2024—2025學年江蘇省連云港市新海初級中學上學期九年級數學第二次月考試卷

一、單選題(★)1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A．B．C．D．(★★)2.以Rt的斜邊為直徑作，則點A與的位置關系是（）

A．點A在內B．點A在上C．點A在外D．不能確定(★★)3.在中，若各邊長都擴大為原來的3倍，則銳角的正切值（）

A．擴大為原來的3倍B．縮小為原來的C．不變D．以上都不對(★★)4.如圖，直線，，則的長為（）

A．3B．C．D．(★★)5.如圖，冰淇淋蛋筒下部呈圓錐形，則蛋筒圓錐部分包裝紙的面積是（）

A．B．C．D．(★★)6.公元9世紀，阿拉伯數學家花拉子米在其著作《代數學》中提到構造圖形來尋找某個一元二次方程的解方法：先構造邊長為的正方形，再分別以，為邊作另一邊長5的長方形，最后得到四邊形是面積為64的正方形，如圖所示，花拉子米尋找的是下列一元二次方程（）的解．

A．B．C．D．(★★★)7.已知一次函數(，為常數，)，(，為常數，)的圖像如圖所示，則函數的圖像可能是（）

A．B．C．D．(★★★★)8.如圖，正方形的邊長為6，以點C為圓心，2為半徑作．P為上的動點，連接，并將繞點B逆時針旋轉得到，連接．在點P運動的過程中，長度的最大值是（）

A．B．C．D．二、填空題(★★)9.在中，，則________．(★★)10.如圖，線段兩個端點的坐標分別為，，以原點O為位似中心，在第一象限內將線段縮小為原來的一半后得到線段，則端點C的坐標為_______．(★★★)11.如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分線CD交AB于點D，則點D是線段AB的黃金分割點．若AC＝2，則BD＝______．(★★)12.《周髀算經》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點，，在同一水平線上，和均為直角，與相交于點．測得，則樹高______m．(★★)13.如圖，α是正十邊形兩條對角線的夾角，則α的度數是______°．(★★)14.“輪動發石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰國時期被廣泛應用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型，圖2是模型驅動部分的示意圖，其中，的半徑分別是1cm和10cm，當順時針轉動3周時，上的點P隨之旋轉，則______．(★★)15.如圖，已知點A是反比例函數y在第一象限圖象上的一個動點，連接OA，以OA為長，OA為寬作矩形AOCB，且點C在第四象限，隨著點A的運動，點C也隨之運動，但點C始終在反比例函數y的圖象上，則k的值為________.(★★★)16.如圖，拋物線與y軸交于點P，其頂點是A，點的坐標是，將該拋物線沿方向平移，使點P平移到點，則平移過程中該拋物線上P、A兩點間的部分所掃過的面積是______．三、解答題(★★)17.解下列方程(1)；(2)．(★★★)18.已知關于x的一元二次方程：，(1)若此方程有一個根為1，求另一個根及k的值．(2)若k為任意實數，請判斷此方程根的情況．(★★★)19.如圖，在中，，點是的中點．請用無刻度直尺和圓規在邊上作出點，使，并求的長．(★★★)20.如圖，在正方形中，點在對角線上，以點為圓心，的長為半徑的與相切于點，與分別相交于點．(1)求證：是的切線；(2)已知正方形的邊長為，求的半徑．(★★★)21.二次函數的圖象如圖所示，根據圖象解答下列問題．(1)方程的兩個根為____________，不等式的解集為____________；(2)若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍為_________；(3)若關于的一元二次方程，在的范圍內有實數根，求t的取值范圍．(★★★)22.如圖，正方形中，為上一點，是的中點，，垂足為，交的延長線于點，交于點．(1)求證：；(2)若，，求的長．(★★★)23.如圖所示，一條內設雙行道的隧道的截面由拋物線和矩形構成（兩條道路之間的距離忽略不計，矩形的長為，寬為，以所在的直線為x軸，線段的的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，y軸是拋物線的對稱軸，頂點E到坐標原點O的距離為．(1)求拋物線對應的函數表達式；(2)一輛貨運卡車高4m，寬2.4m，它能通過該隧道嗎？(3)如果在隧道正中間設一個0.4m的隔離帶，那么（2）中的貨運卡車還能通過隧道嗎？(★★★)24.某商場經營某種品牌童裝，進貨時的單價是40元，根據市場調查，當銷售單價是60元時，每天銷售量是200件，銷售單價每降低0.5元，就可多售出10件．（1）當銷售單價為58元時，每天銷售量是件．（2）求銷售該品牌童裝獲得的利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；（3）若商場規定該品牌童裝的銷售單價不低于57元且不高于60元，則銷售該品牌童裝獲得的最大利潤是多少？(★★★★★)25.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，頂點為，拋物線的對稱軸交直線于點E．(1)求拋物線的表達式；(2)把上述拋物線沿它的對稱軸向下平移，平移的距離為，在平移過程中，該拋物線與直線始終有交點，求h的最大值；(3)M是（1）中拋物線上一點，N是直線上一點．是否存在以點D，E，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．(★★★★)26.【閱讀材料】克羅狄斯?托勒密（約年）是希臘著名的數學家、天文學家和地理學家，托勒密定理是歐幾里得幾何中的重要定理，定理內容如下：任意一個凸四邊形，兩組對邊乘積的和不小于兩條對角線的乘積，當且僅當四邊形四個頂點共圓時，等號成立．即：四邊形中，有，當四點共圓時，有．【嘗試證明】（1）請將證明過程補充完整：如圖1，四邊形內接于，求證