第1章整式的乘除【2大考點8種題型】【北師大版2025】TOC\o"1-3"\h\u【考點1整式的乘法】 1【題型1整式的化簡求值】 4【題型2整式乘法的應用】 4【題型3利用整式的乘法求字母的值】 6【題型4運用冪的乘方比較大小】 7【考點2乘法公式】 8【題型5利用乘法公式化簡求值】 8【題型6利用乘法公式解方程或不等式】 9【題型7乘法公式的整體應用】 9【題型8利用乘法公式解決規(guī)律探究問題】 9【考點1整式的乘法】1．同底數(shù)冪的乘法一般地，對于任意底數(shù)a與任意正整數(shù)m，n，am·an=·==．語言敘述：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．【拓展】（1）同底數(shù)冪的乘法法則的推廣：三個或三個以上同底數(shù)冪相乘，法則也適用．（m，n，…，p都是正整數(shù)）．（2）同底數(shù)冪的乘法法則的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整數(shù)）．2．冪的乘方（1）冪的乘方的意義：冪的乘方是指幾個相同的冪相乘，如（a5）3是三個a5相乘，讀作a的五次冪的三次方，（am）n是n個am相乘，讀作a的m次冪的n次方．（2）冪的乘方法則：一般地，對于任意底數(shù)a與任意正整數(shù)m，n，．語言敘述：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．【拓展】冪的乘方的法則可推廣為（m，n，p都是正整數(shù)）．（2）冪的乘方法則的逆用：（m，n都是正整數(shù)）．3．積的乘方（1）積的乘方的意義：積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．（積的乘方的意義）=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交換律、結(jié)合律）=a3b3．積的乘方法則：一般地，對于任意底數(shù)a，b與任意正整數(shù)n，．因此，我們有．語言敘述：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．4．單項式與單項式相乘法則：一般地，單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．（1）只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里，注意不要把這個因式遺漏．（2）單項式與單項式相乘的乘法法則對于三個及以上的單項式相乘同樣適用．（3）單項式乘單項式的結(jié)果仍然是單項式．【注意】（1）積的系數(shù)等于各項系數(shù)的積，應先確定積的符號，再計算積的絕對值．（2）相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算．5．單項式與多項式相乘法則：一般地，單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是單項式）．【注意】（1）單項式與多項式相乘，結(jié)果是一個多項式，其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相同，可以以此來檢驗在運算中是否漏乘某些項．（2）計算時要注意符號問題，多項式中每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號．（3）對于混合運算，應注意運算順序，有同類項必須合并，從而得到最簡結(jié)果．6．多項式與多項式相乘（1）法則：一般地，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）多項式與多項式相乘時，要按一定的順序進行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一個多項式中的每一項與第二個多項式相乘，得m（a+b+c）與n（a+b+c），再用單項式乘多項式的法則展開，即（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．【注意】（1）運用多項式乘法法則時，必須做到不重不漏．積．7．同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法法則：一般地，我們有（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）．語言敘述：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．【拓展】（1）同底數(shù)冪的除法法則的推廣：當三個或三個以上同底數(shù)冪相除時，也具有這一性質(zhì)，例如：（a≠0，m，n，p都是正整數(shù)，并且m>n+p）．（2）同底數(shù)冪的除法法則的逆用：（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）．8．零指數(shù)冪的性質(zhì)零指數(shù)冪的性質(zhì)：同底數(shù)冪相除，如果被除式的指數(shù)等于除式的指數(shù)，例如am÷am，根據(jù)除法的意義可知所得的商為1．另一方面，如果依照同底數(shù)冪的除法來計算，又有am÷am=am-m=a0．于是規(guī)定：a0=1（a≠0）．語言敘述：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1．【注意】（1）底數(shù)a不等于0，若a=0，則零的零次冪沒有意義．（2）底數(shù)a可以是不為零的單頂式或多項式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等．（3）a0=1中，a≠0是極易忽略的問題，也易誤認為a0=0．9．單項式除以單項式單項式除以單項式法則：一般地，單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．式．【歸納】該法則包括三個方面：（1）系數(shù)相除；（2）同底數(shù)冪相除；（3）只在被除式里出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個因式．【注意】可利用單項式相乘的方法來驗證結(jié)果的正確性．10．多項式除以單項式多式除以單項式法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．【注意】（1）多項式除以單項式是將其化為單項式除以單項式問題來解決，在計算時多項式里的各項要包括它前面的符號．（2）多項式除以單項式，被除式里有幾項，商也應該有幾項，不要漏項．（3）多項式除以單項式是單項式乘多項式的逆運算，可用其進行檢驗．【題型1整式的化簡求值】【方法總結(jié)】首先依據(jù)整式的混合運算順序和運算法則進行化簡,然后代入求值.對于冪的運算問題,首先要判斷出冪的運算類型,然后根據(jù)冪的運算性質(zhì)計算,要注意底數(shù)和指數(shù)的變化特點.【例1】（2024·河北唐山·七年級期末）在化簡3a2b+ab?2a2b+ab◆2ab題中，◆表示＋，－，×，÷四個運算符號中的某一個．當a=?2A．÷ B．× C．＋ D．－【變式1-1】（23-24七年級·黑龍江綏化·階段練習）（1）先化簡，再求值：xx2（2）先化簡，再求值：2a+b2a?b+4ab3【變式1-2】（23-24七年級·重慶北碚·期中）已知實數(shù)a，b，x，y滿足a+b=x+y=3，ax+by=4，則a2+【變式1-3】（23-24七年級·江蘇蘇州·階段練習）對于任何實數(shù)，我們規(guī)定符號abcd(1)計算：0.2?3(2)已知xx+1?22x(3)當a2?3a+1=0時，求【題型2整式乘法的應用】【例2】（23-24七年級·福建泉州·階段練習）如圖①，將一張長方形鐵皮的四個角都剪去邊長為3cm的正方形，然后沿四周折起，做成一個無蓋鐵盒，如圖②，鐵盒底面長方形的長為8xcm，寬為5x(1)請用含x的代數(shù)式表示圖①中原長方形鐵皮的面積；(2)現(xiàn)要在鐵盒的各個外表面涂上某種油漆，若每cm2需花費x元，則涂漆這個鐵盒需要多少錢（用含x【變式2-1】（23-24七年級·山西太原·階段練習）位于太原市三給片區(qū)的天美杉杉超級奧特萊斯是一座集現(xiàn)代化商業(yè)、中式文化與綠色園林三位一體的大型綜合商業(yè)體，值得期待的是將于2023年9月開始正式營業(yè)．如圖，在園區(qū)內(nèi)有一塊長為a+4b米，寬為a+b米的長方形地塊，現(xiàn)規(guī)劃將陰影部分進行綠化，中間預留部分是邊長為a?b米的正方形．(1)求綠化的面積S（用含a，b的代數(shù)式表示，并化簡）；(2)若a=3,b=2，綠化成本為100元/平方米，則完成綠化共需要多少元？【變式2-2】（23-24七年級·浙江寧波·期末）如圖，將兩張邊長分別為a和b（a>b）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置長方形內(nèi)（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，若長方形中邊AB、AD的長度分別為m、n．設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．當

A．3b B．3a?3b C．3a D．?3b【變式2-3】（23-24七年級·上海青浦·期中）如圖所示，有4張寬為a，長為b的小長方形紙片，不重疊的放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分為空白區(qū)域①和空白區(qū)域②．EF=2GH(1)用含a、b的代數(shù)式表示：AD=______________；AB=______________．(2)用含a、b的代數(shù)式表示區(qū)域①、區(qū)域②的面積；(3)當a=12，b=【題型3利用整式的乘法求字母的值】【方法總結(jié)】當多項式的乘積中不含某一項時,說明將多項式的乘積化簡合并后該項的系數(shù)為0,可利用方程思想求字母的值.【例3】（23-24七年級·江蘇鹽城·期中）我們定義：如果兩個多項式M與N的和為常數(shù)，則稱M與N互為“組合多項式”，這個常數(shù)稱為它們的“組合數(shù)”．如M=4x2?2x+6與N=?4x2+2x?3，(1)下列各組多項式中，互為“組合多項式”的是________（填序號）；①3x2?2與3x2+2；②x?9與(2)多項式A=(x?m)2與B=nx2+4x+n(3)關(guān)于x的多項式C=?mx2?6x+7m與D=m(x?1)(x+n)的“組合數(shù)”能為0嗎？若能，請求出m【變式3-1】（23-24七年級·山東濟南·期中）已知M=x2?ax，N=?x，P=x3+3x2+5A．?3 B．3 C．5 D．4【變式3-2】（23-24七年級·山西臨汾·期中）甲同學計算一道關(guān)于x的整式乘法題：(2x?a)2?x+bb?x，由于甲抄錯了a的符號，得到的結(jié)果是5x【變式3-3】（23-24七年級·湖南長沙·階段練習）好學的小東同學，在學習多項式乘以多項式時發(fā)現(xiàn)：12x+4(2x+5)(3x?6)的結(jié)果是一個多項式，并且最高次項為：12x?2x?3x=3x3請你認真領(lǐng)會小東同學解決問題的思路，方法，仔細分析上面等式的結(jié)構(gòu)特征．結(jié)合自己對多項式乘法法則的理解，解決以下問題．（1）計算x+23x+1（2）若計算x2+x+1x（3）若(x+1)2021=a【題型4運用冪的乘方比較大小】【例4】（23-24七年級·廣東佛山·期中）冪的運算逆向思維可以得到am+n=am?(1)若3m×9(2)比較大小：若a=255，b=344，c=533，則【變式4-1】（23-24七年級·全國·單元測試）比較下列各題中冪的大小：（1）已知a=81（2）比較255（3）已知P=99（4）(?2)234_______5【變式4-2】（23-24七年級·湖南岳陽·期中）已知a=2731，b=361，c=941，試比較a，b，【變式4-3】（23-24七年級·湖南·階段練習）在學習了“冪的運算法則”后，經(jīng)常遇到比較冪的大小的問題，對于此類問題，通常有兩種解決方法，一種是將冪化為底數(shù)相同的形式，另一種是將冪化為指數(shù)相同的形式，請閱讀下列材料：若a3=2，b5=3，則a、b的大小關(guān)系是a______b（填“解：∵a15=a3∴a15類比閱讀材料的方法，解答下列問題：(1)上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運算性質(zhì)：______；A．同底數(shù)冪的乘法

B．同底數(shù)冪的除法

C．冪的乘方

D．積的乘方(2)比較815(3)比較2100與3(4)已知5a=324，5b=4，【考點2乘法公式】1．平方差公式（1）平方差公式語言敘述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差．這個公式叫做（乘法的）平方差公式．（2）平方差公式的特點①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)．②右邊是相同項的平方減去相反項的平方．③公式中的a和b可以表示具體的數(shù)或單項式，也可以是多項式．2．完全平方公式（1）完全平方公式，語言敘述：兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍．這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式．（2）完全平方公式的特點：兩個公式的左邊都是一個二項式的平方，二者僅有一個“符號”不同；右邊都是二次三項式，其中有兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，中間一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍，二者也僅有一個“符號”不同．3．添括號法則法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號．（1）首先要清楚括到括號里的是哪些項．（2）括號前面是什么符號，括到括號里的項是否要改變符號，這與去括號一樣，要變都變，要不變都不變．（3）添括號后是否正確，可以用去括號來檢驗．【題型5利用乘法公式化簡求值】【方法總結(jié)】解題時要注意分析算式的結(jié)構(gòu)特征,符合“兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積”要考慮平方差公式,符合“兩數(shù)和(或差)的平方”要考慮完全平方公式.【例5】（23-24七年級·吉林長春·階段練習）已知a+b=3，ab=?1．求代數(shù)式下列代數(shù)式的值：①a2+b【變式5-1】（23-24七年級·貴州畢節(jié)·期中）已知(x+1x)【變式5-2】（23-24七年級·湖南永州·階段練習）已知：x?y2=6，(1)xy；(2)x2【變式5-3】（23-24七年級·貴州畢節(jié)·期中）（1）已知a+b=6，ab=1，求a2+b（2）已知(x+y)2=4，(x?y)2=6，求（3）已知x+1x=3【題型6利用乘法公式解方程或不等式】【例6】（23-24七年級·上海寶山·期中）解不等式：2x+32x?3【變式6-1】（23-24七年級·廣東深圳·階段練習）解方程(1)(x+1)2(2)(x?1)(x+8)?x(x+3)=0．【變式6-2】（23-24七年級·上海靜安·期中）解不等式：1?2x?1?2x【變式6-3】（23-24七年級·湖北·階段練習）計算(1)解方程：3x?22x?3(2)解不等式：3x?12【題型7乘法公式的整體應用】【例7】（23-24七年級·甘肅張掖·階段練習）計算：a+b?c2=【變式7-1】（23-24七年級·上海青浦·期中）計算：2a?b+3c?2a?b?3c=【變式7-2】（23-24七年級·上海·階段練習）計算：a+b?2c【變式7-3】（23-24七年級·上海寶山·期中）計算：a?2b?c2【題型8利用乘法公式解決規(guī)律探究問題】【例8】（23-24七年級·四川成都·期中）如果一個正整數(shù)能夠表示為兩個正整數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”．因為3=22?12，5=32【變式8-1】（23-24七年級·重慶南岸·期末）觀察以下等式：第1個等式：(2×1+1)2第2個等式：(2×2+1)2第3個等式：(2×3+1)2第4個等式：(2×4+1)2按照以上規(guī)律．解決下列問題：（1）第5個等式為：；（2）若第n個等式為t2=(17×32+1)2【變式8-2】（23-24七年級·湖南永州·期中）觀察下列各式：a?ba?ba?b………這些等式反映出多項式乘法的某種運算規(guī)律．請你猜想：a?ba2023【變式8-3】（23-24七年級·河南南陽·階段練習）我國南宋數(shù)學家楊輝用“三角形”解釋二項和的乘方的展開式各系數(shù)規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個“三角形”給出了a+bnn=121a+b11a+b121a+b1331a+b14641a+b4根據(jù)上述規(guī)律，x+36展開式中含x4項的系數(shù)為

第1章整式的乘除【2大考點8種題型】【北師大版2025】TOC\o"1-3"\h\u【考點1整式的乘法】 1【題型1整式的化簡求值】 4【題型2整式乘法的應用】 6【題型3利用整式的乘法求字母的值】 10【題型4運用冪的乘方比較大小】 14【考點2乘法公式】 17【題型5利用乘法公式化簡求值】 17【題型6利用乘法公式解方程或不等式】 20【題型7乘法公式的整體應用】 22【題型8利用乘法公式解決規(guī)律探究問題】 23【考點1整式的乘法】1．同底數(shù)冪的乘法一般地，對于任意底數(shù)a與任意正整數(shù)m，n，am·an=·==．語言敘述：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．【拓展】（1）同底數(shù)冪的乘法法則的推廣：三個或三個以上同底數(shù)冪相乘，法則也適用．（m，n，…，p都是正整數(shù)）．（2）同底數(shù)冪的乘法法則的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整數(shù)）．2．冪的乘方（1）冪的乘方的意義：冪的乘方是指幾個相同的冪相乘，如（a5）3是三個a5相乘，讀作a的五次冪的三次方，（am）n是n個am相乘，讀作a的m次冪的n次方．（2）冪的乘方法則：一般地，對于任意底數(shù)a與任意正整數(shù)m，n，．語言敘述：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．【拓展】冪的乘方的法則可推廣為（m，n，p都是正整數(shù)）．（2）冪的乘方法則的逆用：（m，n都是正整數(shù)）．3．積的乘方（1）積的乘方的意義：積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．（積的乘方的意義）=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交換律、結(jié)合律）=a3b3．積的乘方法則：一般地，對于任意底數(shù)a，b與任意正整數(shù)n，．因此，我們有．語言敘述：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．4．單項式與單項式相乘法則：一般地，單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．（1）只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里，注意不要把這個因式遺漏．（2）單項式與單項式相乘的乘法法則對于三個及以上的單項式相乘同樣適用．（3）單項式乘單項式的結(jié)果仍然是單項式．【注意】（1）積的系數(shù)等于各項系數(shù)的積，應先確定積的符號，再計算積的絕對值．（2）相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算．5．單項式與多項式相乘法則：一般地，單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是單項式）．【注意】（1）單項式與多項式相乘，結(jié)果是一個多項式，其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相同，可以以此來檢驗在運算中是否漏乘某些項．（2）計算時要注意符號問題，多項式中每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號．（3）對于混合運算，應注意運算順序，有同類項必須合并，從而得到最簡結(jié)果．6．多項式與多項式相乘（1）法則：一般地，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）多項式與多項式相乘時，要按一定的順序進行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一個多項式中的每一項與第二個多項式相乘，得m（a+b+c）與n（a+b+c），再用單項式乘多項式的法則展開，即（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．【注意】（1）運用多項式乘法法則時，必須做到不重不漏．積．7．同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法法則：一般地，我們有（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）．語言敘述：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．【拓展】（1）同底數(shù)冪的除法法則的推廣：當三個或三個以上同底數(shù)冪相除時，也具有這一性質(zhì)，例如：（a≠0，m，n，p都是正整數(shù)，并且m>n+p）．（2）同底數(shù)冪的除法法則的逆用：（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）．8．零指數(shù)冪的性質(zhì)零指數(shù)冪的性質(zhì)：同底數(shù)冪相除，如果被除式的指數(shù)等于除式的指數(shù)，例如am÷am，根據(jù)除法的意義可知所得的商為1．另一方面，如果依照同底數(shù)冪的除法來計算，又有am÷am=am-m=a0．于是規(guī)定：a0=1（a≠0）．語言敘述：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1．【注意】（1）底數(shù)a不等于0，若a=0，則零的零次冪沒有意義．（2）底數(shù)a可以是不為零的單頂式或多項式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等．（3）a0=1中，a≠0是極易忽略的問題，也易誤認為a0=0．9．單項式除以單項式單項式除以單項式法則：一般地，單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．式．【歸納】該法則包括三個方面：（1）系數(shù)相除；（2）同底數(shù)冪相除；（3）只在被除式里出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個因式．【注意】可利用單項式相乘的方法來驗證結(jié)果的正確性．10．多項式除以單項式多式除以單項式法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．【注意】（1）多項式除以單項式是將其化為單項式除以單項式問題來解決，在計算時多項式里的各項要包括它前面的符號．（2）多項式除以單項式，被除式里有幾項，商也應該有幾項，不要漏項．（3）多項式除以單項式是單項式乘多項式的逆運算，可用其進行檢驗．【題型1整式的化簡求值】【方法總結(jié)】首先依據(jù)整式的混合運算順序和運算法則進行化簡,然后代入求值.對于冪的運算問題,首先要判斷出冪的運算類型,然后根據(jù)冪的運算性質(zhì)計算,要注意底數(shù)和指數(shù)的變化特點.【例1】（2024·河北唐山·七年級期末）在化簡3a2b+ab?2a2b+ab◆2ab題中，◆表示＋，－，×，÷四個運算符號中的某一個．當A．÷ B．× C．＋ D．－【答案】B【分析】根據(jù)四個選項，依次代入原式，進行化簡求值，即可得到答案．【詳解】解：A．若◆所表示的符號為÷，則原式=3a2b+ab?2a2b+ab÷2ab=B．若◆所表示的符號為×，則原式=3a2b+ab?2a2b+ab×2ab=C．若◆所表示的符號為＋，則原式=3a2b+ab?2a2b+ab+2ab=D．若◆所表示的符號為－，則原式=3a2b+ab?2a2b+ab?2ab=故選：B．【點睛】本題考查了整式的混合運算，理清運算順序，正確進行相關(guān)計算是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（23-24七年級·黑龍江綏化·階段練習）（1）先化簡，再求值：xx2（2）先化簡，再求值：2a+b2a?b+4ab3【答案】（1）?2x3?4x2+2x，【分析】本題考查整式的化簡求值：（1）先根據(jù)乘法法則計算，再合并同類項化到最簡，最后代入求解即可得到答案；（2）先根據(jù)乘除法法則計算，再合并同類項化到最簡，最后代入求解即可得到答案；【詳解】解：（1）原式==?2x當x=1時，原式=?2×=?4；（2）原式=4=4a當a=?2，b=1時，∴原式=4×(?2)=16+4=20．【變式1-2】（23-24七年級·重慶北碚·期中）已知實數(shù)a，b，x，y滿足a+b=x+y=3，ax+by=4，則a2+【答案】20【分析】本題考查因式分解的應用、整式的乘法、代數(shù)式求值，解答的關(guān)鍵利用整體思想求解．先求得ay+bx=5，再將所求代數(shù)式因式分解，轉(zhuǎn)化為求ax+byay+bx【詳解】解：∵a+b=x+y=3，∴a+bx+y=ax+ay+bx+by=9∵ax+by=4，∴ay+bx=5，a==ax==4×5=20，故答案為：20．【變式1-3】（23-24七年級·江蘇蘇州·階段練習）對于任何實數(shù)，我們規(guī)定符號abcd(1)計算：0.2?3(2)已知xx+1?22x(3)當a2?3a+1=0時，求【答案】(1)16(2)x1=0(3)1【分析】本題考查了新定義下的實數(shù)運算，涉及整式的混合運算，解一元二次方程，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義，進行有理數(shù)的混合運算；（2）根據(jù)新定義，得到一元二次方程，再用因式分解法求解；（3）根據(jù)新定義，進行整式的混合運算，再代入求值即可．【詳解】（1）解：由題意得，0.2?3故答案為：16；（2）解：由xx+1?22x化簡得：2x解得：x1=0，（3）解：a+1==?2=?2a∵a∴a2∴?2a即a+13a【題型2整式乘法的應用】【例2】（23-24七年級·福建泉州·階段練習）如圖①，將一張長方形鐵皮的四個角都剪去邊長為3cm的正方形，然后沿四周折起，做成一個無蓋鐵盒，如圖②，鐵盒底面長方形的長為8xcm，寬為5x(1)請用含x的代數(shù)式表示圖①中原長方形鐵皮的面積；(2)現(xiàn)要在鐵盒的各個外表面涂上某種油漆，若每cm2需花費x元，則涂漆這個鐵盒需要多少錢（用含x【答案】(1)40(2)涂漆這個鐵盒需要40x【分析】此題考查了多項式乘多項式的應用．（1）根據(jù)長方形的面積等于長乘寬表示出原長方形鐵皮的面積即可；（2）根據(jù)原長方形鐵皮的面積減去四個小正方形的面積，求出鐵盒的表面積，再乘單價即可得到結(jié)果．【詳解】（1）原鐵皮的面積是8x+65x+6（2）油漆這個鐵盒的表面積是：40x則油漆這個鐵盒需要的錢數(shù)是：40x所以涂漆這個鐵盒需要40x【變式2-1】（23-24七年級·山西太原·階段練習）位于太原市三給片區(qū)的天美杉杉超級奧特萊斯是一座集現(xiàn)代化商業(yè)、中式文化與綠色園林三位一體的大型綜合商業(yè)體，值得期待的是將于2023年9月開始正式營業(yè)．如圖，在園區(qū)內(nèi)有一塊長為a+4b米，寬為a+b米的長方形地塊，現(xiàn)規(guī)劃將陰影部分進行綠化，中間預留部分是邊長為a?b米的正方形．(1)求綠化的面積S（用含a，b的代數(shù)式表示，并化簡）；(2)若a=3,b=2，綠化成本為100元/平方米，則完成綠化共需要多少元？【答案】(1)7ab+3b(2)5400元【分析】本題考查整式運算的實際應用，代數(shù)式求值：（1）用長方形的面積減去正方形的面積，即可；（2）將a=3,b=2代入（1）中的結(jié)果，求值后，再乘以單價即可．【詳解】（1）解：S===3（2）當a=3,b=2時，7ab+3b54×100=5400（元）．【變式2-2】（23-24七年級·浙江寧波·期末）如圖，將兩張邊長分別為a和b（a>b）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置長方形內(nèi)（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，若長方形中邊AB、AD的長度分別為m、n．設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．當

A．3b B．3a?3b C．3a D．?3b【答案】A【分析】根據(jù)題中已知線段長度，結(jié)合圖形，數(shù)形結(jié)合表示出陰影部分面積，按要求求差即可得到答案．【詳解】解：∵兩個正方形的邊長分別為a和b（a>b），且長方形中邊AB、AD的長度分別為∴在圖1中，S1在圖2中，S2∴S1∵m?n=3，∴S1故選：A．【點睛】本題考查求陰影部分面積關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，準確表示出陰影部分面積是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-3】（23-24七年級·上海青浦·期中）如圖所示，有4張寬為a，長為b的小長方形紙片，不重疊的放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分為空白區(qū)域①和空白區(qū)域②．EF=2GH(1)用含a、b的代數(shù)式表示：AD=______________；AB=______________．(2)用含a、b的代數(shù)式表示區(qū)域①、區(qū)域②的面積；(3)當a=12，b=【答案】(1)2a+b，b+a(2)43a(3)73【分析】本題考查了整式乘法的應用，找到圖中的線段間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）線段AD為2個小長方形的寬加1個小長方形的長，線段AB為1個小長方形的寬加1個小長方形的長，列出式子并化簡即可；（2）區(qū)域①的面積為長DE，寬EF的長方形的面積減去一個邊長為a的小正方形的面積列式化簡即可得出；區(qū)域②的面積：長為小長方形紙片的長，寬為GH的長方形的面積加上一個邊長為a的小正方形的面積列式化簡即可得出；（3）將兩式相減化簡后，將值代入即可得出答案．【詳解】（1）∵小長方形紙片寬為a，長為b∴AD=2a+b，AB=b+a故答案為：2a+b，b+a；（2）由圖可知，ED=a+b，EH=b，F(xiàn)G=a∵EH=EF+FG+GH，EF=2GH∴b=3GH+a∴GH=∴區(qū)域①的面積為：2a+b=2=區(qū)域②的面積為：b?a3（3）由（2）知，區(qū)域①的面積為：43a∴區(qū)域①、區(qū)域②的面積的差為：4==當a=12，b=9【題型3利用整式的乘法求字母的值】【方法總結(jié)】當多項式的乘積中不含某一項時,說明將多項式的乘積化簡合并后該項的系數(shù)為0,可利用方程思想求字母的值.【例3】（23-24七年級·江蘇鹽城·期中）我們定義：如果兩個多項式M與N的和為常數(shù)，則稱M與N互為“組合多項式”，這個常數(shù)稱為它們的“組合數(shù)”．如M=4x2?2x+6與N=?4x2+2x?3，(1)下列各組多項式中，互為“組合多項式”的是________（填序號）；①3x2?2與3x2+2；②x?9與(2)多項式A=(x?m)2與B=nx2+4x+n(3)關(guān)于x的多項式C=?mx2?6x+7m與D=m(x?1)(x+n)的“組合數(shù)”能為0嗎？若能，請求出m【答案】(1)②③(2)3(3)能，m=1，n=7【分析】本題主要考查了整式四則混合運算、求代數(shù)式值，準確理解新定義是解題的關(guān)鍵．（1）運用題目中的定義進行逐一計算、辨別；（2）先運用題目中的定義求得m，n的值，再代入求解；（3）先求C+D得，?6+mn?mx+7m?mn【詳解】（1）∵3x2?2+3∴①組多項式不是互為“組合多項式”；∵x?9+?x+8=?1，∴②組多項式是互為“組合多項式”；∵?5xy③組多項式是互為“組合多項式”，故答案為：②③（2）(x?m)=x=1+n∵A=(x?m)2與B=nx2+4x+n∴1+n=0，4?2m=0，m2解得：n=?1，m=2，∴m它們的“組合數(shù)”為3；（3）能為0，理由如下：∵C=?mx2?6x+7m∴C+D=?m=?m=?mx=若C和D的“組合數(shù)”能為0，∴?6+mn?m=0解得：m=1n=7【變式3-1】（23-24七年級·山東濟南·期中）已知M=x2?ax，N=?x，P=x3+3x2+5A．?3 B．3 C．5 D．4【答案】A【分析】本題考查了整式的運算，正確化簡M?N+P是解本題的關(guān)鍵．先求出M?N+P=a+3x2+5，再根據(jù)取值與【詳解】解：∵M=x2?ax，N=?x∴M?N+P==?=a+3∵M?N+P的值與x的取值無關(guān)，∴a+3=0，解得：a=?3，故選：A．【變式3-2】（23-24七年級·山西臨汾·期中）甲同學計算一道關(guān)于x的整式乘法題：(2x?a)2?x+bb?x，由于甲抄錯了a的符號，得到的結(jié)果是5x【答案】a=?5，b=±4，5x【分析】本題考查了整式的混合運算，先利用整式的混合運算法則進行化簡，得5x2+4ax+a2【詳解】解：(2x+a)=4=4=5=5x∴4a=?20，a2∴a=?5，b=±4，(2x?a)=5=5x【變式3-3】（23-24七年級·湖南長沙·階段練習）好學的小東同學，在學習多項式乘以多項式時發(fā)現(xiàn)：12x+4(2x+5)(3x?6)的結(jié)果是一個多項式，并且最高次項為：12x?2x?3x=3x3請你認真領(lǐng)會小東同學解決問題的思路，方法，仔細分析上面等式的結(jié)構(gòu)特征．結(jié)合自己對多項式乘法法則的理解，解決以下問題．（1）計算x+23x+1（2）若計算x2+x+1x（3）若(x+1)2021=a【答案】（1）-11；（2）a=?3；（3）2021．【分析】根據(jù)題意可得出結(jié)論多項式和多項式相乘所得結(jié)果的一次項系數(shù)是每個多項式的一次項系數(shù)分別乘以其他多項式的常數(shù)項后相加所得．（1）(x+2)(3x+1)(5x?3)中每個多項式的一次項系數(shù)分別是1、3、5，常數(shù)項分別是2、1、-3，再根據(jù)結(jié)論即可求出(x+2)(3x+1)(5x?3)所得多項式的一次項系數(shù)．（2）(x2+x+1)(x2?3x+a)(2x?1)中每個多項式的一次項系數(shù)分別是1、-3、2，常數(shù)項分別是1、a、-1，再根據(jù)（3）(x+1)2021中每個多項式一次項系數(shù)為1，常數(shù)項系數(shù)也為1，a2020為(x+1)2021所得多項式的一次項系數(shù)．所以根據(jù)結(jié)論a【詳解】（1）根據(jù)題意可知(x+2)(3x+1)(5x?3)的一次項系數(shù)為：1×1×(?3)+3×(?3)×2+5×2×1=?11．故答案為-11．（2）根據(jù)題意可知(x1×a×(?1)+(?3)×1×(?1)+2×1×a=a+3∵該多項式不含一次項，即一次項系數(shù)為0，∴a+3=0解得a=?3．（3）根據(jù)題意可知a2020即為(x+1)∴a2020故答案為2021【點睛】本題考查多項式乘多項式以及對多項式中一次項系數(shù)的理解，根據(jù)題意找出多項式乘多項式所得結(jié)果的一次項系數(shù)與多項式乘多項式中每個多項式的一次項系數(shù)和常數(shù)項關(guān)系規(guī)律是解題關(guān)鍵．【題型4運用冪的乘方比較大小】【例4】（23-24七年級·廣東佛山·期中）冪的運算逆向思維可以得到am+n=am?(1)若3m×9(2)比較大小：若a=255，b=344，c=533，則【答案】(1)m=2(2)a<b<c【分析】（1）利用冪的乘方及同底數(shù)冪的乘法的逆運算求解．（2）將a、b、c化簡為相同的指數(shù)進行比較大小．【詳解】（1）解：∵3∴∴3∴m+2m+3m=12∴6m=12解得：m=2（2）解：∵a=b=c=∵32<81<125∴32∴a<b<c【點睛】此題考查了冪的計算法則及拓展應用，解題的關(guān)鍵是正確運用計算法則及逆運算．【變式4-1】（23-24七年級·全國·單元測試）比較下列各題中冪的大小：（1）已知a=81（2）比較255（3）已知P=99（4）(?2)234_______5【答案】（1a>b>c;(2)255<622<【分析】（1）根據(jù)冪的乘方公式，化為底數(shù)是3的形式進行比較；（2）根據(jù)冪的乘方公式，化為指數(shù)是11的形式進行比較；（3）用求商法比較大小；（4）由(?2)234【詳解】（1)因為a=(34)31=3(2)因為255=(25)11=3211，(3)因為PQ=99(4)因為(?2)234=(【點睛】考核知識點：冪的乘方運用.靈活運用冪的運算性質(zhì)比較數(shù)的大小.【變式4-2】（23-24七年級·湖南岳陽·期中）已知a=2731，b=361，c=941，試比較a，b，【答案】a>c>b【分析】本題主要考查了有理數(shù)比較大小，冪的乘方的逆運算，冪的乘方計算，先根據(jù)冪的乘方和冪的乘方的逆運算法則得到a=393，【詳解】解：∵a=2731，∴a=3331∵393∴a>c>b，故答案為：a>c>b．【變式4-3】（23-24七年級·湖南·階段練習）在學習了“冪的運算法則”后，經(jīng)常遇到比較冪的大小的問題，對于此類問題，通常有兩種解決方法，一種是將冪化為底數(shù)相同的形式，另一種是將冪化為指數(shù)相同的形式，請閱讀下列材料：若a3=2，b5=3，則a、b的大小關(guān)系是a______b（填“解：∵a15=a3∴a15類比閱讀材料的方法，解答下列問題：(1)上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運算性質(zhì)：______；A．同底數(shù)冪的乘法

B．同底數(shù)冪的除法

C．冪的乘方

D．積的乘方(2)比較815(3)比較2100與3(4)已知5a=324，5b=4，【答案】(1)C(2)27(3)2(4)a=b+2c【分析】本題主要考查了冪的乘方的逆運算和冪的乘方運算，同底數(shù)冪乘法計算：（1）根據(jù)冪的乘方的逆運算法則判斷即可；（2）根據(jù)冪的乘方計算法則及其逆運算法則得到815=320，（3）根據(jù)冪的乘方計算法則及其逆運算法則得到2100=16（4）根據(jù)324=4×9×9得到5a=5b?【詳解】（1）解：由題意得，上述求解過程中，逆用了冪的乘方計算法則，故答案為：C；（2）解：∵815=345=3∴278（3）解：∵2100=2425∴2100（4）解：∵5a=324，5b=4，∴5a∴5a∴5a∴a=b+2c．【考點2乘法公式】1．平方差公式（1）平方差公式語言敘述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差．這個公式叫做（乘法的）平方差公式．（2）平方差公式的特點①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)．②右邊是相同項的平方減去相反項的平方．③公式中的a和b可以表示具體的數(shù)或單項式，也可以是多項式．2．完全平方公式（1）完全平方公式，語言敘述：兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍．這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式．（2）完全平方公式的特點：兩個公式的左邊都是一個二項式的平方，二者僅有一個“符號”不同；右邊都是二次三項式，其中有兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，中間一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍，二者也僅有一個“符號”不同．3．添括號法則法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號．（1）首先要清楚括到括號里的是哪些項．（2）括號前面是什么符號，括到括號里的項是否要改變符號，這與去括號一樣，要變都變，要不變都不變．（3）添括號后是否正確，可以用去括號來檢驗．【題型5利用乘法公式化簡求值】【方法總結(jié)】解題時要注意分析算式的結(jié)構(gòu)特征,符合“兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積”要考慮平方差公式,符合“兩數(shù)和(或差)的平方”要考慮完全平方公式.【例5】（23-24七年級·吉林長春·階段練習）已知a+b=3，ab=?1．求代數(shù)式下列代數(shù)式的值：①a2+b【答案】①11；②±【分析】本題考查了完全平方公式的變形應用，掌握完全平方公式及其變形形式是解題的關(guān)鍵．①由完全平方公式得a2②先求出(a?b)2【詳解】解：①∵(a+b)2∴a2②(a?b)2∴a?b=±13【變式5-1】（23-24七年級·貴州畢節(jié)·期中）已知(x+1x)【答案】23【分析】本題考查了運用完全平方公式變形求值，先運用完全平方公式將(x+1x)【詳解】∵(x+即x2∴x【變式5-2】（23-24七年級·湖南永州·階段練習）已知：x?y2=6，(1)xy；(2)x2【答案】(1)?(2)15【分析】本題考查野運用完全平方公式求代數(shù)式的值，熟練運用完全平方公式是正確解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式，即可解答．（2）根據(jù)完全平方公式，即可解答．【詳解】（1）解：由x?y2=6，∴x2x2①?②得：xy=?3（2）解，由x?y2=6，∴x2x2①+②得：2xx2∴x2+【變式5-3】（23-24七年級·貴州畢節(jié)·期中）（1）已知a+b=6，ab=1，求a2+b（2）已知(x+y)2=4，(x?y)2=6，求（3）已知x+1x=3【答案】（1）a2+（2）x2+（3）5【分析】本題考查的是利用完全平方公式變形求值，熟記完全平方公式是解題的關(guān)鍵．（1）利用完全平方公式變形，計算即可．（2）利用完全平方公式變形，計算即可．（3）利用完全平方公式變形，計算即可．【詳解】解：（1）∵a+b=6，∴(a+b)∴a∵ab=1，∴a2+∴(a?b)（2）∵(x+y)2=4∴x2+2xy+①+②，得2x∴x①?②，得4xy=?2，∴xy=?1（3）∵x+1∴x+∴x∴x∴x?【題型6利用乘法公式解方程或不等式】【例6】（23-24七年級·上海寶山·期中）解不等式：2x+32x?3【答案】x<?3【分析】此題主要考查完全平方公式，平方差公式及一元一次不等式的解法，熟練掌握完全平方公式及平方差公式是解題的關(guān)鍵，先根據(jù)完全平方公式，平方差公式去括號化簡，再按照一元一次不等式的解法求解即可．【詳解】解：2x+32x?3444?2x>3x<?3【變式6-1】（23-24七年級·廣東深圳·階段練習）解方程(1)(x+1)2(2)(x?1)(x+8)?x(x+3)=0．【答案】(1)x=5(2)x=2【分析】本題考查整式運算，涉及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握、運用整式運算法則．（1）利用多項式乘以多項式化簡，再按照解方程步驟即可得解．（2）利用多項式乘以多項式化簡，再按照解方程步驟即可得解．【詳解】（1）解：去括號，得x2移項，合并同類項，得2x=10．系數(shù)化為1，得x=5．（2）∵(x?1)(x+8)?x(x+3)=0，∴x∴4x=8，∴x=2．【變式6-2】（23-24七年級·上海靜安·期中）解不等式：1?2x?1?2x【答案】x≤【分析】先利用完全平方公式與平方差公式將不等式化簡為一元一次不等式，然后按照去分母、去括號、移項、合并、系數(shù)化為1的步驟求解即可．【詳解】解：將原不等式變形為：4即：203去分母，得20x?75≤3移項合并，得20x≤78系數(shù)化為1，得x≤39故不等式的解集為：x≤39【點睛】此題考查了一元一次不等式的解法，熟練掌握利用乘法公式化簡計算以及熟悉解一元一次不等式的方法步驟是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-3】（23-24七年級·湖北·階段練習）計算(1)解方程：3x?22x?3(2)解不等式：3x?12【答案】(1)x=1(2)x<【分析】本題主要考查整式的乘法運算，解一元一次不等式和一元一次方程，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）方程整理后，移項合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（2）不等式整理后，移項合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解集．【詳解】（1）解：3x?26?4x?9x?5x+6x=?5?1?6?12x=?12x=1；（2）3x?19?6x?4x>?13?2?10x>?15x<【題型7乘法公式的整體應用】【例7】（23-24七年級·甘肅張掖·階段練習）計算：a+b?c2=【答案】a【分析】本題主要考查完全平方公式，運用完全平方公式將括號展開即可．【詳解】解：a+b?c===a故答案為：a2【變式7-1】（23-24七年級·上海青浦·期中）計算：2a?b+3c?2a?b?3c=【答案】b【分析】本題考查了完