拋物線與x軸的交點問題綜合題典型題型歸納練2025年中考數學二輪復習備考一、解答題1．已知二次函數（c為常數）．(1)若該二次函數的圖象與x軸有兩個公共點，求c的取值范圍；(2)若該二次函數的圖象與x軸的一個交點坐標為，求一元二次方程的解：(3)在自變量x的值滿足的情況下，與其對應的函數值y的最小值為，求c值．2．在平面直角坐標系中，已知拋物線．(1)當時，①求該拋物線的頂點坐標（用含的式子表示）；②若為自然數，且該拋物線與軸有兩個不同交點和，求的值．(2)若，直線與該拋物線有兩個交點，其坐標分別為和．當時，求的最小值．3．已知二次函數（m是常數，且）的圖象與x軸只有一個公共點．(1)求這個二次函數圖象的對稱軸；(2)將這個二次函數圖象向左平移個單位長度，得到一個新的二次函數圖象．若新的二次函數在的范圍內有最小值，求t的值．4．如圖，已知拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點，點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的頂點坐標；(2)若，是拋物線上的兩點，且，求c的取值范圍；(3)將直線向上平移m個單位，使平移后的直線與拋物線只有一個交點，求m的值．5．已知拋物線G：．(1)當時，求x的值；(2)點是拋物線上一點，若，且時，求m的值；(3)當時，把拋物線G向下平移個單位長度得到新拋物線H，設拋物線H與x軸的一個交點的坐標為，且，請求出n的取值范圍．6．已知點、在二次函數的圖像上，當時，．(1)①；②若拋物線與軸只有一個公共點，則的值為．(2)若是圖像上的兩點，且，求的取值范圍．(3)若對于任意實數、都有，則的取值范圍是．7．在平面直角坐標系中，設二次函數（是常數）．(1)若，當時，，求的函數表達式．(2)當時，判斷函數與軸的交點個數，并說明理由．(3)當時，該函數圖象頂點為，最大值與最小值差為5，求的值．8．在平面直角坐標系中，設二次函數（為常數，且）(1)若時，求該二次函數圖像與軸的交點坐標；(2)若二次函數的圖像與直線有且僅有一個交點，求代數式的值．9．已知拋物線(1)求證：拋物線與x軸有兩個不同的交點；(2)當時，拋物線與x軸交于點A，B，求的長．10．如圖，在平面直角坐標系中，點、在拋物線上，該拋物線的頂點為C，與x軸的另一個交點為D，點P為該拋物線上一點，其橫坐標為m．(1)求該拋物線的解析式；(2)點M是拋物線上一點，且M在第二象限，使得，交y軸于點F，求點M的坐標；(3)當時，設該拋物線在點B與點P之間（包含點B和點P）的部分的最高點和最低點到x軸的距離分別為d、n，設．①直接寫出F關于m的函數解析式，并注明自變量的取值范圍；②當時，直接寫出m的取值范圍．11．拋物線，直線的解析式為．(1)若拋物線經過點，求拋物線的頂點坐標；(2)探究拋物線與直線的交點情況并說明理由；(3)若拋物線經過點，且對于任意實數滿足兩個條件：①不等式都成立；②當時，拋物線的最小值為，求直線的解析式．12．在平面直角坐標系中，已知拋物線、為常數，且經過點，且對稱軸為直線．點、、是該拋物線上三個動點，其橫坐標分別為，，．連結、，并以、為鄰邊構造平行四邊形．(1)求拋物線的函數關系式；(2)當時，求的面積；(3)當時，求的取值范圍；(4)當平行四邊形的邊與拋物線存在非平行四邊形的頂點的其它交點時，記此交點為點，取的中點記為，當的面積是平行四邊形面積的時，直接寫出的值．

參考答案1．(1)(2)(3)本題主要考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵；（1）根據二次函數與x軸的交點問題可進行求解；（2）把點代入二次函數解析式得出c的值，進而求解方程即可；（3）由函數解析式可得拋物線的對稱軸為直線，開口向下，然后根據開口向下，離對稱軸的距離越近，其對應的函數值也就越大可進行求解．（1）解：由題意得：，解得：；（2）解：把點代入二次函數得：，∴，∴一元二次方程為，解得：；（3）解：由可知：開口向下，對稱軸為直線，∵，且，∴當時，函數取得最大值，當時，函數有最小值，∴，∴．2．(1)①頂點坐標為；②(2)當時，取最小值為；當時，取最小值為0；當時，取最小值為本題考查二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解題的關鍵：（1）①把代入解析式，化一般式為頂點式，即可得到頂點坐標；②根據拋物線與軸有兩個不同交點，得到，進而求出的值，得到函數解析式，求出時的的值，即可得出結果；（2）把點坐標代入一次函數解析式求出的值，再代入二次函數解析式，得到的值，再將，分別代入兩個解析式，求出的值，進而求出函數解析式，分3種情況，求出最值即可．（1）解：①當時，代入拋物線并化為頂點式得：，頂點坐標為．②為自然數，且該拋物線與軸有兩個不同交點和，．，，拋物線為，當時，，解得：，．∴；（2）解：，直線與該拋物線有兩個交點，其坐標分別為和，．解得：．∴，代入，得：．∴，，．．直線與該拋物線有交點，將點的坐標分別代入得：，解得：，拋物線為．的圖象開口方向向上，對稱軸為直線．①當，即時，，隨的增大而減小，當時，取最小值為．②當，即時，，隨的增大而減小，，隨的增大而增大，當時，取最小值為．③當時，，隨的增大而增大，當時，取最小值為．綜上可知，當時，取最小值為；當時，取最小值為0；當時，取最小值為．3．(1)直線(2)或本題考查了二次函數與一元二次方程、二次函數的平移、二次函數的最值，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．（1）利用二次函數的對稱軸公式即可求解；（2）根據二次函數的圖象與x軸只有一個公共點，得出，解出，利用二次函數平移規律得到新的二次函數為，再分情況討論二次函數取得最小值時的值，結合最小值即可求出t的值．（1）解：二次函數，二次函數圖象的對稱軸為直線，這個二次函數圖象的對稱軸為直線．（2）解：二次函數的圖象與x軸只有一個公共點，，解得：，（舍去），二次函數，二次函數圖象向左平移個單位長度，新的二次函數為，新的二次函數圖象的對稱軸為直線，，，二次函數的對稱軸在的范圍內，在取得最大值，在或取得最小值，①若，即時，在取得最小值，此時，解得：，（舍去），的值為；②若，即時，在取得最小值，此時，解得：，（舍去），的值為；綜上所述，t的值為或．4．(1)(2)或(3)本題考查了二次函數的圖象與性質，圖象的平移，直線與拋物線的交點問題，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）先求解析式，再配方即可求解頂點坐標；（2）可得，當，當時，，解得，，由圖象法可得或；（3）先求出的函數表達式為設向上平移m個單位長度后函數表達式為，與拋物線聯立得，根據平移后的直線與拋物線只有一個交點，得到，即可求解．（1）解：將點代入中，解得：，∴，整理得，則頂點坐標為；（2）解：將代入，解得∵，當時，解得，，∴或；（3）解：設直線的函數表達式為將，代入得，解得：∴直線的函數表達式為設向上平移m個單位長度后函數表達式為，由題意得即∵平移后的直線與拋物線只有一個交點，∴，∴．5．(1)或(2)m(3)本題主要考查二次函數的圖象與性質．（1）依據題意，由，結合，從而可以判斷得解；（2）依據題意，，又，從而當時，函數有最大值為，又此時點是拋物線上一點，時，都有，進而，故可以得解；（3）依據題意，當時，拋物線G為，從而表示出H為，拋物線H與x軸的一個交點的坐標為，且，從而若當時，，結合二次函數的性質，，又拋物線H與x軸有交點，故，進而可以得解．（1）解：由題意，，又∵，∴，∴，∴或；（2）解：由題意，，∵，∴當時，函數有最大值為，又此時點是拋物線上一點，時，都有，∴，∴；（3）解：由題意，當時，拋物線G為，∴把拋物線G向下平移個單位長度得到新拋物線H為，∵拋物線H與x軸的一個交點的坐標為，且，又若當時，，∴，∵開口向下，∴，又∵拋物線H與x軸有交點，∴，∴，∴．6．(1)①；②4(2)(3)本題考查二次函數圖象與性質，二次函數與一元二次方程的關系，二次函數與不等式得關系．（1）①根據題意可得對稱軸為直線，繼而列式解出的值；②利用即可求出的值；（2）根據拋物線對稱性特點，點關于直線的對稱點為，再根據二次函數增減性列出不等式即可求解；（3）根據題意可得二次函數最小值為，繼而得到的取值范圍．（1）解：①∵當時，，∴對稱軸為：直線，∵點、在二次函數的圖像上，∴，即：，故答案為：；②∵，∴，∵拋物線與軸只有一個公共點，∴，即：，故答案為：；（2）解：∵對稱軸為：直線，∴點關于直線的對稱點為，∵，∴當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，∵，∴，解得：；（3）解：∵，，∴，∴∵，，對于任意實數、都有，∴，∴，故答案為：．7．(1)(2)兩個，理由見解析(3)本題考查了待定系數法求函數解析式，二次函數與坐標軸的交點問題，二次函數的圖象與性質：（1）用待定系數法求解即可；（2）求出根的判別式即可判斷；（3）分3種情況求解：當時；當時；當時.（1）解：把代入得，，當時，，，，二次函數的關系式為；（2）解：，∴函數的圖象與軸有兩個交點；（3）解：的對稱軸為直線：，當時，函數最大值為：，函數最小值為，，即，解得：（舍去），；當時，函數最大值為：，函數最小值為，，不符合題意；當時，函數最大值為：，函數最小值為，，即，（兩個都不符合題意，舍去）；的值為.8．(1)該二次函數圖像與軸的交點坐標為或(2)本題考查拋物線與軸的交點，一次函數與二次函數的交點問題，代數式求值，解答本題的關鍵是掌握相關知識．（1）將的值代入題目中的函數解析式即可得到該函數的解析式為，然后令求得的值，從而可以得到二次函數圖像與軸的交點；（2）根據二次函數圖像拋物線與直線有且僅有一個交點列出等式，得到一元二次方程有且只有兩個相等實根，由得到，即可求解．（1）解：當時，二次函數為，令，則，解得：，，該二次函數圖像與軸的交點坐標為或；（2）二次函數的圖像與直線有且僅有一個交點，有兩個相等的實數根，，，即，為常數，且，等號兩邊同時除以得：，即，，，，．9．(1)見解析(2)6本題考查的是拋物線和x軸的交點問題，涉及一元二次方程解法與根的判別式．（1）證明，即可求解；（2）將代入拋物線表達式，令，求出點A，B的坐標，根據兩點間距離公式進而求解．（1）證明：，故此拋物線與x軸有兩個不同的交點；（2）解：當時，，令，則，解得：或，∴．10．(1)；(2)；(3)①；②或．（1）把點、代入，利用待定系數法求解；（2）先證，求出點F的坐標，用待定系數法求出直線的解析式，與拋物線解析式聯立，解方程即可求出點M的坐標；（3）①分，，，四種情況，分別求解；②分，，三種情況，令，解方程即可．（1）解：把點、代入得：，解得：，∴該拋物線的解析式為；（2）解：當時，或3，∴D點坐標為，∴.又∵，，∴，∴，∴F點坐標為，設直線的解析式為，則，解得，，即，解方程組，得或，即M點坐標為．（3）解：由（1）知，，∴點C為．P點坐標為．過點B作軸交拋物線于點E，此時點E與點B關于對稱軸對稱，∴E點坐標為（2，3），如圖所示：①（i）當點P在點B和點C之間時，即時，，，．（ii）②當點P在點C和點E之間時，即時，，，；（ⅲ）當點P在第一象限且在點E下方時，即時，，，．（iv）當點P在x軸及第四象限時，即時，，.．綜合得：．②當時，，解得（舍去）；當時，都符合題意；當時，，解得（舍去）或（舍去）；當時，，解得（舍去）或．綜上所述，m的取值范圍為或．本題屬于二次函數綜合題，考查二次函數的圖象和性質，二次函數與一次函數圖象交點問題，全等三角形的判定和性質，解一元二次方程等知識點，注意數形結合及分類討論是解題的關鍵．11．(1)(2)拋物線與直線必有兩個交點，理由見解析(3)或本題考查二次函數的綜合應用，（1）將代入求出的值，確定拋物線的解析式，即可得出結論；（2）聯立拋物線方程與直線方程，確定判別式與零的大小關系；（3）由可得函數最小值為，由拋物線頂點公式可得的值，從而可得拋物線對稱軸，分三種情況討論：①當時，②當，③當；解題的關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系，掌握函數與方程及不等式的關系．（1）解：∵拋物線經過點，∴，解得：，∴拋物線表達式為：，∴拋物線的頂點坐標為；（2）拋物線與直線必有兩個交點．理由如下：聯立方程組，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴拋物線與直線必有兩個交點；（3）∵對于任意實數，不等式都成立，∴的最小值為，∴，解得：或，∵，∴，∴，∴拋物線開口向上，頂點坐標為，①當時，當時，隨增大而減小，∴時，函數最小值為，∴，解得：或（舍去），此時直線的解析式為；②當，即時，當時，函數最小值為，∴，解得：（舍去）；③當，即時，當時，隨增大而增大，∴，函數最小值為，∴，解得：或（舍去），此時直線的解析式為；綜上所述，直線的解析式為或．本題考查二次函數的綜合應用，解題的關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系，掌握函數與方程及不等式的關系．12．(1)拋物線的函數關系式為；(2)的面積為；(3)的取值范圍為；(4)的值為或．根據拋物線的對稱軸為可得，根據拋物線經過點可得，解方程組求出、的值即可得拋物線的解析式；分別求出當時點、、的坐標，利用待定系數法求出直線的解析式，根據解析式求出線段與軸的交點，根據求出結果；根據拋物線的解析式分別求出點、、的坐標，根據得到關于的不等式組，解不等式組確定的取值范圍；當時，根據平行四邊形的性質和點、、的坐標可以