2024—2025學年重慶市沙坪壩區鳳鳴山中學九年級上學期第三次月考數學試卷

一、單選題(★)1.下列四個數中，最小的數是（）

A．B．0C．1D．2(★)2.下列標點符號中，是軸對稱圖形的是（）

A．B．C．D．(★★)3.反比例函數的圖象一定經過的點是（）

A．B．C．D．(★★)4.如圖，，若，則的度數為（）

A．B．C．D．(★)5.若兩個相似三角形的相似比為，則這兩個三角形面積的比是（）

A．B．C．D．(★★)6.估計的值應在（）

A．8和9之間B．9和10之間C．10和11之間D．11和12之間(★★)7.用菱形按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有2個菱形，第②個圖案中有5個菱形，第③個圖案中有8個菱形，第④個圖案中有11個菱形，…，按此規律，則第⑧個圖案中，菱形的個數是（）

A．20B．21C．23D．26(★★)8.如圖，是的弦，交于點，點是上一點，連接．若，則的度數為（）

A．B．C．D．(★★★)9.如圖，在邊長為的正方形中，點是上一點，點是延長線上一點，連接平分交于點．若，則的長度為（）

A．2B．C．D．(★★★★)10.已知整式，其中為自然數，為正整數，且．下列說法：①滿足條件的整式中有5個單項式；②不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；③滿足條件的整式共有16個．其中正確的個數是（）

A．0B．1C．2D．3二、填空題(★★)11.計算：______．(★★)12.甲、乙兩人分別從A、B、C三個景區中隨機選取一個景區前往游覽，則他們恰好選擇同一景區的概率為________．(★★★)13.若正多邊形的一個外角是45°，則該正多邊形的邊數是_________.(★★)14.重慶在低空經濟領域實現了新的突破．今年第一季度低空飛行航線安全運行了200架次，預計第三季度低空飛行航線安全運行將達到401架次．設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為，根據題意，可列方程為________．(★★★)15.如圖，在中，平分交于點．若，則的長度為_____．(★★★)16.若關于的一元一次不等式組的解集為，且關于的分式方程的解均為負整數，則所有滿足條件的整數的值之和是________．(★★★)17.如圖，是的直徑，是的切線，點為切點．連接交于點，點是上一點，連接，過點作交的延長線于點．若，則的長度是____________；的長度是____________．(★★★★)18.一個各數位均不為0的四位自然數，若滿足，則稱這個四位數為“友誼數”．例如：四位數1278，∵，∴1278是“友誼數”．若是一個“友誼數”，且，則這個數為________；若是一個“友誼數”，設，且是整數，則滿足條件的的最大值是________．三、解答題(★★★)19.計算：(1)；(2)．(★★★)20.數學文化有利于激發學生數學興趣．某校為了解學生數學文化知識掌握的情況，從該校七、八年級學生中各隨機抽取10名學生參加了數學文化知識競賽，并對數據（百分制）進行整理、描述和分析（成績均不低于70分，用表示，共分三組：A．，B．，C．），下面給出了部分信息：七年級10名學生的競賽成績是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年級10名學生的競賽成績在B組中的數據是：80，83，88，88．七、八年級抽取的學生競賽成績統計表

年級平均數中位數眾數七年級8687八年級8690根據以上信息，解答下列問題：(1)填空：________，________，________；(2)根據以上數據，你認為該校七、八年級中哪個年級學生數學文化知識較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；(3)該校七年級學生有500人，八年級學生有400人．估計該校七、八年級學生中數學文化知識為“優秀”的總共有多少人？(★★★)21.在學習了矩形與菱形的相關知識后，小明同學進行了更深入的研究，他發現，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結論．根據他的想法與思路，完成以下作圖與填空：(1)如圖，在矩形中，點是對角線的中點．用尺規過點作的垂線，分別交，于點，，連接，．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)已知：矩形，點，分別在，上，經過對角線的中點，且．求證：四邊形是菱形．證明：∵四邊形是矩形，∴．∴①，．∵點是的中點，∴②．∴（AAS）．∴③．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．進一步思考，如果四邊形是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④．(★★★)22.某工程隊承接了老舊小區改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務，選派甲、乙兩人分別用、兩種外墻漆各完成總粉刷任務的一半．據測算需要、兩種外墻漆各300千克，購買外墻漆總費用為15000元，已知種外墻漆每千克的價格比種外墻漆每千克的價格多2元．(1)求、兩種外墻漆每千克的價格各是多少元？(2)已知乙每小時粉刷外墻面積是甲每小時粉刷外墻面積的，乙完成粉刷任務所需時間比甲完成粉刷任務所需時間多5小時．問甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米？(★★★)23.如圖，在菱形中，，，動點從點出發，沿著的路線運動，到達點停止，過點作交菱形的另一邊于點．設動點行駛的路程為，點、的距離為．如(1)請直接寫出y關于x的函數表達式，并注明自變量x的取值范圍；(2)在給定的平面直角坐標系中畫出函數y的圖象，并寫出函數y的一條性質；(3)函數與函數只有一個交點，求的取值范圍．(★★★)24.如圖，，，，分別是某公園四個景點，在的正東方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏東方向，且在的北偏西方向，千米．（參考數據：，，）(1)求的長度（結果精確到千米）；(2)甲、乙兩人從景點出發去景點，甲選擇的路線為：，乙選擇的路線為：．請計算說明誰選擇的路線較近？(★★★★★)25.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，交軸于點，拋物線的對稱軸是直線．(1)求拋物線的表達式；(2)點是直線下方對稱軸右側拋物線上一動點，過點作軸交拋物線于點，作于點，求的最大值及此時點的坐標；(3)將拋物線沿射線方向平移個單位，在取得最大值的條件下，點為點平移后的對應點，連接交軸于點，點為平移后的拋物線上一點，若，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．(★★★★)26.在中，，過點作．(1)如圖1，若點在點的左側，連接，過點作交于點．若點是的中點，求證：；(2)如圖2，若點在點的右側，連接，點是的中點，連接并延長交于點，連接．過