陜西省寶雞市金臺區(qū)寶雞方塘高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則的真子集個數(shù)為（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義及真子集的定義即可得解.詳解】，則，所以的真子集個數(shù)為.故選：A.2.設(shè)復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法及共軛復(fù)數(shù)求解即得.【詳解】依題意，復(fù)數(shù)，所以的共軛復(fù)數(shù)為.故選：A3.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題先求出閱讀過西游記的人數(shù)，進(jìn)而得解.【詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查容斥原理，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．4.若角的終邊過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)定義結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，所以，所以.故選：A5.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)推出關(guān)系直接判斷結(jié)果即可.【詳解】由得：或，，，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.已知，則下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷A；利用基本不等式判斷B；利用函數(shù)的單調(diào)性判定C、D.【詳解】對于A，因?yàn)椋?，A錯誤；對于B，因?yàn)?，所以，由基本不等式，得，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，而，所以，B正確；對于C，因函數(shù)在和上為減函數(shù)，而無法判斷范圍，所以無法確定與的大小關(guān)系，C錯誤；對于D，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，所以，D錯誤.故選：B7.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由導(dǎo)函數(shù)的部分圖象可得和的解集，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性，從而結(jié)合選項(xiàng)選擇即可.【詳解】設(shè)零點(diǎn)分別為，其中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，只有選項(xiàng)B符合條件.故選：B.8.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若的面積為S，，則外接圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由余弦定理及三角形面積公式得和，結(jié)合條件，可得，求得角，再由正弦定理即求得結(jié)果．【詳解】由余弦定理得，，所以，又，，所以有，即，又，所以，由正弦定理得，，得.所以外接圓的面積為．故選：D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解三角形問題多為邊角求值的問題，這就需要根據(jù)正弦定理、余弦定理結(jié)合已知條件，靈活選擇，它的作用除了直接求邊角或邊角互化之外，它還是構(gòu)造方程（組）的重要依據(jù)，把正、余弦定理，三角形的面積結(jié)合條件形成某個邊或角的方程組，通過解方程組達(dá)到求解的目標(biāo)，這也是一種常用的思路．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，i為虛數(shù)單位，若，則（）A.復(fù)數(shù)z的虛部為 B.C.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 D.【答案】AD【解析】【分析】由題意，，再依次判斷．【詳解】解：由題意，，則虛部為，，則A正確，B錯誤；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，C錯誤；，，，D正確，故選：AD．10.某場晚會共有2個小品類節(jié)目，4個舞蹈類節(jié)目和5個歌唱類節(jié)目，下列說法正確的是（）A.晚會節(jié)目不同的安排順序共有種B.若5個歌唱類節(jié)目各不相鄰，則晚會節(jié)目不同的安排順序共有種C.若第一個節(jié)目為舞蹈類節(jié)目，且最后一個節(jié)目不是歌唱類節(jié)目，則晚會節(jié)目不同的安排順序共有種D.若兩個小品類節(jié)目相鄰，且第一個或最后一個節(jié)目為小品類節(jié)目，則晚會節(jié)目不同的安排順序共有種【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用全排列進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，先安排2個小品類節(jié)目，4個舞蹈類節(jié)目，再利用插空法進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，從4個舞蹈節(jié)目中選擇1個安排在第一個節(jié)目，再安排歌唱類節(jié)目，最后安排剩余的5個節(jié)目，得到答案；D選項(xiàng)，將兩個小品進(jìn)行全排列，有種選擇，再從第一個或最后一個節(jié)目選擇1個位置，再將剩余的9個節(jié)目和9個位置進(jìn)行全排列，故D錯誤.【詳解】A選項(xiàng)，晚會節(jié)目不同的安排順序共有種，A正確；B選項(xiàng)，若5個歌唱類節(jié)目各不相鄰，先安排2個小品類節(jié)目，4個舞蹈類節(jié)目，有種選擇，6個節(jié)目共有7個空，選擇5個空進(jìn)行插空，故有種選擇，則晚會節(jié)目不同的安排順序共有種，B錯誤；C選項(xiàng)，若第一個節(jié)目為舞蹈類節(jié)目，則從4個舞蹈節(jié)目中選擇1個安排在第一個節(jié)目，有種安排，最后一個節(jié)目不是歌唱類節(jié)目，則除了第一個和最后一個位置外，剩余的9個位置選擇5個安排歌唱類節(jié)目，有種選擇，剩余的5個節(jié)目，剩余的5個位置，進(jìn)行全排列，有種選擇，則晚會節(jié)目不同的安排順序共有種，C正確；D選項(xiàng)，若兩個小品類節(jié)目相鄰，且第一個或最后一個節(jié)目為小品類節(jié)目，先將兩個小品進(jìn)行全排列，有種選擇，再從第一個或最后一個節(jié)目選擇1個位置，再將剩余的9個節(jié)目和9個位置進(jìn)行全排列，則晚會節(jié)目不同的安排順序共有種，D錯誤.故選：AC11.如圖，函數(shù)的部分圖象，則（）A.B.將圖象向右平移后得到函數(shù)的圖象C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上的最大值與最小值之差的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，利用五點(diǎn)法作圖求出，再結(jié)合正弦型函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對于A，觀察圖象，，的最小正周期，解得，由，得，而，則，所以，A正確；對于B，將圖象向右平移后得到函數(shù)，B錯誤；對于C，當(dāng)時，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確.對于D，函數(shù)的圖象對稱軸為，當(dāng)與關(guān)于直線對稱時，的最大值與最小值的差最小，此時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，而，當(dāng)為奇數(shù)時，，而，最大值與最小值的差為1；當(dāng)或時，函數(shù)在上單調(diào)，最大值與最小值的差最大，，當(dāng)或時均可取到等號，所以最大值與最小值之差的取值范圍為，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給定的部分圖象求解解析式，一般是由函數(shù)圖象的最高（低）點(diǎn)定A，求出周期定，由圖象上特殊點(diǎn)求.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)向量．若，則實(shí)數(shù)________.【答案】【解析】【分析】由向量的垂直關(guān)系列方程求解即可.【詳解】由得，即，由向量的坐標(biāo)，得，解得.故答案為：.13.已知x是第二象限角，若，則______．【答案】【解析】【分析】利用角的變換，以及誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】，因?yàn)閤是第二象限角，若，所以是第一象限角，所以，所以.故答案為：14.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為_________．【答案】20【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)求常數(shù)項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，，令，可得，所以常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：20四、解答題：本題共5小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.化簡與求值．（1）求的值；（2）已知，求【答案】（1）1；（2）．【解析】【分析】（1）用誘導(dǎo)公式化簡后再變形；（2）用“1”代換化為關(guān)于的齊次式，再弦化切計(jì)算．【詳解】（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式，考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，弦切互化求值，關(guān)于的二次式可利用“1”的代換化為齊次分式，再進(jìn)行弦化切變形．16.從1、3、5、7、9這五個數(shù)字中任取兩個數(shù)字，從0、2、4、6這四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字.（1）共可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?（2）共可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?【答案】（1）1260（2）660【解析】【分析】（1）首先需要討論四位數(shù)含0和不含0的情況，含0時要考慮0不在首位，再利用排列組合進(jìn)行求解；（2）組成的數(shù)為偶數(shù)時，個位數(shù)字只能時0，2，4，6中的一個，需要討論含0和不含0的情況，含有0時又分0在個位和0不在個位，再利用排列組合進(jìn)行求解.【小問1詳解】當(dāng)構(gòu)成的四位數(shù)不含0時有個；當(dāng)構(gòu)成的四位數(shù)含0時有個；故符合條件的四位數(shù)共有個【小問2詳解】因?yàn)榻M成四位偶數(shù)的個位數(shù)字只能時0，2，4，6中的一個，當(dāng)四位偶數(shù)不含數(shù)字0時，有個；含有數(shù)字0時，分為兩種，0在個位和0不在個位，有個；故符合條件的四位偶數(shù)共有個.17.在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品．從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件．（1）有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？【答案】（1）161700種；（2）9506種；（3）9604種.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意直接利用組合列式計(jì)算即可.(2)利用分步計(jì)數(shù)乘法原理結(jié)合組合列式計(jì)算即可(3)求出含有1件次品、2件次品的抽法，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算作答.【小問1詳解】所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，即(種)所以有161700種不同的抽法.【小問2詳解】從2件次品中抽出1件次品的抽法有種，從98件合格品中抽出2件合格品的抽法有種，則(種)，所以抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有9506種.【小問3詳解】抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種情況，由(2)知，有1件是次品的抽法有種，有2件次品的抽法有種，由分類加法計(jì)數(shù)原理得：(種)，所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有9604種.18.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【小問1詳解】由于，，則．因?yàn)?，由正弦定理知，則．【小問2詳解】因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，得，即，解得，而，，所以的面積．19.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求和的值；（2）討論的單調(diào)