2025/4/20信息與通信工程學院1

第二章信號分析基礎2025/4/20信息與通信工程學院2本章安排信號分析基礎確定信號分析（第1講）隨機信號分析（第2講）隨機過程的概念及統計描述平穩隨機過程兩個隨機過程之間的統計聯系正態隨機過程平穩隨機過程通過線性系統2025/4/20信息與通信工程學院32.2.1隨機過程的概念及統計描述隨機信號：具有隨機特性（某個參數或幾個參數不能預知或不能完全預知）的信號。確定信號是隨機信號的一種特定形式。隨機信號種類：包含信息的信號、各種干擾（人為干擾、天電干擾）、噪聲（熱噪聲、散彈噪聲）隨機信號和噪聲分析方法：統計學隨機過程理論。2025/4/20信息與通信工程學院4

簡單地說，隨機過程是一種取值隨機變化的時間函數，它不能用確切的時間函數來表示。隨機過程兩層含意：

“隨機”（指取值不確定，僅有取某個值的可能性）；

“過程”（為時間的函數）。隨機過程是隨時間變化的隨機變量的集合，在任意時刻考察隨機過程的值是一個隨機變量。

隨機過程是一個由全部可能的實現（或樣本函數）構成的集合，每個實現都是一個確定的時間函數，而隨機性就體現在出現哪一個實現是不確定的。用或表示。2.2.1隨機過程的概念及統計描述2025/4/20信息與通信工程學院5典型隨機過程---接收機噪聲設進行某一隨機實驗E，是它的樣本空間。如果對每一個樣本來說，總可以按某一規則確定一個時間函數與之對應，那么，對所有的樣本，就得到一簇時間函數，并稱此簇時間函數為隨機過程，其中每個時間函數稱為該隨機過程的樣本函數。數學上可用隨機實驗和樣本空間的概念定義隨機過程。2.2.1隨機過程的概念及統計描述2025/4/20信息與通信工程學院6典型隨機過程---噪聲2.2.1隨機過程的概念及統計描述2025/4/20信息與通信工程學院7歸納起來，隨機過程具有如下特性：（1）取值的隨機性；（2）樣本的確定性。舉例：是一個隨機變量（在t1時刻觀察隨機過程的值）隨機過程的某一個樣本函數為時間的確定函數。為隨機過程。其中，A為常數，為內均勻分布的隨機變量。2.2.1隨機過程的概念及統計描述2025/4/20信息與通信工程學院8（1）取值的隨機性t1=0時，（2）樣本的確定性是一個隨機變量;為時間的確定函數。時，2.2.1隨機過程的概念及統計描述2025/4/20信息與通信工程學院9

隨機過程包含有空間與時間雙重概念。它一方面是各次實現的集合（并列的空間概念），另一方面又是時間的函數（時間的概念）。不過實踐中，不可能得到空間上并列的各樣本函數，而只能得到時間很長的一次實現。因此，可從實踐中容易獲得的一次實現來定義隨機過程，如圖所示。隨機過程的實際定義：2.2.1隨機過程的概念及統計描述2025/4/20信息與通信工程學院10圖中信號是隨機過程的一次實現，它是隨機取值的時間函數，在已經過去的時間上取值已經確定，隨機性消失；在未來的時間點上，取值隨機，是一個隨機變量。該隨機變量取值的分布規律就是隨機過程在該時間上的分布規律。2.2.1隨機過程的概念及統計描述2025/4/20信息與通信工程學院111隨機過程的分布函數和概率密度函數

對隨機變量的性質：

（1）

為不減函數

（2）

a.概率分布函數

b.概率密度函數2025/4/20信息與通信工程學院12

正態隨機變量標準正態隨機變量1隨機過程的分布函數和概率密度函數的性質：（1）為非負函數；（3）時，

（4）若在處連續，則。2025/4/20信息與通信工程學院13

一維概率分布函數一維概率密度函數1隨機過程的分布函數和概率密度函數對隨機過程時，為隨機變量。

一維概率密度函數。

如果存在，則稱為隨機的2025/4/20信息與通信工程學院14

一維概率分布函數及一維概率密度函數描述了隨機過程在固定時刻上的統計特性。解：（其中X

為標準正態分布的隨機變量）故有,隨機過程的一維概率密度函數為：1隨機過程的分布函數和概率密度函數

舉例：求隨機過程的一維概率密度函數。

時，為服從正態分布隨機變量，

其均值為零，方差為。2025/4/20信息與通信工程學院15

二維概率分布函數二維概率密度函數

二維概率分布函數及二維概率密度函數描述了隨機過程在任意兩個時刻上的統計特性。1隨機過程的分布函數和概率密度函數

如果存在，則稱為隨機過程的二維概率密度函數。2025/4/20信息與通信工程學院16

n維概率分布函數n維概率密度函數1隨機過程的分布函數和概率密度函數存在，則稱為隨機過程的n維概率密度函數。如果2025/4/20信息與通信工程學院17

對隨機變量a.

均值（數學期望、一階原點矩）b.

方差（二階原點矩）c.協方差（對隨機變量X、Y）2隨機過程的數字特征

2025/4/20信息與通信工程學院18對隨機過程

（1）隨機過程的數學期望（均值）時，為隨機變量。上式中，t取任意值時，得到隨機過程的數學期望。

為X(t)

在t

時刻的一維概率密度函數。數學期望X(t

)在t

時刻的隨機變量的均值,它表示了隨機過程在各個孤立時刻上的隨機變量的概率分布中心，由一維概率密度函數所決定。2隨機過程的數字特征

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（2）隨機過程的方差時，為隨機變量。上式中，t

取任意值時，得到隨機過程的方差。為X(t)

在

t時刻的一維概率密度函數。

方差表示了隨機過程在各個孤立時刻上的隨機變量對均值的偏離程度。由一維概率密度函數所決定。2隨機過程的數字特征

2025/4/20信息與通信工程學院20J進一步分析，當時，有（平均功率）

隨機過程的均值和方差的含義2隨機過程的數字特征

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（3）隨機過程的自相關函數

均值和方差，僅描述了隨機過程在孤立時刻上的統計特性，它們不能反映出過程內部任意兩個時刻之間的內在聯系，如圖所示。

圖中X(t))和Y(t)具有相同的均值和方差，但統計特性明顯不同。X(t)變化快，Y(t)變化慢，即過程內部任意兩個時刻之間的內在聯系不同或者說過程的自相關函數不同。

X(t)變化快，表明過程內部任意兩個時刻之間波及小，互相依賴弱，即自相關性弱。而Y(t)變化慢，表明隨機過程內部任意兩個時刻之間波及大，互相依賴強，即自相關性強。2隨機過程的數字特征

2025/4/20信息與通信工程學院22相關：指隨機過程在某時刻的取值對下一時刻的取值的影響。影響越大，相關性越強，反之，相關性越弱。隨機過程的協方差函數隨機過程的自相關函數2隨機過程的數字特征

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與的關系隨機過程的協方差函數與自相關函數常記為以下形式：其中，t為考察的起始時刻，為考察的時間間隔。

綜上所述，隨機過程可以用均值、方差及自相關函數等數字特征來描述。在實際系統中遇到的隨機過程，其數字特征的表達往往十分簡潔，因此，用數字特征來描述隨機過程是行之有效的方法。2隨機過程的數字特征

2025/4/20信息與通信工程學院24例2.5

設隨機過程為，試求隨機過程的均值、方差及自相關函數。式中，是一個隨機變量，它在范圍內服從均勻分布，其概率密度函數為

2隨機過程的數字特征

2025/4/20信息與通信工程學院25

解：均值為方差為2隨機過程的數字特征

2025/4/20信息與通信工程學院26自相關函數為

2隨機過程的數字特征

2025/4/20信息與通信工程學院272.2.2平穩隨機過程

隨機過程類型：獨立隨機過程馬爾可夫（Markov）過程獨立增量過程平穩隨機過程等其中平穩隨機過程是應用廣泛的一類隨機過程。2025/4/20信息與通信工程學院28

定義

平穩隨機過程是指過程的任意維概率密度函數與時間的起點無關的隨機過程。即滿足實際中，判斷隨機過程是否平穩，通常不是去找過程的高維分布，而是通過產生的環境條件來判斷。如環境條件不隨時間的變化而改變，則該過程就認為是平穩的。一般地說，通信系統中遇到的隨機信號和噪聲都是平穩隨機過程。含義平穩隨機過程的統計特性不隨時間的變化而改變。2.2.2平穩隨機過程2025/4/20信息與通信工程學院29

一維概率密度函數上式中，令，有

由上式可見，平穩隨機過程的一維概率密度函數與考察時刻無關。即平穩隨機過程在各個孤立時刻服從相同的概率分布。1.平穩隨機過程的統計特性2.2.2平穩隨機過程2025/4/20信息與通信工程學院30

二維概率密度函數上式中，令，有

式中，，為兩個考察時刻之間的時間間隔。

由上可見，平穩隨機過程的二維概率密度函數與時間的起點無關，而僅與時間間隔有關，是的函數。2.2.2平穩隨機過程2025/4/20信息與通信工程學院31

平穩隨機過程的數學期望（均值）平穩隨機過程的方差

（常數）

（常數）2.平穩隨機過程的統計特性2.2.2平穩隨機過程2025/4/20信息與通信工程學院32

平穩隨機過程的自相關函數式中，為考察隨機過程的時間間隔。

由上式可知，平穩隨機過程的自相關函數僅與時間間隔有關，是的函數，而與考察時間起點無關。2.2.2平穩隨機過程2025/4/20信息與通信工程學院33

平穩隨機過程自相關函數主要性質（一）

（1）是的偶函數，即（2）自相關函數具有遞減特性。且當時，有最大值。證明：由于，令，有對平穩隨機過程來說，故，有2.2.2平穩隨機過程2025/4/20信息與通信工程學院34

平穩隨機過程自相關函數主要性質（二）

（3），即為平穩隨機過程的平均功率。（4），即為平穩隨機過程的直流功率。

由于證明：

，與之間的相關性消失，即它們互相獨立。

所以

（5），即為平穩隨機過程的方差。由方差表示式，有：2.2.2平穩隨機過程2025/4/20信息與通信工程學院35

隨機過程的數學期望及方差與時間無關，自相關函數僅與時間間隔有關。

隨機過程滿足任意維概率密度函數與時間的起點無關。

狹義平穩隨機過程一定是廣義平穩隨機過程，但反之不一定成立。（正態隨機過程例外）狹義平穩隨機過程（窄平穩隨機過程）：廣義平穩隨機過程（寬平穩隨機過程）：2.2.2平穩隨機過程2025/4/20信息與通信工程學院36

隨機過程的時間平均3.平穩隨機過程的各態歷經性集合平均（統計平均）：對隨機過程所有的樣本函數求統計平均。時間平均：對隨機過程的一個樣本函數求平均。時間均值，記為或，定義為時間方差，記為或，定義為2025/4/20信息與通信工程學院37

時間自相關函數，記為或，定義為

對一般平穩隨機過程，其數字特征往往可以用過程的一個樣本函數的時間平均來代替，即滿足以下關系：平穩隨機過程的各態歷經性

3.平穩隨機過程的各態歷經性2025/4/20信息與通信工程學院38

對隨機過程中的任意一實現（樣本函數）來說，它好像經歷了隨機過程中所有可能的狀態一樣。

“各態歷經性”將求隨機過程數字特征時的集合平均（統計平均簡化為一個樣本函數的時間平均了。例如，對各態歷經過程來說，由于“各態歷經性”（或“遍歷性”）的含義：故樣本函數的平均功率即為隨機過程的平均功率。3.平穩隨機過程的各態歷經性2025/4/20信息與通信工程學院39

滿足各態歷經性條件：注意：具有各態歷經性的隨機過程一定是平穩隨機過程，但平穩隨機過程不一定都具有各態歷經性。

一般來說，通信系統中遇到的隨機信號或噪聲均能滿足該條件，因此以后將它們都視為各態歷經平穩隨機過程。3.平穩隨機過程的各態歷經性2025/4/20信息與通信工程學院40

維納—欣欽(Wiener-Khintchine)定理

平穩隨機過程的自相關函數與功率譜密度是一對傅里葉變換，即它們之間有以下關系：

式中，，為隨機過程的功率譜密度函數。注:NorbertWiener(1894-1964),AmericanMathematicianA.I.Khintchine(1894-1959),GermanMathematician4.維納-欣欽定理2025/4/20信息與通信工程學院41

試求該隨機過程的功率譜密度及平均功率。例2.6

已知平穩隨機過程的自相關函數為，解：由維納—欣欽定理，隨機過程功率譜密度為平均功率為4.維納-欣欽定理2025/4/20信息與通信工程學院42

為定量描述平穩隨機過程的相關性與頻帶之間的關系，常使用自相關時間和等效帶寬的概念。它們的含義如下：（1）自相關時間由于，故因而

的含義：以為高作一矩形，并使矩形面積與曲線下的面積相等時，對應的矩形寬度值的一半。4.維納-欣欽定理2025/4/20信息與通信工程學院43

（2）等效帶寬由于，故因而

的含義：以為高作一矩形，并使矩形面積與曲線下的面積相等時，對應的矩形寬度值的一半。4.維納-欣欽定理2025/4/20信息與通信工程學院44

自相關時間與等效帶寬之間的關系

這說明在相同的情況下，自相關時間越小，過程占有頻帶越寬；相反，自相關時間越大，過程占有頻帶越窄。對不同的隨機過程，可通過它們各自的自相關時間及等效帶寬來比較它們的相關性。4.維納-欣欽定理2025/4/20信息與通信工程學院45

極端情況1：非自相關過程。即自相關性最弱，占有帶寬最大（無窮寬），包含有自零至無窮大的所有頻譜分量，這如同白光中包含所有可見光譜一樣，所以，非自相關過程又稱為白色隨機過程。自相關函數為功率譜密度為自相關函數為極端情況2：直流信號。功率譜密度為4.維納-欣欽定理2025/4/20信息與通信工程學院46

2.2.3兩個隨機過程之間的統計聯系

實際中，常需要研究兩個或多個隨機過程同時出現的情況。例如，在信號接收時，接收到的信號往往是有用信號與噪聲的混合信號，即

這里，有用信號x(t)與噪聲n(t)都是隨機過程。因此有必要研究多個隨機過程之間的聯合統計特性。這里僅討論兩個隨機過程之間的統計聯系。2025/4/20信息與通信工程學院47

1聯合分布函數和聯合概率密度函數

則稱為X(t)、Y(t)

的

n+m維聯合概率密度函數。X(t)

和Y(t)的n+m維聯合分布函數X(t)

和Y(t)

的n+m

維聯合概率密度函數如果2025/4/20信息與通信工程學院48

X(t)

和Y(t)

統計獨立X(t)

和Y(t)聯合平穩

若隨機過程X(t)

和Y(t)任意n+m

維聯合概率密度函數與時間的起點無關，則稱隨機過程X(t)

和Y(t)是平穩相聯系的。

若隨機過程X(t)

和Y(t)的各時間平均值等于各自的統計平均值，則稱隨機過程X(t)

和Y(t)具有聯合各態歷經性。X(t)

和Y(t)聯合各態歷經性1聯合分布函數和聯合概率密度函數2025/4/20信息與通信工程學院49

隨機過程X(t)

和Y(t)的互相關函數如果X(t)

和Y(t)都是平穩隨機過程，且是平穩相聯系的，則

如果X(t)

和Y(t)是統計獨立的，則有2互相關函數2025/4/20信息與通信工程學院50

X(t)

和Y(t)的互協方差函數

由X(t)

和Y(t)

統計獨立的條件，可知如果X(t)

和Y(t)

統計獨立，則它們一定是互不相關的。X(t)

和Y(t)互不相關互不相關與統計獨立的關系：兩個隨機過程如果統計獨立，則它們一定互不相關。但互不相關的兩個隨機過程，不一定統計獨立。（正態隨機過程例外）2互相關函數2025/4/20信息與通信工程學院51

X(t)

和Y(t)互相關函數的性質對平穩相聯系的隨機過程X(t)

和Y(t)

來說互譜密度函數2互相關函數2025/4/20信息與通信工程學院52

x(t)和n(t)均為平穩隨機過程，且平穩相聯系。例：考慮有用信號與噪聲之和S(t)自相關函數為

于是通常認為x(t)與n(t)之間是統計獨立的，且故有2互相關函數2025/4/20信息與通信工程學院53

正態隨機過程又稱為高斯(Gaussian)

隨機過程，是一種常見而又重要的隨機過程。2.2.4正態隨機過程典型的正態隨機過程：通信系統中的噪聲。1正態隨機過程的定義2正態隨機過程的性質2025/4/20信息與通信工程學院54

1正態隨機過程的定義

如果隨機過程任意維概率密度函數都服從正態分布，則稱此隨機過程為正態隨機過程。其n維概率密度函數為式中，為在時刻的均值；為在時刻的方差；為歸一化協方差矩陣行列式，即2025/4/20信息與通信工程學院55

其中，為歸一化協方差系數；為

為行列式中元素的代數余子式。1正態隨機過程的定義2025/4/20信息與通信工程學院56

標準正態分布：，正態隨機過程一維概率密度函數：1正態隨機過程的定義2025/4/20信息與通信工程學院57

正態隨機過程如果是廣義平穩的，則也是狹義平穩的。正態隨機過程的線性變換仍是正態隨機過程。參考下式參考下式中心極限定理為正態隨機過程。2正態隨機過程的定義2025/4/20信息與通信工程學院58

如果兩個正態隨機過程互不相關，則它們也統計獨立。以X(t)、Y(t)二維聯合概率密度函數為例

（互不相關）歸一化協方差系數2正態隨機過程的定義2025/4/20信息與通信工程學院59

由于2正態隨機過程的定義2025/4/20信息與通信工程學院60

2.2.5平穩隨機過程通過線性系統線性系統對確定信號

對隨機過程

設輸入隨機過程是平穩的，輸出隨機過程是否也平穩？數字特征又怎樣？問題：2025/4/20信息與通信工程學院61

1.輸出隨機過程數學期望

由于是平穩的，所以，故2.輸出隨機過程的自相關函數（）2.2.5平穩隨機過程通過線性系統2025/4/20信息與通信工程學院62

式中，

為輸入平穩隨機過程的自相關函數。于是有

上式表明，輸出隨機過程自相關函數僅為時間間隔的函數，而與時間起點無關。因此，輸出隨機過程是平穩隨機過程，至少是廣義平穩的。2.2.5平穩隨機過程通過線性系統2025/4/20信息與通信工程學院63

3.輸出隨機過程的功率譜密度由維納—欣欽定理

令2.2.5平穩隨機過程通過線性系統2025/4/20信息與通信工程學院64

例2.7

設功率譜密度為（常數）的白色隨機過程（白噪聲）通過帶寬為B的理想低通濾波器，如圖所