40海里，乙船時速30海里，兩個小時后，兩船相距100海里，已知甲船的航向為北偏東46°，則乙船的航向為（

）A．南偏東44° B．北偏西44° C．南偏東44°或北偏西44° D．無法確定【變式8-1】（24-25八年級·黑龍江大慶·期末）筆直的河流一側有一旅游地C，河邊有兩個漂流點A，B．其中AB=AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊新建一個漂流點H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路CH，測得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．則原路線AC＝【變式8-2】（24-25八年級·遼寧鞍山·期末）如圖，學校在校園圍墻邊緣開墾一塊四邊形菜地ABCD，測得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且

A．48m2 B．114m2 C．【變式8-3】（24-25八年級·吉林四平·期末）如圖①是超市的兒童玩具購物車，圖②為其側面簡化示意圖．測得支架AC=24cm，CB=18cm，兩輪中心的距離(1)連接AB，則△ABC是__________三角形，請寫出推理過程．(2)點C到AB的距離是__________cm．【考點9勾股定理的應用】【例9】（24-25八年級·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰擴灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之稱．現(xiàn)為擴建開挖某段干渠，如圖，欲從干渠某處A向C地、D地、B地分流（點C，D，B位于同一條直線上），修三條筆直的支渠AC，AD，AB，且AC⊥BC；再從D地修了一條筆直的水渠DH與支渠AB在點H處連接，且水渠DH和支渠AB互相垂直，已知AC=6km，AB=10km，(1)求支渠AD的長度．（結果保留根號）(2)若修水渠DH每千米的費用是0.7萬元，那么修完水渠DH需要多少萬元？【變式9-1】（24-25八年級·福建福州·期中）《九章算術》中“勾股”一章有記載：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它的頂端恰好到達池邊的水面，求蘆葦?shù)拈L度．（1丈＝10尺）解決下列問題：（1）示意圖中，線段AF的長為尺，線段EF的長為尺；（2）求蘆葦?shù)拈L度．【變式9-2】（24-25八年級·安徽阜陽·期中）超速行駛是引發(fā)交通事故的原因之一．上周末，小聰?shù)热煌瑢W在某路段嘗試用自己所學的知識檢測車速，觀測點設在到公路l的距離為100m的點P處．這時，一輛轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得∠APO=60°，∠BPO=45°(1)求AB的距離，（3取1.73）(2)試判斷此車是否超過了80km/h【變式9-3】（24-25八年級·安徽安慶·單元測試）由于大風，山坡上的一棵樹甲被從點A處攔腰折斷，如圖所示，其樹恰好落在另一棵樹乙的根部C處，已知AB=4米，BC=13米，兩棵樹的株距（兩棵樹的水平距離）為12米，請你運用所學的知識求這棵樹原來的高度．【考點10線段的垂直平分線】【例10】（24-25八年級·福建廈門·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC為鈍角，CD為∠ACB的平分線．(1)尺規(guī)作圖：在CD上作點E，并連接AE，使得∠AED=∠ACB（要求：不與作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，在BC邊上有一點F（不與點B，C重合），連接AF，∠EAF=12∠ACB，求證：EF【變式10-1】如圖，在△ABC中，AB=AC．作△BCE，點A在△BCE內(nèi)，點D在BE上，AD⊥BE．若D為BE的中點，且∠EBA+∠ECA=α，則∠BAC=（用含α的代數(shù)式表示）．【變式10-2】（24-25八年級·福建莆田·期中）已知：如圖，AB=AC，∠ABD=∠ACD．求證：AD⊥BC．【變式10-3】（24-25八年級·山東聊城·期末）在△ABC中，DE垂直平分AC，連接CE，CE平分∠ACB．(1)若∠CEB=46°，求∠B的度數(shù)．(2)若BC=4，△ABC的周長比△EBC的周長多8，△EBC的面積為6，則三角形AEC的面積為多少？【考點11角平分線】【例11】（24-25八年級·湖北荊州·期中）如圖，在△ABC中，∠CAE，∠ACD是△ABC的外角．

(1)求證：∠ACD=∠BAC+∠ABC．(2)利用尺規(guī)作圖分別做出∠ACD，∠ABC的角平分線（不寫做法保留作圖痕跡），兩條角平分線相交于點F．若∠BAC=62°，求∠BFC的度數(shù)．(3)連接AF，求證：AF平分∠CAE．【變式11-1】（24-25八年級·湖北荊州·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以點A為圓心，任意長度為半徑畫弧，交AB，AC于點D，E，再分別以點D,E為圓心．大于12DE為半徑畫?。畠苫≡凇螧AC內(nèi)交于點F，作射線AF交邊BC于點G，若CG=3，AB=10，則△ABGA．13 B．15 C．26 D．30【變式11-2】（24-25八年級·山東濟寧·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC于點H，點D在AH上，且BD=BC，將△ABD沿BD折疊得到△A′BD，A′B(1)求證：DE平分∠AEB；(2)求∠BEC的度數(shù)．【變式11-3】（24-25八年級·河北保定·期中）如圖，在△ABC中，∠CAB=50°，點D在△ABC的外部，且AD平分∠BAC，過點D作DE⊥AC，交AC的延長線于點E，DF⊥BC，交BC于點F，連接BD．若∠BCE=104°，DE=DF，則∠DBC的度數(shù)為．【考點12一元一次不等式】【例12】關于x的不等式x+14?1>4x?a6的解集都是不等式x4【變式12-1】若k?(k+2)x|k|?1>0是關于xA．x<2 B．x>?2 C．x>?12 【變式12-2】已知關于x的方程4(x?2)=2(x?m)+4的解為負數(shù)，則m的取值范圍是（

）A．m<6 B．m>6 C．m<?6 D．m>?6【變式12-3】（24-25八年級·山東聊城·期中）若關于x的一元一次不等式x?a2+1>x+a的解集中每一個x的值都能使不等式1?2x2?1?5xA．a(chǎn)≤43 B．a(chǎn)≥43 C．【考點13一元一次不等式組】【例13】（24-25八年級·四川眉山·期末）若不等式組x+m>2n?x>?4的解集為1<x<2，則m+n2025的值為（A．－1 B．0 C．1 D．2【變式13-1】（24-25八年級·廣西貴港·期末）對一個實數(shù)x按如圖所示的程序進行操作，計算機運行從“輸入一個實數(shù)x”到“判斷結果是否大于190？”為一次操作，如果操作恰好進行兩次操作才停止，那么x的取值范圍是（）A．8<x≤22 B．22<x≤64 C．22<x≤62 D．8<x≤20【變式13-2】（24-25八年級·山東聊城·期中）若關于x的一元一次不等式組2x?1>3x?2x<m的解集是x<5，則m的取值范圍是（A．m≥5 B．m>5 C．m≤5 D．m<5【變式13-3】（24-25八年級·浙江紹興·期末）關于x的不等式組2a?x>32x+8>4a的解集中每一個值均不在?1≤x≤5的范圍中，則a的取值范圍是（

A．a(chǎn)<1或a>4.5 B．a(chǎn)≤1或a≥4.5C．a(chǎn)>4或a<1.5 D．a(chǎn)≥4或a≤1.5【考點14圖形的平移】【例14】（24-25八年級·浙江紹興·期末）點P?3,2關于x軸對稱后再向右平移m個單位，其對應點落在y軸上，則m=【變式14-1】（24-25八年級·黑龍江哈爾濱·期末）本屆亞冬會的吉祥物是一對可愛的東北虎“濱濱”和“妮妮”．“濱濱”和“妮妮”的原型是2023年9月出生于黑龍江東北虎林園的兩只可愛的小東北虎，“濱濱”名字取自“哈爾濱”，“妮妮”取自“您”的讀音，兩個名字寓意“哈爾濱歡迎您”．如圖，通過平移吉祥物，可以得到的圖形是（

）．A． B．C． D．【變式14-2】（24-25八年級·山東煙臺·期末）如圖，已知在△ABC中，BC=6cm，把△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF(1)圖中與∠A相等的角有個，分別是_______________；(2)圖中的平行線共有組，分別是是_______________；(3)直接寫出BE：【變式14-3】（24-25八年級·浙江寧波·期末）如圖，已知△ABC和△DEF,B,E,C,F四點在同一條直線上，AB=AC=DE=DF,AC⊥DE，且BC=6,EF=8，現(xiàn)將△DEF沿直線CB方向左右平移，則平移過程中AE+DA的最小值為（

）A．42 B．34 C．6 D．【考點15圖形的旋轉】【例15】（24-25八年級·江蘇泰州·期末）如圖，已知點A?3,4，將線段OA繞點A逆時針旋轉90°至AA′，則A【變式15-1】（24-25八年級·山東煙臺·期末）如圖，△ABC繞著點O逆時針旋轉到△DEF的位置，則旋轉中心及旋轉角分別是（

）A．點O，∠AOD B．點O，∠AOB C．點O，∠BOC D．點B，∠ABO【變式15-2】（24-25八年級·湖北孝感·期末）如圖，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AB=4，BC=9，將△BAC繞點A順時針旋轉得到△B1AC1，取AB的中點D，B1C1的中點E【變式15-3】（24-25八年級·黑龍江雞西·期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，△AP1B是等腰直角三角形，點A0,0．B2,0，且∠P1=90°．把△AP1B繞點B順時針旋轉180°，得到△BP2【考點16中心對稱】【例16】（24-25八年級·河北邯鄲·期末）已知點A(a,b)與點B(?3,4)是關于原點O的對稱點，則AB長為．【變式16-1】（24-25八年級·山東濟寧·期末）中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋．用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術．下列剪紙圖案中是中心對稱圖形的是（

）A． B．C． D．【變式16-2】（24-25八年級·青海海東·期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC各頂點坐標分別為A1,4，B?1,3，(1)在圖中作出△ABC關于原點對稱的△A1B(2)計算關于原點對稱的A點和A1【變式16-3】（2024八年級·甘肅蘭州·專題練習）如圖所示是一個坐標方格盤，你可操縱一只遙控機器蛙在方格盤上進行跳步游戲，機器蛙每次跳步只能按如下兩種方式（第一種：向上、下、左、右可任意跳動1格或3格；第二種跳到關于原點的對稱點上）中的一種進行．若機器蛙在點A?5,4，現(xiàn)欲操縱它跳到點B2,?3，請問機器蛙至少要跳【壓軸篇】【考點17等腰三角形與圖形變換】【例17】（24-25八年級·浙江寧波·期末）如圖，已知△ABC和△DEF,B,E,C,F四點在同一條直線上，AB=AC=DE=DF,AC⊥DE，且BC=6,EF=8，現(xiàn)將△DEF沿直線CB方向左右平移，則平移過程中AE+DA的最小值為（

）A．42 B．34 C．6 D．【變式17-1】（24-25八年級·四川自貢·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B=45°，AB=AC，D為BC的中點，直角∠MDN繞點D旋轉，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點，連接AD、EF．有下列結論：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF；⑤SA．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④⑤【變式17-2】（24-25八年級·江蘇常州·期中）如圖，△ABC為等邊三角形，且AB=BC=AC=8，點D是邊AB上一動點，點E為AC邊上一動點，若△ADE沿著直線DE翻折后，點A始終落在邊BC上．若AD=a，則滿足條件的a的取值范圍是（

）

A．83?12≤a<8 C．163?24≤a<8 【變式17-3】（24-25八年級·廣東深圳·期末）初二年級學生以“圖形的旋轉”為主題開展數(shù)學探究．【操作探究】（1）△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AD=2，AB=6．①如圖1，當點D是AB上一點時，DE=；②如圖2，當點D在BA延長線上時，求DE的長；【遷移探究】（2）如圖3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6，過點C作直線l∥AB，點M為直線AC上一動點，點N為直線l上一動點，∠MBN=45°，點M、N都不與點C重合．當△BCN為等腰三角形時，直接寫出【考點18等腰三角形中的動態(tài)變化】【例18】（24-25八年級·重慶沙坪壩·期末）在等邊三角形ABC中，AB=3AD=30cm，點E在邊BC上以3cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點F在邊CA上由點C向點A運動，連接DE、EF，當點E停止運動時，點F隨即停止運動．若要在某一時刻使得△BDE與

A．3cm/sC．3cm/s或4cm/【變式18-1】（23-24八年級·江西上饒·期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=4，BC=9，CD=5，AD=6，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BC?CD?DA向終點A運動，設點P的運動時間為【變式18-2】（24-25八年級·湖北武漢·期末）在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點Aa,0,Bb,0，且滿足|a+2|+b?22(1)直接寫出A，B兩點的坐標：A，B；(2)如圖1，當△ABC為等邊三角形時，OC=23，點P為線段OC上的一個動點，以BP為邊作等邊△BPQ，在點P從點C到點O的運動過程中，求點Q(3)如圖2點D為△ABC內(nèi)一點，連接DA，DC，DB，當∠ACB=80°，∠DAB=10°，∠DBC=20°時，求∠ADC的度數(shù)．【變式18-3】（24-25八年級·四川成都·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，點D為線段AB上的點，連接CD，在CD右側作等邊△CDE，連接BE(1)當∠ACD=60°時，求證：BD=BE；(2)當CD平分∠ACB時，求BDBE(3)當點D在線段AB上運動時，試探究線段BC，BD，BE的數(shù)量關系．【考點19等腰三角形中的存在性問題】【例19】（2021·浙江金華·一模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，點D為AB的中點，一塊45°的三角板底角與點D重合，并繞點D旋轉，另外兩邊分別與AC和BC相交于點E，點F，在旋轉過程中，恰好存在DE=DF，此時，BF=2，則CF=．【變式19-1】（24-25八年級·江蘇揚州·期末）如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=α，點D是邊AC上一點（不與點A、C重合），連接BD，將△ABD沿BD翻折得△EBD，連接CE．(1)若α=120°，解決下列問題：①當點E落在邊BC上時，DE與CD的位置關系是__________；②當BD∥CE時，請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點(2)如圖2，①當點E落在邊BC上，且△CDE為等腰三角形時，求α的值；②當點D在邊AC上運動時，存在點E落在邊AC上，則α的取值范圍是__________．【變式19-2】（24-25八年級·江蘇·期末）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，A6,5，點D為AB上一點，過點D作DE⊥BC于點E，點P為x軸上一動點，點P關于DE的對稱點為點Q，連接DP、DQ、AQ(1)點B的坐標為；(2)若點P的坐標為?2,0，延長PD交AQ于點F．當PF⊥AQ時，求點D的坐標；(3)若點M為y軸上一動點，是否存在以A、P、M為頂點且以AP為斜邊的三角形為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式19-3】（24-25八年級·福建莆田·期末）如圖1，在△ABC和△A1B1C1中，AB=AC，A1B1=A(1)求證：∠B+∠B(2)如圖2，在四邊形ABCD中，AC，BD為對角線，∠ACB=90°，AC=BC，AB=BD．若∠CDB=30°，求證：△CBA和△BDA是“等腰相伴”三角形；(3)在△ABC中，AB=AC≠BC，∠A<120°，在平面內(nèi)是否存在點D（A，D兩點位于直線BC同側），使△ABC和△BCD是“等腰相伴”三角形，且點A和點B為對應頂點．若存在，請畫出圖形，并求∠ADB的度數(shù)；若不存在，請說明理由．【考點20等腰三角形中的最值問題】【例20】（20-21八年級·江蘇連云港·期末）如圖，∠MON=90°，已知△ABC中，AC=BC=10，AB=12，△ABC的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當點B在邊ON上運動時，點A隨之在邊OM上運動，△ABC的形狀保持不變，在運動過程中，點C到點O的最大距離為（

）A．12.5 B．13 C．14 D．15【變式20-1】（24-25八年級·安徽合肥·期末）如圖，點P為等邊△ABC外一點，且PA=5，PC=4．則PB的最大值為（

）A．6 B．8 C．9 D．10【變式20-2】（2022·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點P是AB邊上一動點，作PD⊥BC于點D，線段AD上存在一點Q，當QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時，則PD=．【變式20-3】（24-25八年級·陜西西安·期中）在平面直角坐標系xOy中，點A在y軸上，點B在x軸正半軸上，已知點A0,3，以AB為直角邊在AB左側作等腰直角△ABC，∠CAB=90°，當點B在x軸上運動時，連接OC，則AC+OC的最小值為【考點21圖形上與已知兩點構成直角三角形的點】【例21】（2024·福建·一模）點A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點．若△ABO是直角三角形，則m的值不可能是（

）A．4 B．2 C．1 D．0【變式21-1】（24-25八年級·吉林四平·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以3cm/s的速度移動，設運動的時間為t秒．(1)求BC邊的長；(2)當△ABP為直角三角形時，求t的值；(3)當△ABP為等腰三角形時，請直接寫出此時t的值．【變式21-2】（24-25八年級·安徽安慶·階段練習）點P在y軸上，A4,1、B1,4，如果△ABP是直角三角形，求點【變式21-3】（24-25八年級·四川·階段練習）如圖，在ΔABC中，AB=AC=20,BC=32，點D在線段BC上以每秒2個單位的速度從B向C移動，連接AD，當點D移動秒時，AD與ΔABC的邊垂直．【考點22利用勾股定理構造圖形解決問題】【例22】（24-25八年級·廣東江門·期末）【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者，向常春在1994年構造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．如圖．【小試牛刀】把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為a，b，c．顯然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．請用a，b，c分別表示出梯形ABCD，四邊形AECD，△EBC的面積，再探究這三個圖形面積之間的關系，可得到勾股定理：S梯形ABCD=__________，S【知識運用】如圖2，河道上A，B兩點（看作直線上的兩點）相距160米，C，D為兩個菜園（看作兩個點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A，B，AD=70米，BC=50米，現(xiàn)在菜農(nóng)要在AB上確定一個抽水點P，使得抽水點P到兩個菜園C，D的距離和最短，則該最短距離為__________米．【知識遷移】借助上面的思考過程，畫圖說明并求代數(shù)式x2+9+【變式22-1】（2024·貴州遵義·二模）已知a，b均為正數(shù)，且a2+b2，a2A．32ab B．a(chǎn)b C．12【變式22-2】（24-25八年級·山西晉中·期中）如圖（單位：cm），龍龍家購置了一臺圓形掃地機，計劃放置在屋子角落（衣柜、書柜與地面均無縫隙，衣柜不可移動）．若要這臺掃地機能從角落自由進出，則需拖動書柜，使圖中的x至少為．（結果保留根號）【變式22-3】（24-25八年級·河南鄭州·期末）2024年12月4日，我國傳統(tǒng)節(jié)日春節(jié)申遺成功．為慶祝這一喜訊，鄭州市新湖社區(qū)舉辦了名為“鄭好遇見，大美非遺”的創(chuàng)意文化市集，諸多非遺有關文化項目集中亮相．圖圖和涵涵在市集上買了一個年畫風箏，在試飛風箏過程中，他們想利用數(shù)學知識測量風箏的垂直高度．以下是他們測量高度的過程：①先測得放飛點與風箏的水平距離BD的長為8米；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線AC的長為10米；③牽線放風箏的手離地面的距離AB為1.5米．已知A、(1)求風箏離地面的垂直高度CD；(2)在測高的過程中涵涵提出了一個新的問題：在手中剩余線僅剩7.5米的情況下，若想要風箏沿射線DC方向再上升9米，BD長度不變，能否成功呢？請你幫助解決涵涵提出的問題．【考點23求立體圖形的最短路徑問題】【例23】（24-25八年級·四川達州·期末）如圖，桌上有一個圓柱形盒子（盒子厚度忽略不計），高為10cm，底面周長為12cm，在盒子外壁離上沿2cm的點A處有一只螞蟻，此時，盒子內(nèi)壁離底部4cm的點B處有一滴蜂蜜，螞蟻沿盒子表面爬到點A．12cm B．23cm C．6【變式23-1】（24-25八年級·河南周口·期末）如圖①所示的正方體木塊的棱長為2cm，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②所示的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為（

A．2+1cm B．2+3cm 【變式23-2】（24-25八年級·河南南陽·期末）如圖，教室墻面ADEF與地面ABCD垂直，點P在墻面上，若PA=13米，AB=2米，點P到AF的距離是3米，一只螞蟻要從點P爬到點B，它的最短行程是（

A．5 B．18 C．13 D．3【變式23-3】（24-25八年級·陜西西安·期末）如圖，一只螞蟻從長為5cm、寬為3cm、高為10cm的長方體紙箱的A點沿紙箱表面爬到B點，那么它所爬行的最短路線的長是cm．【考點24不等式(組)的整數(shù)解問題】【例24】（22-23八年級·重慶北碚·期中）若關于x的不等式組?2x?2?x<2k?x2≥?12+x最多有2個整數(shù)解，且關于A．13 B．18 C．21 D．26【變式24-1】已知關于x的不等式組2x+m≤0x+4>0的所有整數(shù)解的和為－5，則m的取值范圍為【變式24-2】（20-21八年級·上海虹口·期中）已知關于x的不等式組x?a≥18?2x>0的整數(shù)解共有5個，且關于y的不等式ay?1≤?y的解集為y≥1a+1，則a【變式24-3】（23-24八年級·北京·期中）（1）關于x的不等式?2<x<3有個整數(shù)解；（2）若關于x的不等式組x?k<4k+2x<2x?3k（k為常數(shù)，且為整數(shù)）恰有5個整數(shù)解，則k的取值為（3）若關于x的不等式3k<x<a+3k（k和a為常數(shù)，且為整數(shù)）恰有6個整數(shù)解，則共有組滿足題意的k和【考點25不等式組的有解或無解問題】【例25】（2021·湖北襄陽·一模）已知不等式組3x+a<2x,?13x<5【變式25-1】若不等式組{x≥ax≤b無解，則不等式組{x>3?aA．x>3?a B．x<3?b C．3?a<x<3?b D．無解【變式25-2】關于x的方程k?2x=3(k?2)的解為非負數(shù)，且關于x的不等式組x?2(x?1)≤32k+x3≥x有解，則符合條件的整數(shù)k【變式25-3】從－2，－1,0,1,2，3，5這七個數(shù)中，隨機抽取一個數(shù)記為m，若數(shù)m使關于x的不等式組x>m+2?2x?1≥4m+1無解，且使關于x的一元一次方程（m－2）x＝3有整數(shù)解，那么這六個數(shù)所有滿足條件的m的個數(shù)有（

A．1 B．2 C．3 D．4【考點26利用不等式的基本性質求最值】【例26】（20-21八年級·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知非負數(shù)x，y，z滿足.3?x2=y+23=A．?2 B．?4 C．?6 D．?8【變式26-1】（23-24八年級·江蘇南通·期末）已知非負數(shù)a，b，c滿足條件3a+2b+c=4，2a+b+3c=5，設s=5a+4b+7c的最大值是m，最小值是n，則m+n的值為．【變式26-2】（20-21八年級·湖北黃石·期末）已知實數(shù)a，b，滿足1≤a+b≤4，0≤a?b≤1且a?2b有最大值，則8a+2021b的值是．【變式26-3】（23-24八年級·北京·期末）已知x1，x2，x3，x4，x5為正整數(shù)，且x1<【考點27方程與不等式（組）的實際應用】【例27】（22-23八年級·重慶九龍坡·階段練習）某家具店經(jīng)銷A、B兩種品牌的兒童床，已知A品牌兒童床的售價為4200元，利潤率為20%，B品牌兒童床的成本價為4200元，而每張B品牌兒童床的售價在成本的基礎上增長了1(1)該店銷售記錄顯示，四月份銷售A、B兩種兒童床共20張，且銷售A品牌兒童床的總利潤與B品牌兒童床總利潤相同，求該店四月份售出(2)根據(jù)市場調(diào)研，該店五月份計劃購進這兩種兒童床共30張，要求購進B品牌兒童床張數(shù)不低于A品牌兒童床張數(shù)的70%(3)在（2）的條件下，該店打算將五月份按計劃購進的30張兒童床全部售出后，所獲得利潤的10%【變式27-1】（23-24八年級·廣東韶關·期末）快遞公司為提高快遞分揀的速度，決定購買機器人來代替人工分揀．已知購買甲型機器人1臺，乙型機器人2臺，共需7萬元；購買甲型機器人2臺，乙型機器人3臺，共需12萬元．(1)甲，乙兩種型號機器人的單價各為多少萬元?(2)已知1臺甲型和1臺乙型機器人每小時分揀快遞的數(shù)量分別是1400件和1200件，該公司計劃最多用16萬元購買6臺這兩種型號的機器人，且至少購買甲型機器人3臺，請問有哪幾種購買方案?哪種方案能使每小時的分揀量最大?【變式27-2】某手機經(jīng)銷商計劃同時購進一批甲、乙兩種型號的手機，若購進2部甲型號手機和1部乙型號手機，共需要資金2800元；若購進3部甲型號手機和2部乙型號手機，共需要資金4600元．(1)求甲、乙型號手機每部進價為多少元？(2)該店計劃購進甲、乙兩種型號的手機銷售，預計用不多于1.8萬元且不少于1.74萬元的資金購進這兩種型號的手機共20臺，請問有幾種進貨方案？(3)售出一部甲種型號手機，利潤率為40%，乙型號手機的售價為1280元．為了促銷，公司決定每售出一臺乙型號手機，返還顧客現(xiàn)金m元，而甲型號手機售價不變，要使（2）中所有方案獲利相同，求m的值．【變式27-3】（23-24八年級·江蘇南通·期中）【綜合與實踐】根據(jù)以下信息1~3，探索完成設計購買方案的任務1~3．信息1：某校初一舉辦了科技比賽，學校為獲獎的40名同學每人購買一份獎品，獎品分為A，B，C三類．信息2：若購買2份A獎品和3份B獎品共需220元；購買3份A獎品和2份B獎品共需230元．單獨購買一份C獎品需要15元．信息3：計劃獲A獎品的人數(shù)要少于獲B獎品的人數(shù)．購買時有優(yōu)惠活動：每購買1份A獎品就贈送一份C獎品．任務1：求A獎品和B獎品的單價；任務2：若獲A獎品的人數(shù)等于獲C獎品的人數(shù)，且獲得A獎品的人數(shù)超過10人，求此次購買A獎品有幾種方案；任務3：若購買獎品的總預算不超過1150元，要讓獲A獎品的人數(shù)盡量多，請你直接寫出符合條件的購買方案．【考點28利用圖形的變換設計圖案】【例28】在數(shù)學活動課上，王老師要求學生將圖1所示的3×3正方形方格紙，剪掉其中兩個方格，使之成為軸對稱圖形．規(guī)定：凡通過旋轉能重合的圖形視為同一種圖形，如圖2的四幅圖就視為同一種設計方案（陰影部分為要剪掉部分）請在圖中畫出4種不同的設計方案，將每種方案中要剪掉的兩個方格涂黑（每個3×3的正方形方格畫一種，例圖除外）【變式28-1】（23-24八年級·北京·期中）如圖是在北京舉辦的世界數(shù)學家大會的會標“弦圖”．請將“弦圖”中的四個直角三角形通過你所學過的圖形變換，在以下方格紙中設計另外兩個不同的圖案．畫圖要求：①每個直角三角形的頂點均在方格紙的格點上，且四個三角形互不重疊；②所設計的圖案（不含方格紙）必須是中心對稱圖形或軸對稱圖形．【變式28-2】（22-23八年級·廣東河源·階段練習）亦姝家最近買了一種如圖（1）所示的瓷磚．請你用4塊如圖（1）所示的瓷磚拼鋪成一個正方形地板，使拼鋪的圖案成中心對稱圖形，請在圖（2）、圖（3）中各畫出一種拼法．（要求：①兩種拼法各不相同，②為節(jié)約答題時間，方便掃描試卷，所畫圖案陰影部分用黑色斜線表示即可，③弧線大致畫出即可）【變式28-3】（2023·吉林長春·模擬預測）有一種類似于七巧板的智力玩具，叫做“百變方塊”，共含有十四個圖形塊（如圖1所示），可以用它們拼出各式各樣的圖案，該游戲的規(guī)則是：每個圖形塊可以隨意平移、翻轉、旋轉使用，但必須全部都無縫隙、不重疊地恰好平放于所給6×6的正方形拼圖盒中．例如：圖2是用“百變方塊”拼成的一幅圖案，而圖4、圖5是兩幅未完成游戲的圖案，每幅圖案都缺少圖3所示的五個圖形塊，請你挑戰(zhàn)以下兩個關卡，將圖3中這五個圖形塊放入正方形拼圖盒中，以完成游戲，要求：模仿圖2在相應圖中的空白處畫出圖3中的五個圖形塊，補全圖形．(1)第一關：完成圖4中的圖案．(2)第二關：完成圖5中的圖案．

期中易錯題壓軸題專項復習【28大題型】（考試范圍：第1~3章）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【易錯篇】 2【考點1等腰三角形】 2【考點2等邊三角形】 7【考點3含30度角的直角三角形】 13【考點4直角三角形全等的判定與性質】 18【考點5勾股定理與網(wǎng)格】 23【考點6利用勾股定理求值】 26【考點7趙爽弦圖】 30【考點8勾股定理逆定理的應用】 37【考點9勾股定理的應用】 40【考點10線段的垂直平分線】 44【考點11角平分線】 48【考點12一元一次不等式】 54【考點13一元一次不等式組】 56【考點14圖形的平移】 58【考點15圖形的旋轉】 62【考點16中心對稱】 66【壓軸篇】 69【考點17等腰三角形與圖形變換】 69【考點18等腰三角形中的動態(tài)變化】 79【考點19等腰三角形中的存在性問題】 86【考點20等腰三角形中的最值問題】 98【考點21圖形上與已知兩點構成直角三角形的點】 104【考點22利用勾股定理構造圖形解決問題】 110【考點23求立體圖形的最短路徑問題】 116【考點24不等式(組)的整數(shù)解問題】 119【考點25不等式組的有解或無解問題】 122【考點26利用不等式的基本性質求最值】 125【考點27方程與不等式（組）的實際應用】 128【考點28利用圖形的變換設計圖案】 134【易錯篇】【考點1等腰三角形】【例1】（24-25八年級·河南新鄉(xiāng)·期中）如圖，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC；D是BC邊的中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，以下四個結論：①ED=FD；②△DEF是等邊三角形；③△AEF是等腰三角形；④連接AD，AD垂直平分EF．其中正確的結論有(

)A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，等邊三角形的判定，等腰三角形的性質與判定，利用AAS證明△BDE≌△CDF，進而解答判斷①由△BDE≌△CDF，進而得到DE=DF．求得∠B=∠C=30°，求出∠EDF=180°?∠BDE?∠CDF=60°．所以△DEF是等邊三角形，即可判斷②，進而根據(jù)全等三角形的性質可得AE=AF,BD=CD結合等腰三角形的性質，即可判斷③和④，即可求解．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠A=120°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=∠C=30°．∵D是BC邊的中點，∴BD=CD．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．在△BDE和△CDF中，∠BED=∠CFD∠B=∠C∴△BDE≌△CDFAAS∴DE=DF，故①正確∵∠BED=∠CFD=90°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BDE=∠CDF=90°?30°=60°．∴∠EDF=180°?∠BDE?∠CDF=60°．∴△DEF是等邊三角形．故②正確∵△BDE≌△CDF∴BE=CF又∵AB=AC∴AE=AF，故③正確，連接AD，∵△BDE≌△CDF∴BD=CD又∵AB=AC∴AD垂直平分BC，故④正確故選：A．【變式1-1】（24-25八年級·吉林松原·期末）如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為D，交AC于點E，若∠A=∠ABE，BD=1，BC=3，則AC的長為．【答案】5【分析】此題主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．先證明△EDC和△BDC全等得DE=BD=1，EC=BC=3，則BE=2，再根據(jù)∠A=∠ABE得AE=BE=2，由此可得出AC的長．【詳解】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ECD=∠BCD，∵BE⊥CD，∴∠EDC=∠BDC=90°，在△EDC和△BDC中，∠ECD=∠BCDCD=CD∴△EDC≌△BDCASA∴DE=BD，EC=BC，∵BD=1，BC=3，∴DE=BD=1，EC=BC=3，∴BE=DE+BD=2，∵∠A=∠ABE，∴AE=BE=2，∴AC=AE+EC=5．故答案為：5．【變式1-2】（24-25八年級·海南省直轄縣級單位·期末）如圖，在△ABC中，AD，AF分別是△ABC的中線和高，BE是△ABD的角平分線．(1)若∠BED=60°，∠BAD=40°，求(2)若△ABC面積為40，AD=5，求AF的長．【答案】(1)50°(2)AF=8【分析】本題考查了等腰三角形的判定，角平分線的性質，三角形外角性質和三角形面積公式．本題的關鍵是充分應用三角形的角平分線，高和中線的定義．（1）先利用三角形的外角性質計算出∠ABE=20°，再利用角平分線定義得到∠ABC=2∠ABE=40°，然后根據(jù)高的定義和互余兩角的性質求出∠BAF的度數(shù)；（2）先根據(jù)題意得到BD=DC=AD=5，然后利用三角形面積公式求AF的長．【詳解】（1）解：∵∠BED=∠ABE+∠BAE，∴∠ABE=60°?40°=20°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=40°，∵AF為高，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°?∠ABF=90°?40°=50°．（2）解：由（1）得∠BAD=∠ABD=40°，∴BD=DC=AD=5，∴BC=5+5=10，∵S△ABC∴AF=8．【變式1-3】（24-25八年級·河北石家莊·期末）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，A?3,0，∠OBC=60°，BC與y軸正半軸交于點C，且BC=4(1)B點的坐標是__________；(2)如圖2，點P從點A出發(fā)，沿射線AB方向運動，同時點Q在邊BC上從點B向點C運動，在運動過程中：①若點P的速度為每秒2個單位長度，點Q的速度為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，當△PQB是直角三角形時，求t的值；②若點P、Q的運動路程分別是a，b，當△PQB是等腰三角形時，求出a與b滿足的數(shù)量關系．【答案】(1)2,0(2)①當t=54或t=2時，△PQB是直角三角形；②a+b=5【分析】（1）首先求出∠BCO=30°，然后得到BO=1（2）①由題意，得AP=2t，BQ=t，得到PB=5?2t，然后分兩種情況討論：當∠PQB=90°時和當∠QPB=90°②根據(jù)題意分兩種情況討論：當a<5時和當a>5時，然后根據(jù)等腰三角形的定義分別求解即可．【詳解】（1）解：∵∠OBC=60°，∠BOC=90°，∴∠BCO=30°，∴BO=1∴B2,0（2）①由題意，得AP=2t，BQ=t，∵A?3,0，B∴AB=5，∴PB=5?2t∵∠OBC=60°≠90°，∴只有∠PQB=90°和∠QPB=90°兩種情況，此時點P只能在線段AB上，則PB=5?2t；當∠PQB=90°時，∵∠OBC=60°，∴∠BPQ=30°，∴BQ=12BP解得：t=5當∠QPB=90°時，∵∠OBC=60°，∴∠BQP=30°，∴PB=12BQ解得：t=2；綜上所述，當t=54或t=2時，②如圖：當a<5時，∵AP=a，BQ=b，∴BP=5?a，∵△PQB是等腰三角形，∠OBC=60°，∴△PQB是等邊三角形，∴b=5?a，即a+b=5；如圖3：當a>5時，∵AP=a，BQ=b，∴BP=a?5，∵△PQB是等腰三角形，∠QBP=120°，∴BP=BQ，即a?5=b，∴a?b=5，綜上所述：當△PQB是等腰三角形時，a與b滿足的數(shù)量關系為：a+b=5或a?b=5．【點睛】此題考查了坐標與圖形綜合，含30°角直角三角形的性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．【考點2等邊三角形】【例2】（24-25八年級·山西大同·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=12，BC=DC，∠A=60°，點E在AD上，連接BD，CE相交于點F，CE∥AB．若CE=8，則CF的長為（

A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】首先根據(jù)AB=AD=12、∠A=60°，可證△ABD是等邊三角形，連接AC交BD于點G，可證AC是線段BD的垂直平分線，根據(jù)等邊三角形的三線合一定理可證∠BAC=∠DAC=30°，根據(jù)平行線的性質可證∠ACE=∠DAC=30°，從而可得DE=4，根據(jù)平行線的性質可證△DEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質可知EF=DE=4，從而可求CF的長度．【詳解】解：如下圖所示，連接AC交BD于點G，∵AB=AD=12，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB=AD=BD=12，∠A=∠ABD=∠ADB=60°，∵AB=AD=12，BC=DC，∴AG⊥BD，BG=DG，∴∠BAC=∠DAC=30°，∵CE∥∴∠ACE=∠DAC=30°，∴AE=CE=8，∴DE=AD?AE=12?8=4，∵EF∥∴∠EFD=∠ABD=60°，∠FED=∠A=60°，∴△DEF是等邊三角形，∴EF=4，∴CF=CE?EF=8?4=4．

故選：C．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質、平行線的性質、線段垂直平分線的判定與性質、等腰三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是利用角之間的關系找到邊之間的關系．【變式2-1】（24-25八年級·浙江臺州·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，將△CAB繞點C按逆時針方向旋轉得到△CDE，點D恰好在AB邊上，連接BE【答案】4【分析】本題考查了旋轉的性質，直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，由題意可得∠ABC=30°，即得AB=2AC=8，BC=AB2?AC2=43，進而由旋轉得【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴∠ABC=90°?∠A=30°，∴AB=2AC=8，∴BC=A由旋轉得，CE=CB，CA=CD，∠BCE=∠ACD，∴△ACD為等邊三角形，∴∠ACD=60°，∴∠BCE=∠ACD=60°，∴△BCE為等邊三角形，∴BE=BC=43故答案為：43【變式2-2】（24-25八年級·山西大同·期末）已知等邊三角形ABC，D，E分別為邊AB,BC的中點，連接DE；G為射線EB上的一個動點，以DG為邊，并在其左側作等邊三角形DHG，連接BH．(1)如圖1，若AB=4，DG⊥BC，HG與BD相交于點O，則DO=，∠HBG=°．(2)如圖2，當點G在EB的延長線上時，①HB與GE有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論．②請計算∠HBC的度數(shù)．【答案】(1)32,(2)①HB=GE，證明見詳解，②∠HBC=120°【分析】（1）根據(jù)在等邊三角形ABC中，D，E分別為邊AB,BC的中點，得∠ABC=60°,BD=2，又因為DG⊥BC，△DHG是等邊三角形，得∠HDG=60°?30°=30°，BG=12×BD=1，運用勾股定理列式計算得DG=（2）①先證明△BDE是等邊三角形，再得出△HDB≌△GDE，則HB=GE,②因為△HDB≌△GDE，所以∠HBD=∠BED=60°，則∠HBC=∠HBD+∠DBE=120°．【詳解】（1）解：∵在等邊三角形ABC中，D，E分別為邊AB,BC的中點，∴BD=BC=AB=4,∠ABC=60°,BD=1∵DG⊥BC，△DHG是等邊三角形，∴∠DGB=90°,∠HDG=60°，∴∠BDG=180°?90°?60°=30°，∠HDG=60°?30°=30°，∴BG=1∴DG=B∵△DHG是等邊三角形，∠BDG=∠HDG=30°，∴BD⊥HG，HD=GD則在Rt△DOG中，OG=∴OD=D∵HD=GD，∠BDG=∠HDG=30°，OD=DO，∴△BDH≌△BDG，∴∠HBD=∠GBD=60°，∴∠HBG=60°+60°=120°故答案為：32,（2）解：①HB=GE，證明見如下：∵△DHG是等邊三角形，∴HD=GD,∠HDG=60°，∵在等邊三角形ABC中，D，E分別為邊AB,BC的中點，∴∠ABC=60°,AB=BC,BD=1∴BD=BE，∴△BDE是等邊三角形，∴∠BDE=60°,BD=DE，∵∠HDG=60°，∴∠HDB=60°+∠GDB=∠GDE，∵HD=GD，∴△HDB≌△GDE，∴HB=GE,②∵△HDB≌△GDE，∴∠HBD=∠BED=60°，∴∠HBC=∠HBD+∠DBE=120°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，30度所對的直角邊是斜邊的一半，等邊三角形的判定與性質，勾股定理，三角形內(nèi)角和性質，正確掌握相關性質內(nèi)容是解題的關鍵．【變式2-3】（24-25八年級·安徽合肥·期末）點E為等邊三角形ABC內(nèi)一點，分別以AE、BE為邊作等邊三角形AEF、BDE．如圖，DE與AB交于點H,DF與AB交于點G．則下列結論不一定成立的是（）A．DF=BC B．DFC．EG⊥AD D．∠ADE=∠ECF【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質證明△DBA≌△EBC，△AEB≌△FED，△AFC≌△AEB，再結合全等三角形的性質逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵等邊三角形ABC，等邊三角形BDE，∴AB=BC，DB=BE=DE，∠ABC=∠DBE=∠BDE=∠BED=60°，∴∠DBA=∠EBC，∴△DBA≌△EBC，∴AD=CE，∠DAB=∠ECB，∵等邊三角形AEF，∴AE=EF=AF，∠AEF=∠AFE=∠EAF=60°，同理可得：△AEB≌△FED，∴AB=FD，∠ABE=∠FDE，∴DF=BC，故A不符合題意；∴∠FDB+∠DBC=∠FDE+∠BDE+∠DBE+∠EBC=120°+∠ABE+∠EBC=180°，∴DF∥同理可得：△AFC≌△AEB，∴CF=BE，∴CF=BE=DE，∵AD=CE，AE=EF，∴△ADE≌△ECF，∴∠ADE=∠ECF，故D不符合題意；如圖，延長EG交AD于Q，∵E為△ABC內(nèi)動點，根據(jù)現(xiàn)有條件無法得到EG⊥AD，故C符合題意；故選：C【點睛】本題考查的是平行線的判定，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，熟練的利用等邊三角形的性質確定全等三角形是解本題的關鍵．【考點3含30度角的直角三角形】【例3】（24-25八年級·湖北武漢·期末）如圖，點E在等邊△ABC的邊BC上，BE=3，射線CD⊥BC，垂足為C，點P是射線CD上一動點，點F是線段AB上一動點，當EP+FP的值最小時，BF=5，則AB的長為（

）A．6.5 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】本題考查了等邊三角形的性質，直角三角形的性質，垂線段最短等，作E關于CD的對稱點G，過G點作GF⊥AB交于F，交CD于P，過F作FH⊥BC交于F，由垂線段最短得EP+FP=GF的值最小，進而由等邊三角形的性質及直角三角形的性質解答即可求解，由垂線段最短找出取得最小值的條件是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，作E關于CD的對稱點G，過G點作GF⊥AB交于F，交CD于P，過F作FH⊥BC交于F，則PG=PE，CE=12EG此時EP+FP=GP+FP=GF的值最小，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠B=60°，∴∠FGH=∠BFH=30°，∴BG=2BF=10，∴EG=BG?BE=10?3=7，∴CE=1∴AB=BC=CE+BE=3.5+3=6.5，故選：A．【變式3-1】（24-25八年級·浙江臺州·期末）如圖，在等邊三角形ABC中，BC=8，點D是AB的中點，過點D作DF⊥AC于點F，過點F作EF⊥BC于點E，則BE的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質，含30°角的直角三角形，掌握知識點的應用是解題的關鍵．由△ABC是等邊三角形，則AB=BC=AC=8，∠A=∠C=60°，又D是AB的中點，則AD=12AB=4，然后根據(jù)30°角所對直角邊是斜邊的一半得AF=【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=8，∠A=∠C=60°，∵D是AB的中點，∴AD=1∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，∴∠ADF=180°?90°?60°=30°，∴AF=1∴CF=AC?AF=8?2=6，同理，CE=1∴BE=BC?CE=8?3=5，故選：C．【變式3-2】圖①是一種矩形時鐘，圖②是時鐘示意圖，時鐘數(shù)字2的刻度在矩形ABCD的對角線BD上，若測量得時鐘的長BC為48cm，則時鐘的另一邊AB的長為【答案】16【分析】此題考查了矩形的性質、鐘面角、含30°角直角三角形的性質等知識，熟練掌握矩形的性質和直角三角形的性質是解題的關鍵．過點O作OE⊥CD,OF⊥AD，垂足分別為點E,F，根據(jù)題意得到∠FOD=2∠DOE，求出∠DOE=30°，進一步得到∠DBC=∠DOE=30°，則BC=3【詳解】解：過點O作OE⊥CD,OF⊥AD，垂足分別為點E,F，由題意可得，∠FOD=2∠DOE，∵∠FOD+∠DOE=90°，∴3∠DOE=90°，則∠DOE=30°，∴∠FOD=2∠DOE=60°，在矩形ABCD中，∠C=90°,CB=48cm，AB=CD∴OE∥BC，∴∠DBC=∠DOE=30°，∴BC=3∴AB=48故答案為：16【變式3-3】（24-25八年級·浙江杭州·期末）在△ABC中，已知點D在BC上，且CD=CA，點E在CB的延長線上，且BE=BA．(1)如圖①，若∠BAC=120°，AB=AC，求∠DAE的度數(shù)；(2)試探求∠DAE與∠BAC的數(shù)量關系；(3)如圖②，若AB平分∠DAE，AC⊥CD于點C，求證：BE=2CD．【答案】(1)60°；(2)∠DAE=1(3)見解析．【分析】本題考查了與角平分線有關的三角形的內(nèi)角和，三角形的外角，等邊對等角，含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．（1）利用等邊對等角，結合三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角，角的和差關系進行求解即可；（2）在△ABC中，設∠BAC=α，∠C=β，則∠ABC=180°?α?β，結合CD=CA，則∠CAD=∠CDA=90°?12β，∠DAB=α+12（3）由CD=CA，則∠CAD=∠CDA=45°，設∠E=∠BAE=α，則∠ABC=2α，又AB平分∠EAC，所以∠BAD=α，然后求出α=15°，則∠ABC=30°，最后由含30度角的直角三角形的性質即可求解．【詳解】（1）解：在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∵CD=CA，∴∠CAD=∠CDA=1∴∠DAB=∠BAC?∠CAD=120°?75°=45°，∵BE=BA，∴∠E=∠BAE，∵∠ABC=∠E+∠BAE=2∠BAE，∴∠BAE=1∴∠DAE=∠BAE+∠DAB=15°+45°=60°；（2）解：∠DAE與∠BAC的數(shù)量關系是：∠DAE=1理由如下：在△ABC中，設∠BAC=α，∠C=β，∴∠ABC=180°?α?β，∵CD=CA，∴∠CAD=∠CDA=1∴∠DAB=∠BAC?∠CAD=α?90°?∵BE=BA，∴∠E=∠BAE，∵∠ABC=∠E+∠BAE=2∠BAE，∴∠BAE=1∴∠DAE=∠BAE+∠DAB=90°?1∴∠DAE=1（3）解：∵CD=CA，∴∠CAD=∠CDA=45°，∵BE=BA，∴∠E=∠BAE，設∠E=∠BAE=α，則∠ABC=2α，∵AB平分∠EAC，∴∠BAD=α，∴∠BAD+∠CAD+∠ABC=90°，即：α+45°+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABC=30°，∴AC=1∴CD=1∴BE=BA，∴CD=12BE【考點4直角三角形全等的判定與性質】【例4】（24-25八年級·湖北武漢·期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠B=90°，BE=AD=4，∠BCD的平分線交AB于點E，若BC與CD的差為1，則AE的長為（）A．1 B．12 C．23 【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．連接DE，過E作EH⊥CD于H，根據(jù)角平分線的性質得到BE=EH=4，求得EH=AD，根據(jù)全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．【詳解】解：連接DE，過E作EH⊥CD于H，∵CE平分∠BCD，∠B=90°，∴BE=EH=4，∵BE=AD，∴EH=AD，在Rt△ADE與RtAD=EHDE=ED∴Rt∴AE=DH，在Rt△BCE與RtBE=EHCE=CE∴Rt∴BC=CH，∵BC與CD的差為1，∴BC?CD=CH?CD=DH=1，∴AE=DH=1，故選：A【變式4-1】（24-25八年級·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，線段PQ=AB，P，Q兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AO上運動，點P從點A運動到點C，點P的運動速度為每秒鐘2cm，當運動時間為秒時，【答案】4或8/8或4【分析】本題考查了全等三角形的判定定理的應用，注意：判定兩直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．分AP=8cm=BC和AP=16cm=AC兩種情況，根據(jù)HL定理推出【詳解】解：∵∠C=90°，AO⊥AC，∴∠C=∠QAP=90°，①當AP=8cm在Rt△ACB和RtAB=PQBC=AP∴Rt△ACB≌∵點P從點A運動到點C，點P的運動速度為每秒鐘2cm∴8÷2=4，所以運動時間為4秒；②當AP=16cm在Rt△ACB和RtAB=PQAC=AP∴Rt△ACB≌∵點P從點A運動到點C，點P的運動速度為每秒鐘2cm∴16÷2=8，所以運動時間為8秒；綜上：當運動時間為4秒或8秒時，△ABC和△PQA全等．故答案為：4或8．【變式4-2】（24-25八年級·山東聊城·期末）在△ABC中，P，F(xiàn)分別是邊AB，BC邊上的點，作PD⊥AC于點D，PE⊥BC于點E，連接PF，若PD=PE，PF=FC．(1)求證：CE=CD；(2)若AC=BC，△ABC的面積為6，求△PFC的面積．【答案】(1)見解析(2)3【分析】此題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．（1）根據(jù)題意得到∠PDC=∠PEC=90°，然后證明Rt△CPD≌Rt△CPE（2）根據(jù)題意得到CP為△ABC的中線，推出S△BPC=1【詳解】（1）證明：∵PD⊥AC，PE⊥BC，∴∠PDC=∠PEC=90°，在Rt△CPD和Rt△CPE中，CP=CP，∴Rt∴CE=CD；（2）解：∵AC=BC，∴△ACB為等腰三角形，由（1）知Rt△CPD≌∴∠ACP=∠BCP，即CP為∠ACB的平分線，∴CP為△ABC的中線，∴S在Rt△BPC∵PF=FC，∴∠FPC=∠FCP，∵∠B+∠FCP=90°，∠BPF+∠FPC=90°，∴∠B=∠BPF，∴PF=BF=FC，∴PF為△PBC中線，∴S△PFC=12S△PBC∴△PFC的面積為32【變式4-3】（24-25八年級·甘肅平?jīng)觥て谀┤鐖D，已知△ABC中BC邊上的垂直平分線DE與∠BAC的平分線交于點E，EF⊥AB交AB的延長線于點F，EG⊥AC交于點G．(1)求證：BF=CG．(2)求證：AG=1【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定，角平分線的性質，線段垂直平分線的性質的應用，能綜合運用性質進行推理是解題的關鍵．（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質求出BE=CE，根據(jù)角平分線性質求出EF=GE，即可證明Rt△BFE≌（2）證明△AFE≌△AGE，推出AF=AG，即可得出答案．【詳解】（1）證明：連接BE和CE，∵DE是BC的垂直平分線，∴BE=CE，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥A