試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數學壓軸題專練：圓相關證明題1．如圖，在中，，平分交于點E，O為上一點，經過A，E的分別交，于點D，F，連接交于點M．

(1)求證：是的切線：(2)若，，求的半徑；(3)若，的半徑為2，求陰影部分面積．2．如圖，⊙是的外接圓，是直徑，，延長到點，使得，半徑與交于點，連接與交于點．(1)求證：是⊙的切線；(2)若，求的長度；(3)若是的中點，如圖，求．3．如圖，是的直徑，射線交于點，是劣弧上一點，且平分，過點作于點，延長交的延長線于點．(1)求證：是⊙的切線；(2)若，，求的長；(3)若，在（2）的基礎上，求圖中陰影部分的面積．4．如圖，在中，是的直徑，C是上一點，在上找一點D，使得連接，過點C作的垂線，垂足為E．(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，，求陰影部分的面積．5．如圖，在中，以為直徑的分別交，于點D，點E，的延長線與的切線交于點F，．

(1)求證：；(2)若，，求的長．6．如圖，四邊形是的內接四邊形，是直徑，是的中點，過點作交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．7．如圖，是的直徑，在上，且，過點C作，交的延長線于點E，交的延長線于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長；(3)若，求的值．8．如圖，已知是的直徑，弦，垂足為，連接，以為鄰邊作，連接與交于點，，．(1)求證：是的切線；(2)求的半徑；(3)求的長．9．如圖，為的內接三角形，，垂足為，直徑平分，交于點，連接．(1)求證：．(2)若，，求的長．(3)若點為中點，連接，若點在上，求的值．10．如圖所示，在中，，，，線段是邊上的中線，點，分別在邊上，且，連接，交于點．點三點所在圓記作．(1)求的長；(2)若，求證：是的切線；(3)在（2）的條件下，求的值．11．如圖，已知中，，，點是內一點，若且平分．(1)求證：點是的內心；(2)如圖：直接寫出答案：外接圓的半徑___________；的內心與外心的距離___________．12．如圖，是的直徑，為上一點（不與點重合）連接，過點作，垂足為點．將沿翻折，點落在點處得，交于點．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求陰影部分面積．13．已知：如圖，為的直徑，，交于點D，E是的中點，與的延長線相交于點F．(1)求證：是的切線；(2)已知，，求外接圓的半徑．14．在中，，平分交于點，是上一點，且經過兩點，分別交于點．(1)求證：與相切于點；(2)若，，求劣弧的長．15．如圖，為的直徑，為上一點，，延長至點，使得，過點D作，垂足E在的延長線上，連接．(1)求的度數；(2)求證：是的切線；(3)當時，求圖中陰影部分的面積．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數學壓軸題專練：圓相關證明題》參考答案1．(1)見解析(2)3(3)【分析】（1）連接，根據角平分線的性質及同弧所對的圓周角是圓心角的一半得出即可；（2）由勾股定理可得出答案．（3）先利用等腰三角形的性質與角平分線，三角形內角和定理，求出，從而求得，即可由扇形面積公式得，再由直角三角形的性質與勾股定理求出，從而求得，即可由求解．【詳解】（1）證明：連接，

平分交于點，，，，，，，又是的半徑，是的切線；（2）解：由（1）知，是的切線，∴∴設，，，解得，，即圓的半徑為3．（3）解：如圖，連接，

∵∴∵平分∴∴∵∴∴∵∴∴∴由（1）知，是的切線，∴∴∴∴∴∴．【點睛】本題主要考查切線的判定和性質，勾股定理，扇形面積，三角形面積，等腰三角形的性質，三角形外角性質，角平分線，三角形內角和定理等知訓．熟練掌握切線的判定定理和勾股定理是解題的關鍵．2．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據是直徑，，證明即可；（2）根據得出，進而得出，得出特殊角，再利用三角函數求解即可；（3）證明，再根據三角形中位線和三角函數求解即可．【詳解】（1）證明：是的直徑，，，，，即，是的直徑，是的切線；（2）解：，，，又，，，，，；（3）解：為直徑，，，，，、，，、，又，是的中位線，設，則，，，解得：，則、，，，，則．【點睛】本題考查了切線的證明，圓與三角函數的綜合，解題關鍵是根據圓的相關知識得出角和線段的關系，再運用三角函數求解．3．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）連接，如圖所示，由角平分線定義得到，由圓中半徑相等，根據等腰三角形性質得到，再由平行線的判定與性質即可得證；（2）連接，過點作于點，如圖所示，由矩形的判定與性質求出相關線段長，結合勾股定理求解即可得到答案；（3）解直角三角形求出，間接表示出不規則圖形的面積，利用三角形面積公式及扇形面積公式代值求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：平分，．，，，．，．是的半徑，是的切線；（2）解：連接，過點作于點，如圖所示：．，，四邊形是矩形，，．，；（3）解：，，，．【點睛】本題考查圓綜合，涉及角平分線定義、圓的性質、等腰三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、切線的判定、矩形的判定與性質、勾股定理、解直角三角形、扇形面積公式等知識，熟練掌握相關幾何判定與性質是解決問題的關鍵．4．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）分別證明，，從而可得結論；（2）連接，證明，可得，再進一步可得結論；（3）連接、，證明四邊形是矩形，可得，再證明，可得，可得，利用可得答案.【詳解】（1）證明：∵是的直徑∴，又∵，∴，∴，∵∴，∴；（2）證明：連接，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（3）解：連接、∵是的直徑，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵是半徑，，∴，，即，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的判定及扇形的面積公式，相似三角形的判定，熟練地掌握相似三角形的判定和切線的判定是解決本題的關鍵．5．(1)見詳解(2)10【分析】（1）連接，結合為的直徑，得到，結合是的切線，得到，根據余角的性質，結合，證明即可證明．（2）連接，結合，設則，根據勾股定理，根據勾股定理，計算即可．【詳解】（1）證明：連接，

∵為的直徑，∴，∵是的切線，，，，，，，，．（2）解：連接，

，設，則，∵為的直徑，，，，，解得：（舍去），．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，切線的性質，熟練掌握圓周角定理，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，切線的性質是解題的關鍵．6．(1)見解析(2)【分析】（1）根據“連半徑，證垂直”即可；（2）先由“直徑所對的圓周角是直角”，可得，用勾股定理求出的長，再根據圓內接四邊形的性質，可得，可證明，通過三角形相似即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∵是的中點，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：∵是直徑，∴，∵，，∴，∵，∴，∵四邊形是的內接四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：．【點睛】此題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理定理的應用，相似三角形的判定與性質，熟練掌握相關性質與判定是解題的關鍵．7．(1)見解析；(2)4；(3)．【分析】（1）證明，即可證明是的切線；（2）證明得，求出，然后利用勾股定理求解即可；（3）證明得，可得，進而可求出．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∵，∴，又是半徑，是的切線；（2）∵，∴，即，解得．在中，；（3）是的切線，，是直徑，，，，．，，，．【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，勾股定理，院內接四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，銳角三角函數等知識，熟練掌握圓的性質、相似三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．8．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（）由平行四邊形的性質得，進而由可得，即可求證；（）連接，設，則，在中利用勾股定理解答即可求解；（）過點作交的延長線于點，證明，可得，，即得，再根據勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴是的切線；（2）解：連接，設，則，∵，∴，，∴，即，解得：，∴的半徑為；（3）解：過點作交的延長線于點，∵，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∵的半徑為，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，平行線的性質，切線的判定，垂徑定理，全等三角形的判定和性質，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．9．(1)見解析(2)6(3)【分析】（1）由圓周角定理及直角三角形的性質可得出結論；（2）過點作于點．由勾股定理求出，求出的長，證明，由相似三角形的性質得出，則可得出答案；（3）證出，過點作于點，證出，由等腰三角形的性質證出，則可得出答案．【詳解】（1）證明：為的直徑，，，，，，平分，，；（2）解：如圖1，過點作于點．，，，，則，，，，，，，，，，，，，；（3）解：，為的中點，，為的中點，為的中點，，，，為等腰直角三角形，，，過點作于點，如圖2，平分，，，，，，，，，，又，，設，則，．【點睛】本題考查圓周角定理、等腰三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、直角三角形的性質、角平分線的性質、勾股定理等知識，熟練掌握相關知識的聯系與運用是解答的關鍵．10．(1)10(2)見解析(3)【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；（2）先證明點在上，再證明，推出，利用等角的余角相等證明，推出，即可證明結論成立；（3）過點D作??于點H，勾股定理求出?，根據?是??邊??上的中線，得到?，?由?，求出??，?，根據勾股定理得到?，設??，則??，求出?，，解直角三角形求出??，進而求出，證明??，得到?，同理證明??，得到??，求出?，即可求解．?【詳解】（1）解：∵在中，，，，∴；（2）證明：連接，∵三點所在圓記作，且，∴是的直徑，∵，∴，∴點在上，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵點在上，∴是的切線；（3）解：過點D作??于點H，??∵在??中，??，??，??，∴??，∵??是??邊??上的中線，∴??，∵??，∴??，∴??，∴??，∵??，設??，則??，∴??，整理得：??，解得：，即，∴?，∴，∵，，∴??，?，∴??，∴，∵，，∴??，∴??，∴??，∵，，∴??，∴??，∴??，∴??，∴?．?【點睛】本題考查了切線的判定與性質，圓周角定理，解直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．11．(1)見解析；(2)．【分析】根據等腰三角形性質及三角形內角和定理得，再根據平分得，進而可求出，則，由此得平分，然后根據三角形內心的定義可得出結論；連接，，，，，依題意得，，在同一條直線上，且，，，由此得，則，在中由勾股定理可求出，則；根據三角形內心性質得，再根據可求出，由此可得的內心與外心的距離．【詳解】（1）證明：中，，，平分，，，，，，平分，點是的內心；（2）解：連接，，，，，如圖所示：是等腰三角形，點是內心，點是外心，，在同一條直線上，且，，，在中，，，，在中，，，，由勾股定理得：，，解得：，，，點為的內心，，，為切點，，，，，解得：，，，外接圓的半徑；的內心與外心的距離．故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形的內切圓與內心，三角形的外接圓與外心，角平分線的性質，等腰三角形的性質等知識點，理解等腰三角形的性質，熟練掌握三角形的內心和外心的定義及性質是解決問題的關鍵．12．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由折疊可得，，根據題意可得，則，即，根據切線的定義即可求證；（2）連接，過點作于點，根據圓周角定理得到，，由含角的直角三角形的性質得到，，則，同理得到，，，則，，根據代入求值即可．【詳解】（1）證明：連接，

∵，∴，∵沿翻折得到，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴是的切線；（2）解：連接，過點作于點，

∵，∴，，∵，∴，，∵，∴，∵，，，∴，，∴，∴，，∴．【點睛】本題主要考查切線的證明，垂徑定理，圓周角定理，含角的直角三角形的性質，不規則圖形面積的計算，扇形面積的計算方法，掌握切線的證明方法，垂徑定理，圓周角定理，扇形面積的計算方法是解題的關鍵．13．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，根據題意可得，由是的直徑，得出，則，根據點E是的中點，得出，進而得出，即可求證；（2）根據，，，得出，則，求出，可證明為等邊三角形，根據，得出，以及為外接圓直徑，即可求解；【詳解】（1）證明：連接，，∵，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵點E是的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，為外接圓直徑，∴外接圓半徑．【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，三角形的外接圓，三角函數的應用，解題的關鍵是掌握經過半徑外端且垂直于半徑的直線與圓相切；直徑所對的圓周角為直角；直角三角形外接圓圓心為斜邊中點．14．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，根據角平分線的定義可得，根據，可得，則，根據，可得，進而即可求解；（2）先解直角三角形求出、，然后求出，根據等邊對等角求出，證明，根據相似三角形的性質求出，最后根據弧長公式求解即可．【詳解】（1）證明：連接，平分，，，，，，，，，是的直徑，與相切于點；（2）解：在中，，，則，，由勾股定理得，，，又，∴，∴，又，，，，，，，，即，解得，∴劣弧的長．【點睛】本題考查了圓的切線及圓的有關計算，等腰三角形的判定與性質