試題PAGE1試題2024北京首都師大附中初一（下）期中數(shù)學(xué)第I卷（共20分）一、選擇題（共20分，每題2分）第1-10題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.下列數(shù)中，無理數(shù)的是（）A.π B. C. D.3.14159262.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列各式中，正確的是（）A. B. C. D.4.若，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.5.下列各組數(shù)是二元一次方程的解的是（）A. B. C. D.6.如圖，直線相交于點(diǎn)，，下列說法錯誤的是（）A. B.C. D.7.不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A. B.C. D.8.如圖，直線，，則的大小為（）A. B. C. D.9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，軸，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C.或 D.或10.為了培養(yǎng)“成達(dá)好習(xí)慣”，小李同學(xué)根據(jù)自身情況制定了跑步計劃，每天有“低強(qiáng)度”“高強(qiáng)度”“休息”三種方案，下表對應(yīng)了每天不同方案的跑步距離（單位：）．第1天第2天第3天第4天第5天低強(qiáng)度25002200200015001600高強(qiáng)度34004000450040002500休息00000小李定下了以下規(guī)則：若當(dāng)天選擇“高強(qiáng)度”方案，則要求前一天必須休息（第1天可選擇“高強(qiáng)度”方案)；第1天不休息且不能連續(xù)兩天都休息．小李根據(jù)計劃進(jìn)行了5天跑步鍛煉，下列結(jié)論錯誤的是（）A.若小李每天都選擇“低強(qiáng)度”方案，則他這5天共跑步B.若小李第4天休息，則他這5天最多跑步C.小李這5天最少跑步D.小李這5天最多跑步第II卷（共80分）二、填空題（共12分，每題2分）11.4的平方根是_______．12.若關(guān)于x的方程kx－1＝2x的解為正數(shù)，則k的取值范圍是________．13.用一個的值說明命題“如果，那么”是假命題，這個值可以是_________．14.如圖，小方同學(xué)位于玉淵潭公園，小程同學(xué)在小方北側(cè)1800米處的花園橋．兩人同時出發(fā)相向而行，10分鐘后相遇；兩人同時向北而行，小方90分鐘后追上小程．設(shè)小方的平均速度為米/分鐘，小程的平均速度為米/分鐘，則根據(jù)題意可列方程組_________．15.如圖，把一張長方形紙條沿折疊，若，則_________°．16.在平面直角坐標(biāo)系中，記橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)．將一個整點(diǎn)先沿任一坐標(biāo)軸方向平移2個單位，再沿與前一次平移垂直的方向平移1個單位，叫做一次“跳馬運(yùn)動”．例如：如圖，點(diǎn)做一次“跳馬運(yùn)動”，可以到達(dá)點(diǎn)，但是到達(dá)不了點(diǎn)．點(diǎn)從原點(diǎn)處開始做“跳馬運(yùn)動”，下面三個結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是_________．①進(jìn)行一次“跳馬運(yùn)動”可能到達(dá)的點(diǎn)有8個；②進(jìn)行三次“跳馬運(yùn)動”后可以到達(dá)；③進(jìn)行四次“跳馬運(yùn)動”后可以到達(dá)．三、解答題（共68分，第17題5分，第18題8分，第19-25題，每題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）17.計算：18.解下列方程組：（1）（2）19.解不等式組：，并求出它的整數(shù)解．20.按要求完成下列證明：已知：如圖，在中，于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且．求證：DEBC．證明：（已知）．____．（垂直的定義）_____．（已知）．_________）．DEBC（_____）．21.如圖，相交于點(diǎn)，，平分，過點(diǎn)作的垂線，點(diǎn)是垂線上的點(diǎn)，點(diǎn)在直線的上方，點(diǎn)在直線的下方，連接線段．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）線段與長度的大小關(guān)系為：，（填“>”“=”或“<”）依據(jù)是__________________；（3）求的大?。?2.為慶祝建校110周年，“朝陽紅”的同學(xué)們想利用“青年創(chuàng)客空間”的激光雕刻機(jī)制作一批文創(chuàng)產(chǎn)品，下圖是他們設(shè)計的部分圖案.已知圖中的小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，點(diǎn)和點(diǎn)分別是“正”和“志”上的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）在圖中畫出平面直角坐標(biāo)系；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為_________________；（3）平移圖中的“正志”使點(diǎn)與點(diǎn)重合，在圖中畫出點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的位置，點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.（1）直接寫出三角形的面積；（2）點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的一半，求點(diǎn)的坐標(biāo)．24.為了籌備第十八屆春季越野比賽，學(xué)校計劃購買甲、乙兩種紀(jì)念品．已知購買7件甲種紀(jì)念品和2件乙種紀(jì)念品需用25元，購買5件甲種紀(jì)念品和4件乙種紀(jì)念品需用23元．（1）求每件甲種紀(jì)念品和每件乙種紀(jì)念品各多少元；（2）若學(xué)校購買甲、乙兩種紀(jì)念品共1000件，總費(fèi)用不超過2800元，那么最多可以購買甲種紀(jì)念品多少件？25.小李同學(xué)探索的近似值的過程如下：∵面積為137的正方形的邊長是且，∴設(shè)，其中，畫出示意圖，如圖所示．根據(jù)示意圖，可得圖中正方形的面積又∵∴，當(dāng)時，可忽略，得，解得，∴（1）的整數(shù)部分為______________；（2）仿照小李的探索過程，求的近似值．（畫出示意圖，標(biāo)注數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）26.對于兩個關(guān)于的不等式，同時滿足這兩個不等式的的值中，有且僅有個整數(shù)，則稱這兩個不等式是“關(guān)聯(lián)”的．例如不等式和不等式是“關(guān)聯(lián)”的．（1）請判斷不等式和是否是“關(guān)聯(lián)”的，并說明理由；（2）若和是“關(guān)聯(lián)”的，求的最大值；（3）若不等式和是“關(guān)聯(lián)”的，直接寫出的值．27.已知定點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，直線在直線的下方，，點(diǎn)是這兩條直線之間的一個動點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上，滿足．（1）如圖1，當(dāng)時，是線段與直線的夾角，求的大?。唬?）過點(diǎn)作平分的直線，若直線，直接寫出的大小；若直線與直線相交于點(diǎn)，當(dāng)時，直接寫出的大?。?8.將平面直角坐標(biāo)系的縱軸繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到斜坐標(biāo)系．如圖1，在斜坐標(biāo)系中，對于該平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸，軸的平行線，與兩軸交點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)分別為與，則稱有序數(shù)對為點(diǎn)的坐標(biāo)．對于任意兩點(diǎn)，和常數(shù)，定義為點(diǎn)與的“度量”．如圖2，在斜坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，回答下列問題：（1）點(diǎn)與點(diǎn)的“度量”為____________；（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸的直線．當(dāng)時，直接寫出直線上與點(diǎn)的“度量”為2的點(diǎn)的坐標(biāo)；若直線上存在與點(diǎn)的“度量”為2的點(diǎn)，直接寫出的取值范圍；（3）已知點(diǎn)，，若線段上存在點(diǎn)，在線段上存在點(diǎn)，使得，直接寫出的取值范圍．

參考答案第I卷（共20分）一、選擇題（共20分，每題2分）第1-10題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.【答案】A【分析】根據(jù)無理數(shù)即為無限不循環(huán)小數(shù)逐一判斷即可．【詳解】解：A、是無理數(shù)，故符合題意；B、，是整數(shù)，不是無理數(shù)，故不符合題意；C、，是整數(shù)，不是無理數(shù)，故不符合題意；D、3.1415926是有限小數(shù)，不是無理數(shù)，故不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查的是無理數(shù)的判斷，掌握無理數(shù)即為無限不循環(huán)小數(shù)是解題關(guān)鍵．2.【答案】D【分析】根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行判斷即可得.【詳解】因則點(diǎn)位于第四象限故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系象限的性質(zhì)，象限的符號規(guī)律：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，熟記象限的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.3.【答案】A【分析】本題考查了平方根的求解，算術(shù)平方根的求解，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)乘方，算術(shù)平方根，平方根的求解方法進(jìn)行計算判斷即可．【詳解】解：A、，正確，符合題意；B、，原計算錯誤，不符合題意；C、，原計算錯誤，不符合題意；D、，原計算錯誤，不符合題意；故選：A．4.【答案】B【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，利用不等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)是：不等式的兩邊都加（或減）同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變；不等式的性質(zhì)是：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的性質(zhì)是：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，逐項進(jìn)行分析判斷即可．【詳解】解：A、，，原不等式不正確，不符合題意；B、，，，正確，符合題意；C、，，原不等式不正確，不符合題意；D、，，原不等式不正確，不符合題意；故選：B．5.【答案】C【分析】將選項中的解分別代入方程2x﹣y＝5，使方程成立的即為所求．【詳解】解：A、把代入方程，，不滿足題意；B、把代入方程，，不滿足題意；C、把代入方程，，滿足題意；D、把代入方程，，不滿足題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．能正確掌握方程的解得概念是解答此題的關(guān)鍵．6.【答案】C【分析】本題考查了垂線，對頂角，鄰補(bǔ)角，根據(jù)垂線，對頂角，鄰補(bǔ)角的定義逐項進(jìn)行分析判斷即可．【詳解】解：A、直線相交于點(diǎn)，（對頂角相等），故本選項說法正確，不符合題意；B、直線相交于點(diǎn)，（對頂角相等），，，故本選項說法正確，不符合題意；C、無法判斷與是否相等，故原說法錯誤，符合題意；D、三點(diǎn)共線，，故本選項說法正確，不符合題意；故選：C．7.【答案】B【分析】本題考查了求不等式組解集，在數(shù)軸上表示不等式解集，分別求出不等式①②的值，得到不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出不等式解集即可．【詳解】解：解不等式①，得：，不等式②為：，不等式解集為：，解集在數(shù)軸上表示為：，故選：B．8.【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，對頂角相等，先根據(jù)兩直線平行同位角相等求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出的度數(shù)，最后根據(jù)對頂角相等即可求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，，，，，．故選：C．9.【答案】D【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，根據(jù)軸，可得B點(diǎn)縱坐標(biāo)，再根據(jù)，可以得到B點(diǎn)位于A左右兩邊的兩個坐標(biāo)點(diǎn)．【詳解】解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，軸，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等為3，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故選：D．10.【答案】D【分析】本題考查了【詳解】解：A.若小李每天都選擇“低強(qiáng)度”方案，5天共跑步：，結(jié)論正確，故不符合題意；B.“高強(qiáng)度”要求前一天必須“休息”，當(dāng)“高強(qiáng)度”的徒步距離前一天“低強(qiáng)度”距離+當(dāng)天“低強(qiáng)度”距離時選擇“高強(qiáng)度”能使徒步距離最遠(yuǎn)，若小李第天休息，，可以第天高強(qiáng)度，第天休息，第天高強(qiáng)度，第天休息，第天高強(qiáng)度，此時跑步最遠(yuǎn)：，結(jié)論正確，故不符合題意；C.安排：第天低強(qiáng)度，第天休息，第天低強(qiáng)度，第天低強(qiáng)度，第天休息，此時跑步最少：，結(jié)論正確，故不符合題意；D.由選項B得：第天高強(qiáng)度，第天低強(qiáng)度，第天休息，第天高強(qiáng)度，第天低強(qiáng)度，此時跑步最遠(yuǎn)：，結(jié)論錯誤，故符合題意；故選：D．第II卷（共80分）二、填空題（共12分，每題2分）11.【答案】±2【詳解】解：∵，∴4的平方根是±2．故答案為±2．12.【答案】k＞2．【分析】先解方程，然后根據(jù)解為正實(shí)數(shù)，可以得到關(guān)于k的不等式，從而可以確定出k的范圍．【詳解】∵kx﹣1=2x，∴（k﹣2）x=1，解得，x=，∵關(guān)于x的方程kx﹣1=2x的解為正實(shí)數(shù)，∴＞0，解得，k＞2，故答案為k＞2．考點(diǎn)：一元一次方程的解．13.【答案】1（答案不唯一）【分析】本題考查的是命題的證明和判斷，有理數(shù)乘方計算，根據(jù)有理數(shù)的乘方法則計算，判斷即可得出結(jié)果．【詳解】解：當(dāng)時，，，“如果，那么”是假命題，故答案為：1（答案不唯一）．14.【答案】【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，根據(jù)小程同學(xué)在小方北側(cè)1800米處的花園橋，兩人同時出發(fā)相向而行，10分鐘后相遇；兩人同時向北而行，小方90分鐘后追上小程，可列方程組求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，故答案為：．15.【答案】【分析】此題要求的度數(shù)，可先求得其鄰補(bǔ)角的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”以及折疊的性質(zhì)就可求解的度數(shù)．【詳解】解：四邊形是長方形，，，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）由折疊得：，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，正確觀察圖形，熟練掌握平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵．16.【答案】①②【分析】本題考查了坐標(biāo)的平移，根據(jù)題中“跳馬運(yùn)動”的移動規(guī)則逐項進(jìn)行分析判斷即可，熟練掌握坐標(biāo)移動規(guī)則是解題關(guān)鍵．【詳解】解：①由題可知，進(jìn)行一次跳馬運(yùn)動，首先沿任一坐標(biāo)軸方向平移2個單位，可以到達(dá)，，，四個點(diǎn)，再沿與前一次平移垂直的方向平移1個單位，以上4個點(diǎn)都有向上或向下2種情況，故可能到達(dá)的點(diǎn)有8個，故①正確；②，可以先向下平移2各單位，再向右平移到，再向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到，第三次向左平移2個單位，再向上平移1各單位得到，故②正確；③按照規(guī)則如何移動四次都無法到達(dá)，故③錯誤，綜上所述正確的有：①②，故答案為：①②．三、解答題（共68分，第17題5分，第18題8分，第19-25題，每題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）17.【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，求一個數(shù)的立方根，化簡絕對值，根據(jù)有理數(shù)的乘方，算術(shù)平方根，立方根，化簡絕對值，計算各項再計算計算加法即可．【詳解】解：．18.【答案】（1）（2）【分析】（1）用代入消元法解方程組；（2）用加減消元法解方程組．【小問1詳解】解：把代入，得，，把代入，得，故原方程組的解為；【小問2詳解】解：，得，把代入，得，故原方程組的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了用加減消元法和代入消元法解二元一次方程組的能力，熟練掌握并求出方程組的解是本題的關(guān)鍵．19.【答案】它的整數(shù)解為x=3或4．【分析】先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分即可得到不等式組的解集，然后找出其中的整數(shù)解即可．【詳解】解不等式①，得x＞2，解不等式②，得x≤4，故原不等式組的解集為2＜x≤4．故它的整數(shù)解為x=3或4．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分．不等式組解集的確定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解．20.【答案】；；，同角的余角相等；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【分析】直接利用平行線的判定方法結(jié)合垂直的定義分析即得出答案．【詳解】解：證明：（已知），（垂直的定義），，（已知），（同角的余角相等），（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故答案為：；；，同角的余角相等；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定，正確掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．21.【答案】（1）見詳解（2）>，垂線段最短（3）【分析】本題考查的是點(diǎn)到直線的距離，垂線的定義，角平分線的定義，掌握點(diǎn)到直線的距離是解題的關(guān)鍵（1）根據(jù)題意的描述語言進(jìn)行作圖，即可作答．；（2）根據(jù)垂線段最短解答即可；（3）根據(jù)垂直的定義和角之間的關(guān)系解答即可．【小問1詳解】解：如圖所示：【小問2詳解】解：結(jié)合（1）的圖得比較與的大小為：，是因為垂線段最短；故答案為：垂線段最短；【小問3詳解】解：∵，平分，∴，∴．∴．22.【答案】（1）見解析（2）（3）【分析】本題考查了建立直角坐標(biāo)系，寫出直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出平移方式，根據(jù)平移方式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)確做出直角坐標(biāo)系，是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為建立直角坐標(biāo)系即可；（2）根據(jù)坐標(biāo)系直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)重合求出平移方式，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【小問1詳解】解：根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為建立直角坐標(biāo)系如下：【小問2詳解】由直角坐標(biāo)系可知，故答案為：；【小問3詳解】平移圖中的“正志”使點(diǎn)與點(diǎn)重合，圖形向右平移3個單位，向下平移7各單位，則向右平移3個單位，向下平移7各單位，得到，故答案為：．23.【答案】（1）7（2）或【分析】本題考查了利用網(wǎng)格求三角形面積，求直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）利用網(wǎng)格求三角形面積即可；（2）根據(jù)點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，先求出縱坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積是三角形面積的一半，求出兩種情況的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)即可．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】在x軸上，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0，，，的坐標(biāo)為或．24.【答案】（1）每件甲種紀(jì)念品為3元，每件乙種紀(jì)念品為2元（2）最多可以購買甲種紀(jì)念品件【分析】本題考查了一元二次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組是解答本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)每件甲種紀(jì)念品為x元，每件乙種紀(jì)念品為y元，根據(jù)購買7件甲種紀(jì)念品和2件乙種紀(jì)念品需用25元，購買5件甲種紀(jì)念品和4件乙種紀(jì)念品需用23元列出方程組進(jìn)行解答即可；（2）設(shè)購買甲種紀(jì)念品m件，則購買乙種紀(jì)念品為件，根據(jù)總費(fèi)用不超過2800元，列出不等式進(jìn)行求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)每件甲種紀(jì)念品為x元，每件乙種紀(jì)念品為y元，根據(jù)題意得，解得：，，答：每件甲種紀(jì)念品為3元，每件乙種紀(jì)念品為2元；【小問2詳解】設(shè)購買甲種紀(jì)念品m件，則購買乙種紀(jì)念品為件，，解得：，答：最多可以購買甲種紀(jì)念品件．25.【答案】（1）12（2）示意圖見解析，【分析】本題考查了估計無理數(shù)的大小，理解示例并合理解答是解題關(guān)鍵．（1）判斷出，即可解答；（2）仿造示例畫出圖形，可得，即可解答．【小問1詳解】解：，的整數(shù)部分為，故答案為：12；【小問2詳解】示意圖如圖所示：面積為的正方形邊長為，且，設(shè)，其中根據(jù)示意圖，可得圖中正方形面積為，，當(dāng)時，可忽略，得：，解得：，即．26.【答案】（1）是“關(guān)聯(lián)”的，理由見詳解（2）（3）【分析】本題考查了新定義：兩個不等式是“關(guān)聯(lián)”的，求一元一次不等式組整數(shù)解；（1）分別解出兩個不等式，找出公共解，由新定義進(jìn)行判斷，即可求解；（2）分別解出兩個不等式，找出公共解，由新定義進(jìn)行判斷出，即可求解；（3）分別解出兩個不等式，由新定義進(jìn)行判斷出當(dāng)時，，可判斷，由新定義可得，分類討論①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，即可求解．理解新定義，能根據(jù)新定義進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：是“關(guān)聯(lián)”的，理由如下：由得，，由得，，，同時滿足這兩個不等式的的值中，有且僅有個整數(shù)，兩個不等式是“關(guān)聯(lián)”的；【小問2詳解】解：由得，，和是“關(guān)聯(lián)”的，和是“關(guān)聯(lián)”的，，解得：，的最大值是；【小問3詳解】解：由得，，由得，，是“關(guān)聯(lián)”的，當(dāng)時，，此時是“關(guān)聯(lián)”的，故矛盾，，，且為整數(shù)，，解得：，