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文檔簡介
2025年安徽省安慶市桐城二中重點名校初三下學(xué)期自測卷(三)線下考試數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1.共享單車已經(jīng)成為城市公共交通的重要組成部分,某共享單車公司經(jīng)過調(diào)查獲得關(guān)于共享單車租用行駛時間的數(shù)據(jù),并由此制定了新的收費標(biāo)準(zhǔn):每次租用單車行駛a小時及以內(nèi),免費騎行;超過a小時后,每半小時收費1元,這樣可保證不少于50%的騎行是免費的.制定這一標(biāo)準(zhǔn)中的a的值時,參考的統(tǒng)計量是此次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的()A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差2.下列說法中正確的是()A.檢測一批燈泡的使用壽命適宜用普查.B.拋擲一枚均勻的硬幣,正面朝上的概率是,如果拋擲10次,就一定有5次正面朝上.C.“367人中有兩人是同月同日生”為必然事件.D.“多邊形內(nèi)角和與外角和相等”是不可能事件.3.下列二次根式中,為最簡二次根式的是()A. B. C. D.4.-3的相反數(shù)是()A. B.3 C. D.-35.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,菱形AOBC的一個頂點O在坐標(biāo)原點,一邊OB在x軸的正半軸上,sin∠AOB=,反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點A,與BC交于點F,則△AOF的面積等于()A.30 B.40 C.60 D.806.如圖,在△ABC中,點D在BC上,DE∥AC,DF∥AB,下列四個判斷中不正確的是()A.四邊形AEDF是平行四邊形B.若∠BAC=90°,則四邊形AEDF是矩形C.若AD平分∠BAC,則四邊形AEDF是矩形D.若AD⊥BC且AB=AC,則四邊形AEDF是菱形7.在函數(shù)y=中,自變量x的取值范圍是()A.x≥0 B.x≤0 C.x=0 D.任意實數(shù)8.如圖,已知AB∥CD,DE⊥AC,垂足為E,∠A=120°,則∠D的度數(shù)為()A.30° B.60° C.50° D.40°9.如圖,在⊙O中,直徑CD⊥弦AB,則下列結(jié)論中正確的是A.AC=AB B.∠C=∠BOD C.∠C=∠B D.∠A=∠B0D10.甲、乙、丙三家超市為了促銷同一種定價為m元的商品,甲超市連續(xù)兩次降價20%;乙超市一次性降價40%;丙超市第一次降價30%,第二次降價10%,此時顧客要購買這種商品,最劃算的超市是()A.甲 B.乙 C.丙 D.都一樣11.如圖,O為直線AB上一點,OE平分∠BOC,OD⊥OE于點O,若∠BOC=80°,則∠AOD的度數(shù)是()A.70° B.50° C.40° D.35°12.如圖,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點D是BC邊的中點,分別以B、C為圓心,大于線段BC長度一半的長為半徑圓弧,兩弧在直線BC上方的交點為P,直線PD交AC于點E,連接BE,則下列結(jié)論:①ED⊥BC;②∠A=∠EBA;③EB平分∠AED;④ED=AB中,一定正確的是()A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13.廢舊電池對環(huán)境的危害十分巨大,一粒紐扣電池能污染600立方米的水(相當(dāng)于一個人一生的飲水量).某班有50名學(xué)生,如果每名學(xué)生一年丟棄一粒紐扣電池,且都沒有被回收,那么被該班學(xué)生一年丟棄的紐扣電池能污染的水用科學(xué)記數(shù)法表示為_____立方米.14.有五張分別印有等邊三角形、正方形、正五邊形、矩形、正六邊形圖案的卡片(這些卡片除圖案不同外,其余均相同).現(xiàn)將有圖案的一面朝下任意擺放,從中任意抽取一張,抽到卡片的圖案既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形的概率為_____.15.分解因式2x2﹣4x+2的最終結(jié)果是_____.16.在數(shù)軸上與所對應(yīng)的點相距4個單位長度的點表示的數(shù)是______.17.菱形ABCD中,,其周長為32,則菱形面積為____________.18.如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,⊙B的半徑為2,點P是⊙B上的一個動點,則PD﹣PC的最大值為_____.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.(6分)某景區(qū)門票價格80元/人,景區(qū)為吸引游客,對門票價格進行動態(tài)管理,非節(jié)假日打a折,節(jié)假日期間,10人以下(包括10人)不打折,10人以上超過10人的部分打b折,設(shè)游客為x人,門票費用為y元,非節(jié)假日門票費用y1(元)及節(jié)假日門票費用y2(元)與游客x(人)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.(1)a=,b=;(2)確定y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式:(3)導(dǎo)游小王6月10日(非節(jié)假日)帶A旅游團,6月20日(端午節(jié))帶B旅游團到該景區(qū)旅游,兩團共計50人,兩次共付門票費用3040元,求A、B兩個旅游團各多少人?20.(6分)列方程解應(yīng)用題:某市今年進行水網(wǎng)升級,1月1日起調(diào)整居民用水價格,每立方米水費上漲,小麗家去年12月的水費是15元,而今年5月的水費則是30元.已知小麗家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求該市今年居民用水的價格.21.(6分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OCDE的三個頂點分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4).點A在DE上,以A為頂點的拋物線過點C,且對稱軸x=1交x軸于點B.連接EC,AC.點P,Q為動點,設(shè)運動時間為t秒.(1)求拋物線的解析式.(2)在圖①中,若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動,同時,點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動,當(dāng)一個點到達終點時,另一個點隨之停止運動.當(dāng)t為何值時,△PCQ為直角三角形?(3)在圖②中,若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動,過點P做PF⊥AB,交AC于點F,過點F作FG⊥AD于點G,交拋物線于點Q,連接AQ,CQ.當(dāng)t為何值時,△ACQ的面積最大?最大值是多少?22.(8分)“不出城郭而獲山水之怡,身居鬧市而有林泉之致”,合肥市某區(qū)不斷推進“園林城市”建設(shè),今春種植了四類花苗,園林部門從種植的這批花苗中隨機抽取了2000株,將四類花苗的種植株數(shù)繪制成扇形統(tǒng)計圖,將四類花苗的成活株數(shù)繪制成條形統(tǒng)圖.經(jīng)統(tǒng)計這批2000株的花苗總成活率為90%,其中玉蘭和月季的成活率較高,根據(jù)圖表中的信息解答下列問題:扇形統(tǒng)計圖中玉蘭所對的圓心角為,并補全條形統(tǒng)計圖;該區(qū)今年共種植月季8000株,成活了約株;園林部門決定明年從這四類花苗中選兩類種植,請用列表法或畫樹狀圖求恰好選到成活率較高的兩類花苗的概率.23.(8分)如圖,?ABCD的邊CD為斜邊向內(nèi)作等腰直角△CDE,使AD=DE=CE,∠DEC=90°,且點E在平行四邊形內(nèi)部,連接AE、BE,求∠AEB的度數(shù).24.(10分)某科技開發(fā)公司研制出一種新型產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為2500元,銷售單價定為3200元.在該產(chǎn)品的試銷期間,為了促銷,鼓勵商家購買該新型品,公司決定商家一次購買這種新型產(chǎn)品不超過10件時,每件按3200元銷售:若一次購買該種產(chǎn)品超過10件時,每多購買一件,所購買的全部產(chǎn)品的銷售單價均降低5元,但銷售單價均不低于2800元.商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時,銷售單價恰好為2800元?設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品x件,開發(fā)公司所獲的利潤為y元,求y(元)與x(件)之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn):當(dāng)商家一次購買產(chǎn)品的件數(shù)超過某一數(shù)量時,會出現(xiàn)隨著一次購買的數(shù)量的增多,公司所獲的利潤反而減少這一情況.為使商家一次購買的數(shù)量越多,公司所獲的利潤越大,公司應(yīng)將最低銷售單價調(diào)整為多少元?(其它銷售條件不變)25.(10分)(問題情境)張老師給愛好學(xué)習(xí)的小軍和小俊提出這樣的一個問題:如圖1,在△ABC中,AB=AC,點P為邊BC上任一點,過點P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分別為D,E,過點C作CF⊥AB,垂足為F,求證:PD+PE=CF.小軍的證明思路是:如圖2,連接AP,由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得:PD+PE=CF.小俊的證明思路是:如圖2,過點P作PG⊥CF,垂足為G,可以證得:PD=GF,PE=CG,則PD+PE=CF.[變式探究]如圖3,當(dāng)點P在BC延長線上時,其余條件不變,求證:PD﹣PE=CF;請運用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方法完成下列兩題:[結(jié)論運用]如圖4,將矩形ABCD沿EF折疊,使點D落在點B上,點C落在點C′處,點P為折痕EF上的任一點,過點P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分別為G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值;[遷移拓展]圖5是一個航模的截面示意圖.在四邊形ABCD中,E為AB邊上的一點,ED⊥AD,EC⊥CB,垂足分別為D、C,且AD?CE=DE?BC,AB=2dm,AD=3dm,BD=dm.M、N分別為AE、BE的中點,連接DM、CN,求△DEM與△CEN的周長之和.26.(12分)黃石市在創(chuàng)建國家級文明衛(wèi)生城市中,綠化檔次不斷提升.某校計劃購進A,B兩種樹木共100棵進行校園綠化升級,經(jīng)市場調(diào)查:購買A種樹木2棵,B種樹木5棵,共需600元;購買A種樹木3棵,B種樹木1棵,共需380元.(1)求A種,B種樹木每棵各多少元;(2)因布局需要,購買A種樹木的數(shù)量不少于B種樹木數(shù)量的3倍.學(xué)校與中標(biāo)公司簽訂的合同中規(guī)定:在市場價格不變的情況下(不考慮其他因素),實際付款總金額按市場價九折優(yōu)惠,請設(shè)計一種購買樹木的方案,使實際所花費用最省,并求出最省的費用.27.(12分)如圖所示,在△ABC中,AB=CB,以BC為直徑的⊙O交AC于點E,過點E作⊙O的切線交AB于點F.(1)求證:EF⊥AB;(2)若AC=16,⊙O的半徑是5,求EF的長.
參考答案一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1、B【解析】
根據(jù)需要保證不少于50%的騎行是免費的,可得此次調(diào)查的參考統(tǒng)計量是此次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).【詳解】因為需要保證不少于50%的騎行是免費的,所以制定這一標(biāo)準(zhǔn)中的a的值時,參考的統(tǒng)計量是此次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù),故選B.本題考查了中位數(shù)的知識,中位數(shù)是以它在所有標(biāo)志值中所處的位置確定的全體單位標(biāo)志值的代表值,不受分布數(shù)列的極大或極小值影響,從而在一定程度上提高了中位數(shù)對分布數(shù)列的代表性。2、C【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)的定義(調(diào)查方式,概率,可能事件,必然事件)進行分析即可.【詳解】A.檢測一批燈泡的使用壽命不適宜用普查,因為有破壞性;B.拋擲一枚均勻的硬幣,正面朝上的概率是,如果拋擲10次,就可能有5次正面朝上,因為這是隨機事件;C.“367人中有兩人是同月同日生”為必然事件.因為一年只有365天或366天,所以367人中至少有兩個日子相同;D.“多邊形內(nèi)角和與外角和相等”是可能事件.如四邊形內(nèi)角和和外角和相等.故正確選項為:C【點睛】本題考核知識點:對(調(diào)查方式,概率,可能事件,必然事件)理解.解題關(guān)鍵:理解相關(guān)概念,合理運用舉反例法.3、B【解析】
最簡二次根式必須滿足以下兩個條件:1.被開方數(shù)的因數(shù)是(整數(shù)),因式是(整式)(分母中不含根號)2.被開方數(shù)中不含能開提盡方的(因數(shù))或(因式).【詳解】A.=3,不是最簡二次根式;B.,最簡二次根式;C.=,不是最簡二次根式;D.=,不是最簡二次根式.故選:B本題考核知識點:最簡二次根式.解題關(guān)鍵點:理解最簡二次根式條件.4、B【解析】
根據(jù)相反數(shù)的定義與方法解答.【詳解】解:-3的相反數(shù)為.故選:B.本題考查相反數(shù)的定義與求法,熟練掌握方法是關(guān)鍵.5、B【解析】
過點A作AM⊥x軸于點M,設(shè)OA=a,通過解直角三角形找出點A的坐標(biāo),結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出a的值,再根據(jù)四邊形OACB是菱形、點F在邊BC上,即可得出S△AOF=S菱形OBCA,結(jié)合菱形的面積公式即可得出結(jié)論.【詳解】過點A作AM⊥x軸于點M,如圖所示.設(shè)OA=a,在Rt△OAM中,∠AMO=90°,OA=a,sin∠AOB=,∴AM=OA?sin∠AOB=a,OM==a,∴點A的坐標(biāo)為(a,a).∵點A在反比例函數(shù)y=的圖象上,∴a?a=a2=48,解得:a=1,或a=-1(舍去).∴AM=8,OM=6,OB=OA=1.∵四邊形OACB是菱形,點F在邊BC上,∴S△AOF=S菱形OBCA=OB?AM=2.故選B.本題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,解題的關(guān)鍵是找出S△AOF=S菱形OBCA.6、C【解析】A選項,∵在△ABC中,點D在BC上,DE∥AC,DF∥AB,∴DE∥AF,DF∥AE,∴四邊形AEDF是平行四邊形;即A正確;B選項,∵四邊形AEDF是平行四邊形,∠BAC=90°,∴四邊形AEDF是矩形;即B正確;C選項,因為添加條件“AD平分∠BAC”結(jié)合四邊形AEDF是平行四邊形只能證明四邊形AEDF是菱形,而不能證明四邊形AEDF是矩形;所以C錯誤;D選項,因為由添加的條件“AB=AC,AD⊥BC”可證明AD平分∠BAC,從而可通過證∠EAD=∠CAD=∠EDA證得AE=DE,結(jié)合四邊形AEDF是平行四邊形即可得到四邊形AEDF是菱形,所以D正確.故選C.7、C【解析】
當(dāng)函數(shù)表達式是二次根式時,被開方數(shù)為非負數(shù).據(jù)此可得.【詳解】解:根據(jù)題意知,
解得:x=0,
故選:C.本題主要考查函數(shù)自變量的取值范圍,函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮:(1)當(dāng)函數(shù)表達式是整式時,自變量可取全體實數(shù);(2)當(dāng)函數(shù)表達式是分式時,考慮分式的分母不能為0;(3)當(dāng)函數(shù)表達式是二次根式時,被開方數(shù)為非負數(shù).8、A【解析】分析:根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠C,求出∠DEC的度數(shù),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠D的度數(shù)即可.詳解:∵AB∥CD,∴∠A+∠C=180°.∵∠A=120°,∴∠C=60°.∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°,∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=30°.故選A.點睛:本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用,能根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠C的度數(shù)是解答此題的關(guān)鍵.9、B【解析】
先利用垂徑定理得到弧AD=弧BD,然后根據(jù)圓周角定理得到∠C=∠BOD,從而可對各選項進行判斷.【詳解】解:∵直徑CD⊥弦AB,∴弧AD=弧BD,∴∠C=∠BOD.故選B.本題考查了垂徑定理和圓周角定理,垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條?。畧A周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半.10、B【解析】
根據(jù)各超市降價的百分比分別計算出此商品降價后的價格,再進行比較即可得出結(jié)論.【詳解】解:降價后三家超市的售價是:甲為(1-20%)2m=0.64m,乙為(1-40%)m=0.6m,丙為(1-30%)(1-10%)m=0.63m,∵0.6m<0.63m<0.64m,∴此時顧客要購買這種商品最劃算應(yīng)到的超市是乙.故選:B.此題考查了列代數(shù)式,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系列出代數(shù)式,并對代數(shù)式比較大小.11、B【解析】分析:由OE是∠BOC的平分線得∠COE=40°,由OD⊥OE得∠DOC=50°,從而可求出∠AOD的度數(shù).詳解:∵OE是∠BOC的平分線,∠BOC=80°,∴∠COE=∠BOC=×80°=40°,∵OD⊥OE∴∠DOE=90°,∴∠DOC=∠DOE-∠COE=90°-40°=50°,∴∠AOD=180°-∠BOC-∠DOC==180°-80°-50°=50°.故選B.點睛:本題考查了角平分線的定義:從一個角的頂點出發(fā),把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線.性質(zhì):若OC是∠AOB的平分線則∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.12、B【解析】
解:根據(jù)作圖過程,利用線段垂直平分線的性質(zhì)對各選項進行判斷:根據(jù)作圖過程可知:PB=CP,∵D為BC的中點,∴PD垂直平分BC,∴①ED⊥BC正確.∵∠ABC=90°,∴PD∥AB.∴E為AC的中點,∴EC=EA,∵EB=EC.∴②∠A=∠EBA正確;③EB平分∠AED錯誤;④ED=AB正確.∴正確的有①②④.故選B.考點:線段垂直平分線的性質(zhì).二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13、3×1【解析】因為一粒紐扣電池能污染600立方米的水,如果每名學(xué)生一年丟棄一粒紐扣電池,那么被該班學(xué)生一年丟棄的紐扣電池能污染的水就是:600×50=30000,用科學(xué)記數(shù)法表示為3×1立方米.
故答案為3×1.14、【解析】
判斷出即是中心對稱,又是軸對稱圖形的個數(shù),然后結(jié)合概率計算公式,計算,即可.【詳解】解:等邊三角形、正方形、正五邊形、矩形、正六邊形圖案中既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形是:正方形、矩形、正六邊形共3種,故從中任意抽取一張,抽到卡片的圖案既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形的概率為:.故答案為.考查中心對稱圖形和軸對稱圖形的判定,考查概率計算公式,難度中等.15、1(x﹣1)1【解析】
先提取公因式1,再根據(jù)完全平方公式進行二次分解.【詳解】解:1x1-4x+1,=1(x1-1x+1),=1(x-1)1.故答案為:1(x﹣1)1本題考查提公因式法與公式法的綜合運用,難度不大.16、2或﹣1【解析】解:當(dāng)該點在﹣2的右邊時,由題意可知:該點所表示的數(shù)為2,當(dāng)該點在﹣2的左邊時,由題意可知:該點所表示的數(shù)為﹣1.故答案為2或﹣1.點睛:本題考查數(shù)軸,涉及有理數(shù)的加減運算、分類討論的思想.17、【解析】分析:根據(jù)菱形的性質(zhì)易得AB=BC=CD=DA=8,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,再判定△ABD為等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BD=8,從而得OB=4,在Rt△AOB中,根據(jù)勾股定理可得OA=4,繼而求得AC=2AO=,再由菱形的面積公式即可求得菱形ABCD的面積.詳解:∵菱形ABCD中,其周長為32,∴AB=BC=CD=DA=8,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∵,∴△ABD為等邊三角形,∴AB=BD=8,∴OB=4,在Rt△AOB中,OB=4,AB=8,根據(jù)勾股定理可得OA=4,∴AC=2AO=,∴菱形ABCD的面積為:=.點睛:本題考查了菱形性質(zhì):1.菱形的四個邊都相等;2.菱形對角線相互垂直平分,并且每一組對角線平分一組對角;3.菱形面積公式=對角線乘積的一半.18、1【解析】分析:由PD?PC=PD?PG≤DG,當(dāng)點P在DG的延長線上時,PD?PC的值最大,最大值為DG=1.詳解:在BC上取一點G,使得BG=1,如圖,∵,,∴,∵∠PBG=∠PBC,∴△PBG∽△CBP,∴,∴PG=PC,當(dāng)點P在DG的延長線上時,PD?PC的值最大,最大值為DG==1.故答案為1點睛:本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建相似三角形解決問題,學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題,把問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短解決,題目比較難,屬于中考壓軸題.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19、(1)a=6,b=8;(2);(3)A團有20人,B團有30人.【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)圖像,用購票款數(shù)除以定價的款數(shù),計算即可求得a的值;用11人到20人的購票款數(shù)除以定價的款數(shù),計算即可解得b的值;(2)分0≤x≤10與x>10,利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式求得y2的函數(shù)關(guān)系式即可;(3)設(shè)A團有n人,表示出B團的人數(shù)為(50-n),然后分0≤x≤10與x>10兩種情況,根據(jù)(2)中的函數(shù)關(guān)系式列出方程求解即可.【詳解】(1)由y1圖像上點(10,480),得到10人的費用為480元,∴a=;由y2圖像上點(10,480)和(20,1440),得到20人中后10人的費用為640元,∴b=;(2)0≤x≤10時,設(shè)y2=k2x,把(10,800)代入得10k2=800,解得k2=80,∴y2=80x,x>10,設(shè)y2=kx+b,把(10,800)和(20,1440)代入得解得∴y2=64x+160∴(3)設(shè)B團有n人,則A團的人數(shù)為(50-n)當(dāng)0≤n≤10時80n+48(50-n)=3040,解得n=20(不符合題意舍去)當(dāng)n>10時,解得n=30.則50-n=20人,則A團有20人,B團有30人.此題主要考查一次函數(shù)的綜合運用,解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式.20、2.4元/米【解析】
利用總水費÷單價=用水量,結(jié)合小麗家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3,進而得出等式即可.【詳解】解:設(shè)去年用水的價格每立方米元,則今年用水價格為每立方米元由題意列方程得:解得經(jīng)檢驗,是原方程的解(元/立方米)答:今年居民用水的價格為每立方米元.此題主要考查了分式方程的應(yīng)用,正確表示出用水量是解題關(guān)鍵.21、(1)y=﹣x2+2x+3;(2)當(dāng)t=或t=時,△PCQ為直角三角形;(3)當(dāng)t=2時,△ACQ的面積最大,最大值是1.【解析】
(1)根據(jù)拋物線的對稱軸與矩形的性質(zhì)可得點A的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式;(2)先根據(jù)勾股定理可得CE,再分兩種情況:當(dāng)∠QPC=90°時;當(dāng)∠PQC=90°時;討論可得△PCQ為直角三角形時t的值;(3)根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式,根據(jù)S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ==﹣(t﹣2)2+1,依此即可求解.【詳解】解:(1)∵拋物線的對稱軸為x=1,矩形OCDE的三個頂點分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4),點A在DE上,∴點A坐標(biāo)為(1,4),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+4,把C(3,0)代入拋物線的解析式,可得a(3﹣1)2+4=0,解得a=﹣1.故拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3;(2)依題意有:OC=3,OE=4,∴CE===5,當(dāng)∠QPC=90°時,∵cos∠QPC=,∴,解得t=;當(dāng)∠PQC=90°時,∵cos∠QCP=,∴,解得t=.∴當(dāng)t=或t=時,△PCQ為直角三角形;(3)∵A(1,4),C(3,0),設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,則有:,解得.故直線AC的解析式為y=﹣2x+2.∵P(1,4﹣t),將y=4﹣t代入y=﹣2x+2中,得x=1+,∴Q點的橫坐標(biāo)為1+,將x=1+代入y=﹣(x﹣1)2+4中,得y=4﹣.∴Q點的縱坐標(biāo)為4﹣,∴QF=(4﹣)﹣(4﹣t)=t﹣,∴S△ACQ=S△AFQ+S△CFQ=FQ?AG+FQ?DG,=FQ(AG+DG),=FQ?AD,=×2(t﹣),=﹣(t﹣2)2+1,∴當(dāng)t=2時,△ACQ的面積最大,最大值是1.考查了二次函數(shù)綜合題,涉及的知識點有:拋物線的對稱軸,矩形的性質(zhì),待定系數(shù)法求拋物線的解析式,待定系數(shù)法求直線的解析式,勾股定理,銳角三角函數(shù),三角形面積,二次函數(shù)的最值,方程思想以及分類思想的運用.22、(1)72°,見解析;(2)7280;(3)16【解析】
(1)根據(jù)題意列式計算,補全條形統(tǒng)計圖即可;(2)根據(jù)題意列式計算即可;(3)畫樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù),找出選到成活率較高的兩類樹苗的情況數(shù),即可求出所求的概率.【詳解】(1)扇形統(tǒng)計圖中玉蘭所對的圓心角為360°×(1-40%-15%-25%)=72°月季的株數(shù)為2000×90%-380-422-270=728(株),補全條形統(tǒng)計圖如圖所示:(2)月季的成活率為728所以月季成活株數(shù)為8000×91%=7280(株).故答案為:7280.(3)由題意知,成活率較高的兩類花苗是玉蘭和月季,玉蘭、月季、桂花、臘梅分別用A、B、C、D表示,畫樹狀圖如下:所有等可能的情況有12種,其中恰好選到成活率較高的兩類花苗有2種.∴P(恰好選到成活率較高的兩類花苗)=此題主要考查了條形統(tǒng)計圖以及扇形統(tǒng)計圖的應(yīng)用,根據(jù)統(tǒng)計圖得出正確信息是解題關(guān)鍵.23、135°【解析】
先證明AD=DE=CE=BC,得出∠DAE=∠AED,∠CBE=∠CEB,∠EDC=∠ECD=45°,設(shè)∠DAE=∠AED=x,∠CBE=∠CEB=y,求出∠ADC=225°-2x,∠BAD=2x-45°,由平行四邊形的對角相等得出方程,求出x+y=135°,即可得出結(jié)果.【詳解】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=BC,∠BAD=∠BCD,∠BAD+∠ADC=180°,∵AD=DE=CE,∴AD=DE=CE=BC,∴∠DAE=∠AED,∠CBE=∠CEB,∵∠DEC=90°,∴∠EDC=∠ECD=45°,設(shè)∠DAE=∠AED=x,∠CBE=∠CEB=y,∴∠ADE=180°﹣2x,∠BCE=180°﹣2y,∴∠ADC=180°﹣2x+45°=225°﹣2x,∠BCD=225°﹣2y,∴∠BAD=180°﹣(225°﹣2x)=2x﹣45°,∴2x﹣45°=225°﹣2y,∴x+y=135°,∴∠AEB=360°﹣135°﹣90°=135°.本題考查了平行四邊形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行四邊形的性質(zhì).24、(1)商家一次購買這種產(chǎn)品1件時,銷售單價恰好為2800元;(2)當(dāng)0≤x≤10時,y=700x,當(dāng)10<x≤1時,y=﹣5x2+750x,當(dāng)x>1時,y=300x;(3)公司應(yīng)將最低銷售單價調(diào)整為2875元.【解析】
(1)設(shè)件數(shù)為x,則銷售單價為3200-5(x-10)元,根據(jù)銷售單價恰好為2800元,列方程求解;(2)由利潤y=(銷售單價-成本單價)×件數(shù),及銷售單價均不低于2800元,按0≤x≤10,10<x≤50兩種情況列出函數(shù)關(guān)系式;(3)由(2)的函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求利潤的最大值,并求出最大值時x的值,確定銷售單價.【詳解】(1)設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品x件時,銷售單價恰好為2800元.由題意得:3200﹣5(x﹣10)=2800,解得:x=1.答:商家一次購買這種產(chǎn)品1件時,銷售單價恰好為2800元;(2)設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品x件,開發(fā)公司所獲的利潤為y元,由題意得:當(dāng)0≤x≤10時,y=(3200﹣2500)x=700x,當(dāng)10<x≤1時,y=[3200﹣5(x﹣10)﹣2500]?x=﹣5x2+750x,當(dāng)x>1時,y=(2800﹣2500)?x=300x;(3)因為要滿足一次購買數(shù)量越多,所獲利潤越大,所以y隨x增大而增大,函數(shù)y=700x,y=300x均是y隨x增大而增大,而y=﹣5x2+750x=﹣5(x﹣75)2+28125,在10<x≤75時,y隨x增大而增大.由上述分析得x的取值范圍為:10<x≤75時,即一次購買75件時,恰好是最低價,最低價為3200﹣5?(75﹣10)=2875元,答:公司應(yīng)將最低銷售單價調(diào)整為2875元.本題考查了一次、二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用.最大銷售利潤的問題常利二次函數(shù)的增減性來解答,我們首先要吃透題意,確定變量,建立函數(shù)模型,然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案.25、小軍的證明:見解析;小俊的證明:見解析;[變式探究]見解析;[結(jié)論運用]PG+PH的值為1;[遷移拓展](6+2)dm【解析】
小軍的證明:連接AP,利用面積法即可證得;小俊的證明:過點P作PG⊥CF,先證明四邊形PDFG為矩形,再證明△PGC≌△CEP,即可得到答案;[變式探究]小軍的證明思路:連接AP,根據(jù)S△ABC=S△ABP﹣S△ACP,即可得到答案;小俊的證明思路:過點C,作CG⊥DP,先證明四邊形CFDG是矩形,再證明△CGP≌△CEP即可得到答案;[結(jié)論運用]過點E作EQ⊥BC,先根據(jù)矩形的性質(zhì)求出BF,根據(jù)翻折及勾股定理求出DC,證得四邊形EQCD是矩形,得出BE=BF即可得到答案;[遷移拓展]延長AD,BC交于點F,作BH⊥AF,證明△ADE∽△BCE得到FA=FB,設(shè)DH=x,利用勾股定理求出x得到BH=6,再根據(jù)∠ADE=∠BCE=90°,且M,N分別為AE,BE的中點即可得到答案.【詳解】小軍的證明:連接AP,如圖②∵PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB,∴S△ABC=S△ABP+S△ACP,∴AB×CF=AB×PD+AC×PE,∵AB=AC,∴CF=PD+PE.小俊的證明:過點P作PG⊥CF,如圖2,∵PD⊥AB,CF⊥AB,PG⊥FC,∴∠CFD=∠FDG=∠FGP=90°,∴四邊形PDFG為矩形,∴DP=FG,∠DPG=90°,∴∠CGP=90°,∵PE⊥AC,∴∠CEP=90°,∴∠PGC=∠CEP,∵∠BDP=∠DPG=90°,∴PG∥AB,∴∠GPC=∠B,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠GPC=∠ECP,在△PGC和△CEP中,∴△PGC≌△CEP,∴CG=PE,∴CF=CG+FG=PE+PD;[變式探究]小軍的證明思路:連接AP,如圖③,∵PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB,∴S△ABC=S△ABP﹣S△ACP,∴AB×CF=AB×PD﹣AC×PE,∵AB=AC,∴CF=PD﹣PE;小俊的證明思路:過點C,作CG⊥DP,如圖③,∵PD⊥AB,CF⊥AB,CG⊥DP,∴∠CFD=∠FDG=∠DGC=90°,∴CF=GD,∠DGC=90°,四邊形CFDG是矩形,∵PE⊥AC,∴∠CEP=90°,∴∠CGP=∠CEP,∵CG⊥DP,AB⊥DP,∴∠CGP=∠BDP=90°,∴CG∥AB,∴∠GCP=∠B,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∵∠ACB=∠PCE,∴∠GCP=∠ECP,在△CGP和△CEP中,,∴△CGP≌△CEP,∴PG=PE,∴CF=DG=DP﹣PG=DP﹣PE.[結(jié)論運用]如圖④過點E作EQ⊥BC,∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠C=∠ADC=90°,∵AD=8,CF=3,∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5,由折疊得DF=BF,∠BEF=∠DEF,∴DF=5,∵∠C=90°,∴DC==1,∵EQ⊥BC,∠C=∠ADC=90°,∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC,∴四邊形EQCD是矩形,∴EQ=DC=1,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB,∵∠BEF=∠DEF,∴∠BEF=∠EFB,∴BE=BF,由問題情景中的結(jié)論可得:PG+PH=EQ,∴PG+PH=1.∴PG+PH的值為1.[遷移拓展]延長AD,BC交于點F,作BH⊥AF,如圖⑤,∵AD×CE=DE×BC,∴,∵ED⊥AD,EC⊥CB,∴∠ADE=∠BCE=90°,∴△ADE∽△BCE,∴∠A=∠CBE,∴FA=FB,由
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