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第四章信號設計導論2通信系統一般模型本章內容在通信系統模型中的位置3本章安排信號及信號設計匹配濾波器信號單元的相關函數鳥聲信號單元巴克(Barker)序列m

序列信號單元4信號分類：模擬信號（連續信號或波形信號），其物理量的變化是連續時間函數，取值狀態數是無限的。

數字信號（序列信號），是按一定的順序排列的一串符號(或狀態)，取值狀態數是有限的。

信號設計：為達到通信的目的，對信息的載體---信號進行合理的選擇。信號單元：指代表某個發送狀態，并持續一定時間的一段完整信號。信號設計出發點：使信號單元能夠有效地從隨機（白）噪聲的干擾中檢測出來或從信號單元的集合中被分辨出來。4.1信號及信號設計5相關運算

S2(t)相關運算

S1(t)比較判決n(t)s(t)cp輸出信號設計基本概念4.1.1信號設計的基本概念（一）64.1.1信號設計的基本概念（二）

信號設計僅在傳輸有限個狀態的系統中才有意義，即在已知有限個發送狀態的信號特征，采用匹配濾波——相關接收的前提下，合理的選擇信號單元以使信號在最大信噪比下被檢測出來。

信號設計中，信號狀態通常用某個信號單元來表示，該信號單元可以是波形信號單元，也可以是序列信號單元。74.1.1信號設計的基本概念（三）

當傳輸的是序列信號時，關心的是序列信號的狀態，接收端只要能正確判決發送的是哪種狀態即可，并不關心在噪聲的干擾下信號波形變成了什么樣子，常用誤碼率衡量系統性能。誤碼率的大小與接收端輸出的信噪比有關，信噪比越大，誤碼率越小。為此，希望信號在接收端能輸出足夠大的信噪比，以使信號可靠地被檢測出來。84.1.1信號設計的基本概念（三）

可以證明，當信道中存在白噪聲干擾時，接收端采用匹配濾波——相關接收的方法能獲得最大輸出信噪比。該信噪比正比于。由此可見，只要E(信號單元的能量)足夠大就可以使信號可靠的被檢測出來。94.1.1信號設計的基本概念（四）

發送一個矩形脈沖波時（簡單的信號單元），要使脈沖能量（A2T）增大，只能增加脈沖寬度。但由于脈沖寬度增加，在接收端會造成信號在時間軸上直觀分辨率的下降，出現“模糊”現象，從而使接收端難以分辨出回波脈沖的起點位置，為了提高時間分辨率必須使發送脈沖變窄，但這樣信號單元的能量又會變小，使信號不易檢出。信號設計實例---雷達系統104.1.1信號設計的基本概念（五）雷達系統中時間分辨率與能量的矛盾114.1.1信號設計的基本概念（六）

由上可看出，對于簡單的信號單元，增大信噪比和提高時間分辨率的要求是矛盾的。為此，必須設計一個合理的信號單元來解決這個矛盾。信號設計實例(續)：124.1.2信號設計的基本原則1.輸出端信號在判決時刻具有最大信噪比；

2.信號單元具有尖銳的自相關函數——即具有脈沖壓縮性能；

3.信號單元之間的互相關量很小，且與自相關量有明顯差別，即信號單元之間具有良好的可分辨性。

在信道干擾為白噪聲，接收端采用匹配濾波—相關接收的前提下，信號設計原則：

滿足以上要求的信號，稱為優選信號單元。

如：鳥聲信號、巴克碼、m序列及隨機電報信號。13

當發送多個狀態時，要求有多個不同的信號單元來代表。接收端要分辨清楚發送的是那個信號單元，不僅要求有足夠大的信噪比，而且應使信號單元的自相關函數與信號單元之間的互相關函數有明顯的區別，以保證在給定的信號集合中實現最佳檢測。

要求:

信號單元之間有良好的可分辨性---信號單元自相關盡量大,互相關量盡量小。4.1.2信號設計的基本原則144.2匹配濾波器

它是在已知發送信號x(t)的情況下，設計的一種線性濾波器。該線性濾波器的傳輸函數與發送信號的頻譜相匹配，在加性高斯白噪聲的干擾條件下，濾波器的輸出信號在某一時刻具有最大信噪比。匹配濾波器(最佳線性濾波器)1943年，諾斯(D.O.North)提出。154.2.1匹配濾波器的傳輸函數

（）=匹配濾波器t=t0時，輸出信號：y(t)n(t)n0(t)x(t)164.2.1匹配濾波器的傳輸函數

對噪聲：瞬時信噪比為：17施瓦茲(Schwartz)不等式：4.2.1匹配濾波器的傳輸函數

利用施瓦茲(Schwartz)不等式，可知：當（k為比例常數)時，不等式左邊取等號，即不等式左邊取得極大值。當時，瞬時信噪比最大。184.2.1匹配濾波器的傳輸函數

最大瞬時信噪比為：其中，為輸入信號能量。19結論：1．匹配濾波器的傳輸特性是輸入信號的頻譜復共軛乘以一個比例因子和一個延遲因子，即濾波器的傳輸特性與信號的頻譜是匹配的。4.2.1匹配濾波器的傳輸函數

2.在t=t0

時刻，匹配濾波器輸出信號的瞬時峰值功率與輸出噪聲的平均功率之比達到最大。20匹配濾波器的含義：4.2.1匹配濾波器的傳輸函數

相位匹配模匹配

信號初相+濾波器的相移對頻率分量為的輸出信號來說，其相角為：214.2.1匹配濾波器的傳輸函數

例4.1

設計對單個矩形脈沖匹配的匹配濾波器。信號的譜密度函數為解：匹配濾波器的傳輸函數為：

-T/2T/20t1x(t)224.2.1匹配濾波器的傳輸函數

234.2.2匹配濾波器的輸出響應由匹配濾波器的傳輸特性，可得：利用沖激函數的性質，可以得到：濾波器的沖激響應244.2.2匹配濾波器的輸出響應

若信號的結束時間為t2

，如圖所示，則t0的選擇必須滿足t0

不小于t2

，這樣匹配濾波器才是物理可實現的。否則，沖激響應會出現在t<0的區域，這是非因果的系統。t0

的選擇254.2.2匹配濾波器的輸出響應匹配濾波器的輸出響應令，則

可見，匹配濾波器輸出響應為輸入信號自相關積分（自相關函數）。當t=t0

時，有最大值，為：26

由以上看出：信號經過匹配濾波器的加工處理后，波形改變了原來的樣子，變為它的自相關函數的形狀。由于匹配濾波器輸出是通過判決器來檢測的，所以我們只關心判決時刻輸出信號的峰值功率與噪聲功率之比，對原波形是否失真并不關心。白噪聲通過匹配濾波器后的響應，可以用互相關積分得到，為4.2.2匹配濾波器的輸出響應27匹配濾波器對信號的及噪聲的處理過程4.2.2匹配濾波器的輸出響應28例4.2

設信號為單個矩形脈沖，寬度為，高度為，如圖所示，試求其匹配濾波器的傳輸函數及輸出響應。解：信號表示為

4.2.2匹配濾波器的輸出響應匹配濾波器傳輸函數：29

4.2.2匹配濾波器的輸出響應例4.1中波形圖30上節課程內容信號及信號設計信號設計、信號單元信號設計原則匹配濾波器(最佳線性濾波器)t0

的選擇正弦波加窄帶高斯噪聲的統計特性(第三章)314.2.3非白噪聲時匹配濾波器傳輸特性==分析方法：先將非白噪聲通過線性網絡變為白噪聲，然后再利用前面得到的結論。線性網絡應滿足：此時，線性網絡輸出已不是原來的信號，它的頻譜變為：故有：=324.2.3非白噪聲時匹配濾波器傳輸特性==最大輸出信噪比：334.3信號單元的相關函數

信號設計的前提條件是匹配濾波—相關接收。相關處理是現代信號分析的重要工具，它在信號分析以及通信系統得到了廣泛的應用。

信號設計中，通過對信號單元的自相關和互相關函數分析來設計和優選最佳信號單元。

因此，討論信號設計的問題，必須研究信號的自相關和互相關函數的問題。344.3.1信號單元

序列信號單元(由一串符號組成但符號序列的順序不一定代表時間概念。)

發送某個狀態時，每個信號單元與某個發送狀態相對應。如圖所示。信號單元：代表某個發送狀態，并持續一定時間的一段完整信號。它是一個整體性的單元，它的任何一個部分都是無意義的。信號單元分類波形信號單元354.3.1信號單元信號單元波形圖364.3.2波形信號單元的相關函數

設信號單元是能量信號，則自相關函數定義為：對周期信號，自相關函數為：互相關函數為：互相關函數為：374.3.2波形信號單元的相關函數

（1）信號單元的自相關函數應有突出的主瓣，即要求信號單元的能量或功率較大，又要使信號單元的自相關函數波形尖銳而集中。（2）互相關函數值盡量小。如果各信號單元取自正交函數系的信號集合，則它們之間的互相關函數值為零。

為使信號單元的自相關函數與互相關函數有明顯區別，對信號單元必須提出以下要求：384.3.2波形信號單元的相關函數

例：設x1(t)和x2(t)

都是周期信號單元，其自相關函數和互相關函數波形如圖所示。因此，當用匹配濾波器——相關接收時（在同步的情況下），在輸出端很容易區別這兩個符號。394.3.3序列信號單元的相關函數

序列元素（碼元）：序列信號單元是由符號按一定的順序排列構成的，組成序列信號單元的符號稱為序列元素（碼元）。

可以屬于{0，1}，如：

{xi}={0101001100};

或可以屬于{+1，-1}

，如：{xj}={+1+1+1-1+1-1-1}。序列長度：信號單元中所包含的碼元個數，用L表示。

如{xi}的長度為L=10，而{xj}的長度L=7

。404.3.3序列信號單元的相關函數

非周期序列信號單元的相關函數的運算時，假定序列單元以外（即信號單元的前后）各位上都空無所有。周期序列：若由一段序列按次序重復循環出現構成一個無限長的序列，稱為周期序列，其

周期為重復循環的序列的長度。周期序列信號單元，序列單元是周期重復出現的。約定：414.3.3序列信號單元的相關函數

對元素屬于{+1，-1}、長度為L的非周期序列自相關函數定義為：式中，l為相對移位的碼元個數，且l<L；xik為序列{xi}中第k個碼元?；ハ嚓P函數定義為：

從以上運算過程可以總結：一、兩個序列對應位上元素相乘；二、對各對應位的積求和；三、非周期序列運算僅涉及到（L-l）項，如果l=0，則涉及到L項乘積求和。424.3.3序列信號單元的相關函數

對元素屬于{+1，-1}、周期為L的周期序列自相關函數定義為：自相關函數的歸一化值定義為：它是無量綱的，只反映相關函數的相對值。在l=0取最大值，即434.3.3序列信號單元的相關函數

考慮到在多種發送狀態時，系統一般工作在同步狀態，即l=0，這時序列{xi}、{xj}的互相關值為：歸一化值的互相關系數為：444.3.3序列信號單元的相關函數

方法一把（0，1）元素變換為（+1，-1）元素，然后再按元素屬于（+1，-1）的序列信號的相關函數的計算方法進行計算。方法二直接在（0，1）域上來計算相關函數。對元素屬于（0，1）二元域序列，計算序列相關函數的方法：45方法一

方法二

定義，則有

在（0，1）域上直接計算相關值。對應于（+1，-1）域上相關函數的計算，在（0，1）域內可以把（+1，-1）域中的乘號變為模2(mod2)加號，將求和號變為對應元素的同號的個數(A)減去異號的個數(D)。4.3.3序列信號單元的相關函數()46

（0，1）域（+1，-1）域

（+10-11）

乘法（+1）（+1）=（+1）（+1）（-1）=（-1）（-1）（-1）=（+1）（-1）（+1）=（-1）

把（+1，-1）域中的乘變（0，1）域內的模2加；將求和號變為對應元素的同號的個數(A)減去異號的個數(D)。4.3.3序列信號單元的相關函數

00=001=111=010=1模2加47

設在兩序列中求相關時，對應元素相同的個數為A，不同的個數為D，則序列的自相關函數和互相關函數分別為自相關系數

互相關系數4.3.3序列信號單元的相關函數自相關函數互相關函數48

解：

例4.2

設兩個非周期序列分別為{}={111100010011010}，{}={111000100110101}，試計算同步狀態時它們的互相關值。

{}111100010011010

模2加結果：000100110101111{}111000100110101

4.3.3序列信號單元的相關函數A=7，D=8互自相關函數

互相關系數494.4鳥聲信號單元4.4.1鳥聲信號的時域表示

鳥聲信號是在第二次世界大戰后期，為了解決雷達和水聲技術中既要有大的信號能量又要求高分辨率的矛盾而設計出來的較為理想的信號單元。是非周期的波形信號單元。4.4.2鳥聲信號的頻譜4.4.3鳥聲信號單元的自相關函數504.4.1鳥聲信號的時域表示

0

鳥聲信號(chirp信號)是在一定持續時間內的線性調頻信號單元。它的瞬時頻率的變化和鳥聲相似，故稱之為鳥聲信號。式中，為信號的中心角頻率，它是常數。為角頻率的掃描速率，單位為。514.4.1鳥聲信號的時域表示

瞬時相位為：瞬時角頻率為：角頻率從到變化

掃頻寬度為：赫茲。變化范圍為：524.4.2鳥聲信號的頻譜

==

鳥聲信號單元復數信號形式：=

式中，為復包絡信號。如果滿足，則鳥聲信號為窄帶信號。這樣只要得到復包絡的頻譜后，移頻便可得到鳥聲信號的頻譜。

---2.101534.4.2鳥聲信號的頻譜

=0其他

利用指數配方、積分變換以及費涅爾[Fresnel]積分查表等運算，可以得到544.4.2鳥聲信號的頻譜554.4.3鳥聲信號單元的自相關函數

=0

由第二章討論可知：窄帶信號自相關積分的包絡等于相應的復信號包絡線的自相關積分的模值。(---2.106)復指數信號

564.4.3鳥聲信號單元的自相關函數

復包絡信號574.4.3鳥聲信號單元的自相關函數

584.4.3鳥聲信號單元的自相關函數

594.4.3鳥聲信號單元的自相關函數

合并以上兩式，則有在>>1,且值很小的情況下，可以忽略的變化。可見，具有的性質。其模值，即Env{}的主瓣認為在第一對零點之間，寬度為，且604.4.3鳥聲信號單元的自相關函數

這樣，鳥聲信號單元的脈沖壓縮比為其中為掃頻寬度61上節課程內容匹配濾波器(最佳線性濾波器)信號單元分類波形信號單元的相關函數序列信號單元的相關函數匹配濾波器的輸出響應鳥聲信號巴克(Barker)序列

624.5巴克(Barker)序列

巴克序列(巴克碼)

：有限長的非周期序列信號單元。元素取值：（+1，-1）巴克序列：良好的自相關性以及與其它普通序列良好的互可分辯性。優選信號單元之一，應用十分廣泛。識別器輸出巴克碼識別器輸入信息碼巴克碼信息碼一幀時間1952年，英國人巴克（R.H.Barker）為解決數字通信系統中的幀同步問題，首次提出了一種可靠的識別序列—巴克碼。634.5.1巴克序列及其自相關函數

0,10

對巴克序列，首先定義它的自相關函數及其取值，然后按所要求的條件去尋找符合條件的序列。巴克序列自相關函數定義為644.5.1巴克序列及其自相關函數

表4.1（表中“+”代表+1，“-”代表-1。）

L 序列 L 序列 1+5+++-+2++，+-7+++--+-3++-11+++---+--+-4 +++-，++-+ 13 +++++--++-+-+

用試探法找到的碼長為1,2,3,4,5,7,11,13的8種基本的巴克序列，（但1952年，巴克在相關函數值為0,-1的條件下，只找到了碼長為3,7,11的三種。）654.5.1巴克序列及其自相關函數

然而，到目前為止，L>13的巴克碼仍未找到。有人企圖證明L>13的巴克碼并不存在，這是個數學上的難題。但有人已經證明了：的奇數位巴克碼及的偶數位巴克碼確實不存在。

從相關函數定義看，巴克碼越長越好。序列越長，自相關主峰越高，越尖銳。所以，人們一直在尋找更長的巴克序列。664.5.1巴克序列及其自相關函數

從圖中看出巴克碼自相關函數主瓣寬為一個碼的寬度（平均寬度）。因而巴克碼具有良好的脈沖壓縮特性。L=7及L=13時的巴克碼(B-7及B-13)自相關函數波形674.5.2巴克序列的演變

演變的目的：得到8種基本的巴克序列以外長度更長的序列。逆序列：將巴克序列首尾順序逆轉，構成逆序列。反序列：將基本巴克序列乘以-1所構成的反符號序列。例：對L=3的巴克碼（++-），串排兩次，再串一反符號序列（--+），得到L=9的序列。它的自相關函數值如表所示。（組合演變，新序列為：++-++---+）演變的方法：對逆序列、反序列進行組合；復數法演變等。

01234567890-3010-301684.5.2巴克序列的演變

==

=

復數法演變

將基本的巴克序列元素演變為多狀態而模仍為1的復數元素，從而構成多種形式的演變巴克序列。式中，m為非零整數。當m=1時，{yk}就是原來的巴克序列。---{yk}的自相關函數且有：69

4.5.3巴克序列的檢測問題

接收并判別巴克碼的裝置是一個巴克碼相關器。它把收到的巴克碼的各元素與參考巴克碼對應的元素相乘，然后求其總和。當收到的巴克碼與參考的巴克碼相位對齊時，相關器輸出峰值，這一時刻由判決器進行判決。

下面以B-7碼(L=7)發生器產生的1110010巴克碼檢測電路為例，說明巴克序列的檢測、判決輸出過程。70

移位寄存器

巴克序列前后是全“0”的序列時，檢測器的輸出特性71

漏同步：由于誤碼，使得巴克序列出現錯誤，這時檢測器將不輸出同步信號。假同步：在隨機出現的1，0碼流中可能會以某種概率出現與巴克碼相同碼型。這時檢測器將輸出錯誤同步信號。以B-7碼（L=7）為例，假同步概率為1/128。4.5.3巴克序列的檢測問題

實際系統中，調節判決電平，可以降低檢測時漏同步概率。也可采取一定措施降低假同步概率。

(如：連續3次同步才認為是真同步)72巴克碼檢測器的輸入---輸出特性（一）4.5.3巴克序列的檢測問題

以B-7碼為例，設巴克碼未進入檢測器的位數為5，即有5位檢測單元被隨機序列占據。由于隨機序列的等概性，這5位檢測單元以=1/32的概率符合巴克碼相應位的要求。這時檢測器的最大輸出為。進入檢測器的巴克碼的位數不同，輸出的最大可能值也不同。這樣的輸入---輸出關系稱為輸入---輸出特性。

當巴克碼未全部進入檢測器時，巴克碼的前后都存在著隨機出現的1，0碼，雖然巴克碼本身并沒有全部進入檢測器，但在隨機出現的1，0碼流中仍然可能以某種概率出現與巴克碼相同的碼型。這時檢測器將以某種概率輸出較大值。73巴克碼檢測器的輸入---輸出特性（二）B-7巴克碼檢測器輸入---輸出特性分析4.5.3巴克序列的檢測問題10101010101010相加器判決器0100111未進入進入信息位輸出輸入741/1281/641/321/161/81/41/217553311776543210檢測器輸出值表巴克碼檢測器的輸入---輸出特性（三）4.5.3巴克序列的檢測問題

設未進入檢測器的巴克碼的位數為m，則檢測器輸出的最大可能值由下式計算:

式中，為巴克碼的自相關函數，m應小于巴克碼的長度L。75巴克碼檢測器的輸入---輸出特性4.5.3巴克序列的檢測問題764.6m序列信號單元

m序列:

循環周期最長的線性反饋移位寄存器序列。

m序列可以用線性反饋移位寄存器產生，它的生成是有規律的，但它具有隨機二進制序列信號的性質，m序列是一種偽隨機序列（PN:Pseudo-Noise）。

由于m序列自相關函數具有良好的脈沖壓縮特性，因而，在雷達、通信、測量以及系統識別等領域內，m序列得到十分廣泛的應用。

m序列的研究可以用數學的方法進行也可以直觀地從它的產生方法開始研究。1955~1956年由D.A.Huffman等人提出，是一種優選周期序列信號單元。774.6.1m序列的產生線性反饋移位寄存器系統結構

圖中，ci為反饋系數，它代表某一級Di是否參加反饋的模2加運算。如果Di參加反饋，則ci=1，否則ci=0。但c1=cn=1線性反饋移位寄存器系統結構由n級D觸發器（作為移位寄存單元）、若干個模2和加法器以及反饋連線構成。反饋系數為：

{c0c1c2c3…cn}784.6.1m序列的產生三級移位寄存器系統

下面以三級D觸發器構成的線性反饋移位寄存器系統為例，考查輸出二進制序列的規律。圖中，反饋系數c1=0，c2=1，c3=1，即ci的組合為{c0c1c2c3}={1011}。設三級寄存器的初始狀態為D1=0，

D2=0，D3=1。794.6.1m序列的產生

00110001010111011101100101234567CP節拍狀態演變過程

00110111001011100...80

4.6.1m序列的產生

以上討論的序列，可以用遞推公式來描述。設已知序列的前n個元素為a1a2a3…an，或n級D觸發器的初態和反饋系數ci，則可以用公式來計算下一個狀態序列的輸出ak(即k=n+1)。

設第一級觸發器D1的反饋輸入為ak

，則D1輸出為ak-1

，D2輸出為ak-2,Dn輸出ak-n

，則求ak的遞推公式為(模2和)遞推公式81

4.6.1m序列的產生

在前面n=3系統中，若已知序列前三個元素為100，則第4個元素可計算得到，圖中c1=0、c2=c3=1

，故(模2和)82

4.6.1m序列的產生

反饋移位寄存器的自持運動所產生的序列主要取決于反饋系數的組合情況。在級數相同的線性反饋移位寄存器系統中，不同的組合可以使系統產生不同周期的序列。以n=3為例，若ci的組合為{1111}，此系統的自持運動在不同的初始狀態下產生不同周期的循環，如下圖所示。83{ci}為{1111}時三級移位寄存器的不同循環情況

4.6.1m序列的產生靜止狀態輸出：101010...輸出：11001100...00110111001011100...844.6.1m序列的產生

從以上的分析可看出，由三個D觸發器構成的移位寄存器的組合狀態共有8個。當為{ci}為{1111}時，系統的自持運動有三種不同的循環過程，即全“0”或全“1”的靜態狀態，經歷010和101二種狀態的循環過程及經歷100、110、011和001四種狀態的循環過程。產生序列的周期最長為L=4。而在{ci}為{1011}的情況下，系統只有一種循環過程，它包括7種狀態（全“0”時仍為靜止狀態）?？梢娫谶@種情況下，系統的自持運動經歷了除全“0”外的所有狀態，這時產生的移位寄存器序列的周期最長（n

=

3時L=23-1）---m序列。

854.6.1m序列的產生

一般地，n級D觸發器構成的線性反饋移位寄存器系統產生的m序列的周期長為

L=2n-1

由以上對移位寄存器系統的分析可看出，反饋移位寄存器序列的周期總是滿足L<2n-1的。要使移位寄存器產生m序列，反饋系數應采用適當的組合。864.6.2特征多項式與序列多項式

特征多項式為了討論線性反饋移位寄存器序列與反饋系數的關系，可以把反饋系數所處的位置用一個多項式的系數來代表，該多項式稱為特征多項式。式中，z-i表示ci處的位置，ci

只能取0或1。在一般的系統中，c0和cn總是等于1的。如：ci為{1011}時，特征多項式為：對應反饋系數為：

{c0c1c2c3…cn}874.6.2特征多項式與序列多項式

根據同樣的思想，把遞推公式所產生的序列按元素的位置用多項式表示出來，該多項式定義為序列多項式。序列多項式式中，z-1表示延遲1位碼元，ak只能取“0”或“1”。其中：884.6.2特征多項式與序列多項式

特征多項式與序列多項式的關系894.6.2特征多項式與序列多項式

將上式移項整理，得由于C0=1，故上式中左邊為特征多項式，因而有令上式右邊的多項式為h(z-1)，即式中，h(z-1)稱為系統的初態多項式，它取決于電路的初始狀態。904.6.2特征多項式與序列多項式

故有：由上式可知，在已知系統初始狀態的情況下，可以用多項式除法（在二元有限域上）來求得輸出序列，其結果與遞推公式求到的序列相同。

例如，在n

=3的線性反饋移位寄存器系統中，設a-3=1，其它都為0，則h(z-1)=1，若ci為{1011}，則f(z--1)=1+z-1+z-2，在這種情況下，按上式做系數除法得到以下結果：91(做系數除法)沖激響應序列4.6.2特征多項式與序列多項式

這個除式無窮下去，它的商為一個周期循環序列，周期為L=7。此序列與表4.4中的輸出序列完全相同。924.6.3m序列的產生條件定理4.6.1

若序列{ak}是n級線性反饋移位寄存器產生的周期最長(L=2n-1)的序列—m序列，則系統的特征多項式應為n次本原多項式。n次本原多項式應滿足以下條件：

此定理描述了產生m序列的充要條件。可以證明，應是既約多項式。如果不是，則產生的序列的周期L<2n-1。93證明：4.6.3m序列的產生條件

既約多項式是指不能再因式分解的多項式。若為n

次可分解的多項式，則此時產生的序列多項式為:94即可視為兩個序列之和。所產生的序列周期。所產生的序列周期。4.6.3m序列的產生條件可見，非既約的不能產生m序列。如：是一個不能產生m序列既約多項式。因為它不僅可以整除，而且還能整除。但既約多項式不一定都能產生序列。兩個周期序列之和的最小周期應為它們的最小公倍數。即95

n次本原多項式可從多項式的分解因式中去尋找。例:

要得到n=4次的本原多項式，可以先將分解為其中本原多項式為：4.6.3m序列的產生條件96n次本原多項式不只一個,其個數可用以下公式求得。式中，是歐拉(Euler)函數，它具有以下性質：4.6.3m序列的產生條件式中，是的素因數；為的重次；為不同素因素的個數。97例：當n=6時，有，而，即有兩個不同的素因素3和7，所以。這時，歐拉函數為本原多項式的個數為

雖然不同的n次本原多項式產生周期相同的序列，但這些序列在元素的排列次序上是不相同的。同長不同宗序列：由不同本原多項式產生的，周期相同，但元素排序不同的序列。

如n=3時，ci為

{1011}或{1101}都可以產生m序列，周期相同，但排序不同。4.6.3m序列的產生條件984.6.3m序列的產生條件994.6.3m序列的產生條件n

系數為1的冪n

系數為1的冪n

系數為1的冪

90,4,9210,2,21310,3,31100,3,10220,1,22350,2,35110,2,11230,5,23390,4,39150,1,15250,3,25410,3,41170,3,17280,3,28470,5,47200,3,20290,2,29520,3,52表4.7較高次n，而項數為3的本原多項式1004.6.4m序列信號單元的性質移位--相加--移位特性（平移等價性）;偽隨機序列性質;雙值自相關特性;m序列是一種十分重要的優選信號。它具有以下性質：(4)具有包線為型線狀功率譜。101

移位--相加--移位特性（平移等價性）;4.6.4m序列信號單元的性質D1輸出的序列為：

01011100101110…，D3輸出的序列為：10010111001011…，001同宗不同相序列：由相同的確定的具有不同相位的循環序列。1024.6.4m序列信號單元的性質

①0101110④1110010

②1011100⑤1100101⑦0010111⑥1001011

與原序列相同③0111001移位--相加--移位性質:將移位以后的兩個m序列模2加，結果仍是一個m

序列。此m序列是原m

序列移位以后產生的序列,即：例：原序列

00101111034.6.4m序列信號單元的性質（2）

m序列的偽隨機序列性質二進制隨機序列（貝努利序列）的性質①均衡性。序列中出現+1和-1的概率各占1/2。②游程特性。游程：指序列中連續出現相同符號的一段。這一段中包括的元素的個數稱為游程長度l。

長度l=1的游程個數趨于游程總數的1/2，長度l=2的游程個數趨于游程總數的…，長度為l的游程個數趨于游程總數的。1044.6.4m序列信號單元的性質③二進制隨機序列的自相關函數為函數。二進制隨機序列的自相關函數定義為：且1054.6.4m序列信號單元的性質①均衡性。

序列中“0”和“1”元素的個數在一個循環周期內趨于相等，只是“1”

的個數比“0”

的個數多1個。m序列的偽隨機性質例如:

n=3，ci

為{1011}時，m

序列一個循環周期為：1001011，其中“1”的個數為4，“0”

的個數為3。

n=4，ci為{10011}時，m序列的一個循環周期為：100110101111000，其中“1”的個數為8，“0”

的個數為7。1064.6.4m序列信號單元的性質長度為l

的游程個數約占游程總數的例:

n=4的m

序列為111100011010010…長度為1的游程數為4個，占總數的4/8=1/2；長度為2的游程數為2個，占總數的1/4；長度為3的游程數為1個，占游程總數的1/=1/8。長度為4（1111）的游程數為1個，不符合這個規律。游程總數：個。②游程特性。游程總數：

有一個長度為n

的連“1”游程

有一個長度為n-1

的連“0”游程1074.6.4m序列信號單元的性質（3）m

序列的雙值自相關特性m序列是周期序列，它的自相關函數可用下式計算，為

自相關系數為或A-D代表原序列與移位序列模2和后新序列中0的個數與1的個數的差值。1084.6.4m序列信號單元的性質1094.6.4m序列信號單元的性質L=7的m序列信號波形及其自相關函數波形1104.6.4m序列信號單元的性質(4)

m

序列具有包絡線為型的線狀功率譜

以圖4.22（c）為例，圖中序列的自相關函數波形可分解為兩個周期三角波的疊加。序列的頻譜是這兩個周期三角波頻譜的相加。ts7tsts1114.6.4m序列信號單元的性質2tpL+1

底寬為2tp，高為h

的等腰三角波的頻譜密度函數為由第二章，得周期三角波的頻譜密度函數為對周期T=LtS

,高為L+1的正三角波來說，其頻譜密度函數為式中

1124.6.4m序列信號單元的性質同理，可得周期T’=ts=T/L

的倒三角波頻譜密度函數為式中,代入上式，得最后，得到m

序列的功率譜為1134.6.4m序列信號單元的性質1144.6.4m序列信號單元的性質1154.6.4m序列信號單元的性質（1）在處，具有線狀譜。（2）在譜線中，每隔次L諧波就出現譜能量減小，能量大小不是按原包絡線規律下降，而僅有原包絡線強度的，形成“缺口”。（3）功率譜包線按變化，在整數倍時出現包絡線的零點。當碼元采用全占空脈沖，即

時，“缺口”與零點重合。討論116由m序列衍生出的一種偽隨機序列具有和m序列類似的偽隨機特性同長度不同序列的個數比m序列多得多

m序列特點：

有優良的自相關特性產生