專題28解直角三角形（58題）

一、單選題

1．（2024·吉林長春·中考真題）2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛星搭乘谷神星一號火箭在

黃海海域成功發射．當火箭上升到點A時，位于海平面R處的雷達測得點R到點A的距離為a千米，仰角

為，則此時火箭距海平面的高度AL為（）

aa

A．asin千米B．千米C．acos千米D．千米

sincos

2．（2024·天津·中考真題）2cos451的值等于（）

2

A．0B．1C．1D．21

2

4

3．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在ABC中，ABAC5，sinB，則BC的長是（）

5

A．3B．6C．8D．9

4．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，等邊ABC鋼架的立柱CDAB于點D，AB長12m．現將鋼架立

柱縮短成DE，BED60．則新鋼架減少用鋼（）

A．24123mB．2483mC．2463mD．2443m

5．（2024·四川德陽·中考真題）某校學生開展綜合實踐活動，測量一建筑物CD的高度，在建筑物旁邊有一

高度為10米的小樓房AB，小李同學在小樓房樓底B處測得C處的仰角為60，在小樓房樓頂A處測得C處

的仰角為30．（AB、CD在同一平面內，B、D在同一水平面上），則建筑物CD的高為（）米

A．20B．15C．12D．1053

6．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高1.8m的測量儀EF測得的仰角為

45，小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測量儀CD測得的仰角為53，則電子廠AB的高度為（）（參

434

考數據：sin53，cos53，tan53）

553

A．22.7mB．22.4mC．21.2mD．23.0m

7．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E,F是邊BC上兩點，且BEEFFC，連接

DE,AF,DE與AF相交于點G，連接BG．若AB4，BC6，則sinGBF的值為（）

1031012

A．B．C．D．

101033

8．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，菱形ABCD中，點O是BD的中點，AMBC，垂足為M，

AM交BD于點N，OM2，BD8，則MN的長為（）

453525

A．5B．C．D．

555

9．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，ABC60，AB1，點P是BC邊上一個動點，

在BC延長線上找一點Q，使得點P和點Q關于點C對稱，連接DP、AQ交于點M．當點P從B點運動到

C點時，點M的運動路徑長為（）

333

A．B．C．D．3

632

10．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，菱形ABCD中，B=60，點E是AB邊上的點，AE4，BE8，

點F是BC上的一點，△EGF是以點G為直角頂點，EFG為30角的直角三角形，連結AG．當點F在

直線BC上運動時，線段AG的最小值是（）

A．2B．432C．23D．4

51

11．（2024·四川瀘州·中考真題）寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協調、勻稱

2

的美感．如圖，把黃金矩形ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點B處，AB交CD于點E，則sinDAE的

值為（）

51325

A．B．C．D．

5255

12．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點H在AD邊上（不與點A、D重合），

BHF90，HF交正方形外角的平分線DF于點F，連接AC交BH于點M，連接BF交AC于點G，交

CD于點N，連接BD．則下列結論：①HBF45；②點G是BF的中點；③若點H是AD的中點，則

10111

sinNBC；④BN2BM；⑤若AHHD，則S△BNDS△AHM，其中正確的結論是（）

1022

A．①②③④B．①③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤

二、填空題

13．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點A測得該樓

頂部點C的仰角為60，測得底部點B的俯角為45，點A與樓BC的水平距離AD50m，則這棟樓的高度

為m（結果保留根號）．

14．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）綜合實踐課上，航模小組用無人機測量古樹AB的高度．如圖，點C處

與古樹底部A處在同一水平面上，且AC10米，無人機從C處豎直上升到達D處，測得古樹頂部B的俯

角為45，古樹底部A的俯角為65，則古樹AB的高度約為米（結果精確到0.1米；參考數據：

sin650.906，cos650.423，tan652.145）．

15．（2024·湖北武漢·中考真題）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點，享有“天下江山第一樓”的美譽．在一次

綜合實踐活動中，某數學小組用無人機測量黃鶴樓AB的高度，具體過程如下：如圖，將無人機垂直上升

至距水平地面102m的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為45，底端B的俯角為63，則測得黃鶴樓的高度

是m．（參考數據：tan632）

16．（2024·四川內江·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB3，AD5，點E在DC上，將矩形ABCD沿

AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，那么tanEFC．

17．（2024·江蘇鹽城·中考真題）如圖，小明用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升距地面30m的

點P處，測得教學樓底端點A的俯角為37，再將無人機沿教學樓方向水平飛行26.6m至點Q處，測得教

學樓頂端點B的俯角為45，則教學樓AB的高度約為m．（精確到1m，參考數據：sin370.60，

cos370.80，tan370.75）

18．（2024·北京·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E在AB上，AFDE于點F，CGDE于點G．若

AD5，CG4，則△AEF的面積為．

19．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，對折邊長為2的正方形紙片ABCD，OM為折痕，以點O為圓心，

OM為半徑作弧，分別交AD，BC于E，F兩點，則EF的長度為（結果保留π）．

20．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，數學活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發現了如“花

朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標系中，點O的坐標為(0，0)，點B的坐標為(1，0)，

點C在第一象限，OBC120．將△OBC沿x軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第

一次滾動后，點O的對應點為O，點C的對應點為C，OC與OC的交點為A1，稱點A1為第一個“花朵”

的花心，點A2為第二個“花朵”的花心；……；按此規律，△OBC滾動2024次后停止滾動，則最后一個“花

朵”的花心的坐標為．

21．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）矩形ABCD中，AB3，BC4，將AB沿過點A的一條直線折

疊，折痕交直線BC于點P（點P不與點B重合），點B的對稱點落在矩形對角線所在的直線上，則PC長

為．

22．（2024·山東泰安·中考真題）在綜合實踐課上，數學興趣小組用所學數學知識測量大汶河某河段的寬度，

他們在河岸一側的瞭望臺上放飛一只無人機，如圖，無人機在河上方距水面高60米的點P處測得瞭望臺

正對岸A處的俯角為50，測得瞭望臺頂端C處的俯角為63.6，已知瞭望臺BC高12米（圖中點A，B，

39

C，P在同一平面內），那么大汶河此河段的寬AB為米．（參考數據：sin40，sin63.6，

510

6

tan50，tan63.62）

5

23．（2024·四川達州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，C90．點D在線段BC上，BAD45．若AC4，

CD1，則ABC的面積是．

24．（2024·貴州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，點E，F分別是BC，CD的中點，連接AE，AF．若

4

sinEAF，AE5，則AB的長為．

5

5BD8

25．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在ABC中，ABBC，tanB，D為BC上一點，且滿足，

12CD5

CE

過D作DEAD交AC延長線于點E，則．

AC

26．（2024·黑龍江綏化·中考真題）在矩形ABCD中，AB4cm，BC8cm，點E在直線AD上，且DE2cm，

則點E到矩形對角線所在直線的距離是cm．

三、解答題

27．（2024·內蒙古通遼·中考真題）計算：322sin60(π)0．

28．（2024·四川甘孜·中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東37方向，距離燈塔100海里的A處，

它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45方向上的B處．這時，B處距離A處有多遠？

（參考數據：sin370.60，cos370.80，tan370.75）

0

29．（2024·北京·中考真題）計算：582sin302

10

30．（2024·湖南長沙·中考真題）計算：()132cos30π6.8．

4

1

01

31．（2024·廣東深圳·中考真題）計算：2cos453.1412．

4

m22m1m2

32．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）先化簡，再求值：221，其中mcos60．

m1mm

33．（2024·吉林·中考真題）圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”．某直升飛機于空中A處探測到吉塔，

此時飛行高度AB873m，如圖②，從直升飛機上看塔尖C的俯角EAC37，看塔底D的俯角

EAD45，求吉塔的高度CD（結果精確到0.1m）．（參考數據：sin370.60，cos370.80，tan370.75）

34．（2024·青海·中考真題）計算：18tan4502．

3

10

35．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）計算：tan6032(π2024)．

2

36．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）綜合實踐活動中，數學興趣小組利用無人機測量大樓的高度．如圖，

無人機在離地面40米的D處，測得操控者A的俯角為30，測得樓BC樓頂C處的俯角為45，又經過人

工測量得到操控者A和大樓BC之間的水平距離是80米，則樓BC的高度是多少米？（點A，B，C，D都

在同一平面內，參考數據：31.7）

37．（2024·內蒙古通遼·中考真題）在“綜合與實踐”活動課上，活動小組測量一棵楊樹的高度．如圖，從C

點測得楊樹底端B點的仰角是30，BC長6米，在距離C點4米處的D點測得楊樹頂端A點的仰角為45，

求楊樹AB的高度（精確到0.1米，AB，BC，CD在同一平面內，點C，D在同一水平線上．參考數據：

31.73)．

38．（2024·湖南·中考真題）某數學研究性學習小組在老師的指導下，利用課余時間進行測量活動．

活動主題測算某水池中雕塑底座的底面積

測量工具皮尺、測角儀、計算器等

某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形ABCD，其示意圖如下：

模型抽象

活動

過程

①在水池外取一點E，使得點C，B，E在同一條直線上；

②過點E作GHCE，并沿EH方向前進到點F，用皮尺測得EF的長為4米；

測繪過程與

③在點F處用測角儀測得CFG60.3，BFG45，AFG21.8；

數據信息

④用計算器計算得：sin60.30.87，cos60.30.50，

tan60.31.75．sin21.80.37，cos21.80.93，tan21.80.40．

請根據表格中提供的信息，解決下列問題（結果保留整數）：

(1)求線段CE和BC的長度：

(2)求底座的底面ABCD的面積．

39．（2024·貴州·中考真題）綜合與實踐：小星學習解直角三角形知識后，結合光的折射規律進行了如下綜

合性學習．

【實驗操作】

第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽

內壁AC的夾角為A；

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點E處時，停止注水．（直線NN為法線，AO為入射光線，OD

為折射光線．）

【測量數據】

如圖，點A，B，C，D，E，F，O，N，N在同一平面內，測得AC20cm，A45，折射角DON32．

【問題解決】

根據以上實驗操作和測量的數據，解答下列問題：

(1)求BC的長；

(2)求B，D之間的距離（結果精確到0.1cm）．

（參考數據：sin320.52，cos320.84，tan320.62）

40．（2024·河南·中考真題）如圖1，塑像AB在底座BC上，點D是人眼所在的位置．當點B高于人的水

平視線DE時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大．數學家研究發現：當經

過A，B兩點的圓與水平視線DE相切時（如圖2），在切點P處感覺看到的塑像最大，此時APB為最大

視角．

(1)請僅就圖2的情形證明APBADB．

(2)經測量，最大視角APB為30，在點P處看塑像頂部點A的仰角APE為60，點P到塑像的水平距

離PH為6m．求塑像AB的高（結果精確到0.1m．參考數據：31.73）．

41．（2024·天津·中考真題）綜合與實踐活動中，要用測角儀測量天津海河上一座橋的橋塔AB的高度（如

圖①）．某學習小組設計了一個方案：如圖②，點C,D,E依次在同一條水平直線上，DE36m,ECAB，

垂足為C．在D處測得橋塔頂部B的仰角（CDB）為45，測得橋塔底部A的俯角（CDA）為6，又

在E處測得橋塔頂部B的仰角（CEB）為31．

(1)求線段CD的長（結果取整數）；

(2)求橋塔AB的高度（結果取整數）．參考數據：tan310.6,tan60.1．

42．（2024·四川樂山·中考真題）我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道

與蕩秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：

平地秋千未起，踏板一尺離地．

送行二步與人齊，五尺人高曾記．

仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．

良工高士素好奇，算出索長有幾？

詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10

尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設秋千的繩索拉的很直）

(1)如圖1，請你根據詞意計算秋千繩索OA的長度；

(2)如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置OA釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾角為β的地方OA，

兩次位置的高度差PQh．根據上述條件能否求出秋千繩索OA的長度？如果能，請用含α、β和h的式子

表示；如果不能，請說明理由．

43．（2024·山東·中考真題）【實踐課題】測量湖邊觀測點A和湖心島上鳥類棲息點P之間的距離

【實踐工具】皮尺、測角儀等測量工具

【實踐活動】某班甲小組根據湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點B．測量A，B兩點間的距離以及PAB

和PBA，測量三次取平均值，得到數據：AB60米，PAB79，PBA64．畫出示意圖，如圖

【問題解決】（1）計算A，P兩點間的距離．

（參考數據：sin640.90，sin790.98，cos790.19，sin370.60，tan370.75）

【交流研討】甲小組回班匯報后，乙小組提出了另一種方案：

如圖2，選擇合適的點D，E，F，使得A，D，E在同一條直線上，且ADDE，DEFDAP，當

F，D，P在同一條直線上時，只需測量EF即可．

（2）乙小組的方案用到了________．（填寫正確答案的序號）

①解直角三角形②三角形全等

【教師評價】甲、乙兩小組的方案都很好，對于實際測量，要根據現場地形狀況選擇可實施的方案．

44．（2024·北京·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，E是AB的中點，DB，CE交于點F，DFFB，

AFDC.

(1)求證：四邊形AFCD為平行四邊形；

(2)若EFB90，tanFEB3，EF1，求BC的長.

45．（2024·甘肅臨夏·中考真題）乾元塔（圖1）位于臨夏州臨夏市的北山公園內，共九級，為砼框架式結

構，造型獨特別致，遠可眺太子山露骨風月，近可收臨夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立蒼穹．某校數學興

趣小組在學習了“解直角三角形”之后，開展了測量乾元塔高度AB的實踐活動．A為乾元塔的頂端，

ABBC，點C，D在點B的正東方向，在C點用高度為1.6米的測角儀（即CE1.6米）測得A點仰角

為37，向西平移14.5米至點D，測得A點仰角為45，請根據測量數據，求乾元塔的高度AB．（結果保

留整數，參考數據：sin370.60，cos370.80，tan370.75）

46．（2024·安徽·中考真題）科技社團選擇學校游泳池進行一次光的折射實驗，如圖，光線自點B處發出，

經水面點E折射到池底點A處．已知BE與水平線的夾角36.9，點B到水面的距離BC1.20m，點A處

水深為1.20m，到池壁的水平距離AD2.50m，點B，C，D在同一條豎直線上，所有點都在同一豎直平

sin

面內．記入射角為，折射角為，求的值（精確到0.1，參考數據：sin36.90.60，cos36.90.80，

sin

tan36.90.75）．

47．（2024·浙江·中考真題）如圖，在ABC中，ADBC，AE是BC邊上的中線，

AB10,AD6,tanACB1．

(1)求BC的長；

(2)求sinDAE的值．

48．（2024·甘肅·中考真題）習近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現碳達峰、2060年前

實現碳中和．甘肅省風能資源豐富，風力發電發展迅速．某學習小組成員查閱資料得知，在風力發電機組

中，“風電塔筒”非常重要，它的高度是一個重要的設計參數．于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的

實踐活動．如圖，已知一風電塔筒AH垂直于地面，測角儀CD，EF在AH兩側，CDEF1.6m，點C

與點E相距182m（點C，H，E在同一條直線上），在D處測得簡尖頂點A的仰角為45，在F處測得筒

434

尖頂點A的仰角為53．求風電塔筒AH的高度．（參考數據：sin53，cos53，tan53．）

553

49．（2024·河北·中考真題）中國的探月工程激發了同學們對太空的興趣．某晚，淇淇在家透過窗戶的最高

點P恰好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離BQ4m，仰角為；淇淇向前走了3m后到達點D，

透過點P恰好看到月亮，仰角為，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離ABCD1.6m，

點P到BQ的距離PQ2.6m，AC的延長線交PQ于點E．（注：圖中所有點均在同一平面）

(1)求的大小及tan的值；

(2)求CP的長及sinAPC的值．

2

01

50．（2024·四川廣元·中考真題）計算：2024π32tan60．

2

51．（2024·四川廣元·中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質發生折射時，入射角的正

sin

弦值與折射角的正弦值的比值叫做介質的“絕對折射率”，簡稱“折射率”．它表示光在介質中傳播時，

sin

介質對光作用的一種特征．

7

(1)若光從真空射入某介質，入射角為，折射角為，且cos，30，求該介質的折射率；

4

(2)現有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質，如圖①所示，點A，B，C，D分別是長方體棱的中點，

若光線經真空從矩形A1D1D2A2對角線交點O處射入，其折射光線恰好從點C處射出．如圖②，已知60，

CD10cm，求截面ABCD的面積．

52．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，學校數學興趣小組開展“實地測量教學樓AB的高度”的實踐活動．教

學樓周圍是開闊平整的地面，可供使用的測量工具有皮尺、測角儀（皮尺的功能是直接測量任意可到達的

兩點間的距離；測角儀的功能是測量角的大小）．

(1)請你設計測量教學樓AB的高度的方案，方案包括畫出測量平面圖，把應測數據標記在所畫的圖形上（測

出的距離用m,n等表示，測出的角用,等表示），并對設計進行說明；

(2)根據你測量的數據，計算教學樓AB的高度（用字母表示）．

53．（2024·甘肅·中考真題）馬家窯文化以發達的彩陶著稱于世，其陶質堅固，器表細膩，紅、黑、白彩共

用，彩繪線條流暢細致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術風格，創造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術

精品，體現了古代勞動人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點定位

的方法確定圓周的三等分點，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知O和圓上一點M．作

法如下：

①以點M為圓心，OM長為半徑，作弧交O于A，B兩點；

②延長MO交O于點C；

即點A，B，C將O的圓周三等分．

(1)請你依據以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規在圖2中將O的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫作法）；

(2)根據（1）畫出的圖形，連接AB，AC，BC，若O的半徑為2cm，則ABC的周長為______cm．

54．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，某數學活動小組用高度為1.5米的測角儀