永壽縣中學(xué)2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期第一次月考高二數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁(yè)分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1.記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）．A.120 B.85 C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋裕駝t，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即為，易知，，即；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡(jiǎn)化運(yùn)算．2.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A.8 B.3 C.4 D.-4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析求解即可.【詳解】因?yàn)榍芯€方程為，可知當(dāng)時(shí)，，且切線斜率為3，即，，所以.故選：C.3.已知函數(shù)在處可導(dǎo)，若，則＝（）A.1 B. C.2 D.8【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解．【詳解】.故選：B4.下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【詳解】A：是常數(shù)，所以，不正確；B：，正確；C：，不正確；D：，不正確.故選：B5.若曲線在點(diǎn)(0,)處的切線方程為，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】由可知切線的斜率為，所以切線方程為，又切線方程為，比較系數(shù)可得a，b的值．【詳解】因?yàn)椋悬c(diǎn)為(0,)，所以切線的斜率為，則切線方程為，即，又切線方程為，即，所以，.故選：D6.函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為2，則a=（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出，即可得解.【詳解】，，故選：B.7.已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得出關(guān)于的方程，求出的值，可得出函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求得的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，，所以，，故，因此，.故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，若對(duì)任意恒成立，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0．x∈（0，+∞）．xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立．可得函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)性，即可解出．【詳解】解：令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0，x∈（0，+∞）．∵xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立．∴函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增．由lnx，可得，即又∴g（x）＞0=g（e），∴x＞e．即不等式lnx的解集為{x|x＞e}．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)造法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.區(qū)間上單調(diào)遞減C.區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)圖象確定的區(qū)間符號(hào)，進(jìn)而判斷的區(qū)間單調(diào)性，即可得答案.【詳解】由圖知：上，上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以在、上不單調(diào)，在、上分別單調(diào)遞減、單調(diào)遞增.故選：BC10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.B.是等比數(shù)列C.是等差數(shù)列D.存在，，且，使得，，成等差數(shù)列【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)A，由遞推關(guān)系式代入運(yùn)算求解判斷；對(duì)B，由可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷；對(duì)C，求出，進(jìn)而求得的通項(xiàng)，利用等差數(shù)列的定義判斷；對(duì)D，利用反證法求解判斷.【詳解】對(duì)于A，由，，則，解得，，則，故A正確；對(duì)于B，由，則，又，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，由B選項(xiàng)，可得，即，，，則，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，假設(shè)存且，使得成等差數(shù)列，則，即，即，，，，則，故上式不成立，假設(shè)錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.是的極大值 B.函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)C.在上單調(diào)遞減 D.設(shè)，則【答案】BD【解析】【分析】由函數(shù)的定義域?yàn)椋芍x項(xiàng)C錯(cuò)誤，再利用導(dǎo)數(shù)求出極小值可判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由求導(dǎo)，可判斷該函數(shù)在上單調(diào)遞減且時(shí)其函數(shù)值為，可判斷選項(xiàng)B正確；對(duì)求導(dǎo)，分析單調(diào)性，求出最小值可判斷選項(xiàng)D正確.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋芍狢錯(cuò)誤，對(duì)A，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，其定義域?yàn)椋院瘮?shù)在上單調(diào)遞減，又時(shí)其函數(shù)值為，所以函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)D，，其定義域?yàn)椋睿茫?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，也是最小值，所以，故D正確.故選：BD第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.在等差數(shù)列中，若，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)___________．【答案】【解析】【分析】利用等差數(shù)列基本量間的關(guān)系和性質(zhì)，求得公差即可．【詳解】設(shè)的公差為，由，得，所以，所以，即．故答案為：13.函數(shù)，則在上的最大值為_(kāi)__________.【答案】16【解析】【分析】由導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)確定極值點(diǎn)，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值可得最大值．【詳解】由題意，得，，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以，又16，，所以最大值為16．故答案為：16．14.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則__________．【答案】【解析】【分析】由求導(dǎo)計(jì)算公式求出，從而可求解.【詳解】由題意得，則，令，得，解得.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）15.記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的的最小值；【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量的計(jì)算可確定和，寫(xiě)出通項(xiàng)公式.（2）結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得.由.所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?由.所以或（舍去）.所以的最小值為：416.已知函數(shù)（為常數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線.（1）求的值；（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）（2）極大值為，極小值為【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得，由此即可求解；（2）求導(dǎo)得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系列表即可得解.【小問(wèn)1詳解】，∵在點(diǎn)處的切線平行于直線，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，令得或，列表如下：3+00+↗極大值↘極小值↗∴極大值為，極小值為.17.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值，（2）若，求函數(shù)在上的最大值和最小值．【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值.（2）最大值，最小值.【解析】【分析】（1）分析函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值；（2）分析函數(shù)的單調(diào)性，可求得函數(shù)的最大、最小值.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，（），所以，（）.由；由.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，且；函數(shù)無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，（），所以在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以在上，函數(shù)的最小值為，最大值為：.18.已知：函數(shù).（1）若，求的單調(diào)性；（2）若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用，求出的值，解不等式，即可求出的單調(diào)性；（2）利用函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立，推出關(guān)系式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】，，，，.將代入得，令得或.300在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】方法1：在上是增函數(shù)，上恒成立，，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，其最小值為，.實(shí)數(shù)的取值范圍是.方法2：在上是增函數(shù)，在上恒成立，，.實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.1.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，求實(shí)數(shù)a的值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)恒大于等于0，然后求出a的范圍；（2）根據(jù)題意，-1和1應(yīng)該是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而解