習(xí)題三

1.解下列線性方程組:

AXX

內(nèi)-2X2+3芻+%=-3Xj+32+53-44=1

A*2—芻+“4=-3西+3X+2X-2X+X=-\

2)2345

2X-

%)+3X2+2=1%1-2-x4-x5=3

一lx2+3X3+x4=-3%一4/一一=3

X]-2X2+3X3-4X4=4

3%-2X++幾=3

3)《2

-6X2+7七-13X4=10

解：1）解為:（3為自由未知數(shù)）;

3）無解。

2.訶論；I,a,力取什么值時(shí)，下列方程組有解。

(A+3)Xj+元2+2芻=%C4+%+曰=4

1)<XX]+(A—l)x>+七=2A2)%+bx2+七=3

3(2+l)x)+AX2+(Z+3)X3=3%+2bx2+x3=4

2+312

解.：1）由于系數(shù)行列式AA—11=r（A-l）,所以當(dāng)九工0』時(shí),

3(4+1)24+3

由克萊姆法則可知方程組有解。

勺120、'3120、

當(dāng)4=0時(shí)，增廣矩陣為0-11i0T0-110方程組

、303：V000

’412;r012、

無解；當(dāng)2=1時(shí)，增:矩陣為101；201-2-7,方程

、614；3<000-2J

組無解。

11

2)由于系數(shù)行列式b1=伙1—Q),所以當(dāng)人，0且4W1時(shí)，由克萊

12b1

姆法則可知方程組有解。

11；4、a11：4、

當(dāng)人=0時(shí)，增廣矩陣為101i310：3，方程組無解。

100

010

11；4、012、

當(dāng)。=1時(shí)，增廣矩陣為ib1；30102O故當(dāng)

J2b12001-2^

a=T,b=‘時(shí)方程組有解，當(dāng)。=]力。_L時(shí)方程組無解。

22

3.證明方程組

有解的充分必要條件是4]+生+G+4+。5=0。

證明：方程組的增廣矩陣為:

-1

1-1

1-1

00000

，系數(shù)矩陣的秩為4。故方程組有解的充分必要條件是4+%+%+%+%=°。

4.判斷下列方程組解的存在性:

X+工2+工3=193

X]+依2+礦工=61

CLX+hx-\-cx=d

X2y2)\

1)%+bx2+

a2x+b2x+C2X=d~

}233

%+cx+C2X=c

3323

a^x]+bx2+CX3=d'

‘111］、

d

解：1）方程組的增廣矩陣為：:;。當(dāng)d不等于〃，b,c

a-b~cd2f

Sb3?心

中任一數(shù)時(shí)，系數(shù)矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩，方程組無解；當(dāng)d等于a,b,

C中某一數(shù)時(shí)，方程組有解。

<1aa1：o'

2）方程組的增廣矩陣為：1b*：護(hù)o當(dāng)4,b,c互不相同時(shí)，

ICC2-3

\C7

系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩為3,方程組有唯一解；當(dāng)。，〃，C有某兩個

相等時(shí)，或。，h,C全相等時(shí)，系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩分別為1或2,

方程組有無窮個解。

5.設(shè)有齊次線性方程組

axl+bx2+>>-+bxn=0

b苞+ax,+???+bx?=0

2〃，。工0,人。0,a2。

H

b.5+6元2----F奴〃=0

討論方程組何時(shí)僅有零解？何時(shí)有無窮多解？

ab???b

ha??■b

解：方程組系數(shù)矩陣的行列式=\a+（n-\）h]（a-by-1。當(dāng)

?????????

bb…a

[a+5-1）川（。一份i/O時(shí)，即人工。,，一時(shí)，方程組僅有零解；當(dāng)b=a,」~

1-771-7?

時(shí)，方程組有無窮多解。

提高題

+%力+…+”產(chǎn)4

1.證明：線性方程組｛.................有解的充分必要條件是

a2b-3c

即行歹U式〃2c—3。=6(a+〃+c)[(。一〃y+S—c)2+(c—a)2]=0,故

c2a-3b

Q+Z?+C=O。

2)若a+〃+c=O,三條直線對應(yīng)的方程增廣矩陣的秩小于3。

又:2b=2(ac-b2)=-2[(a+-Z?)2+-Z?20,所以系數(shù)矩陣的秩為2。從而

b2c24

方程組有唯一解。

3.已知方程組

X)+x2-2幾=-6%+nvc2-x3-x4=-5

(I)<4x,-x2-x3-x4=1與(II)<ivc-,—X：—2/=—11°

3尤1-x2-x3=3須-2x4=-r+1

問方程組(II)中的參數(shù)機(jī),為何值時(shí)，方程組(I)與(II)同解。

解：因?yàn)榉匠探M(D與(II)同解，則方程組(I)與(I)、(II)聯(lián)立的方程組

同解。(I)、(II)聯(lián)立的方程組增廣矩陣為

，110-2-6、r100-1-2、

4-1-1-11010-1-4

3-1-103001-2-5

o

1m-1-1-5000m-24(m—2)

0n-1-2-11000-4+H4(n-4)

、001-2T+1,、0000T+6,

所以m=2,〃=4,t=6o

4.給定齊次線性方程組

《內(nèi)+…+即再=()

。，肅+…0

其中A=(%)的行列式|川=0,且存在一，/0,若(不，…,X”)是方程組的任

一非零解，證明：工=工=-=工0

A.A24,

證明：由于|川=0,且存在一所以齊次方程組的系數(shù)矩陣的秩為

基礎(chǔ)解系中僅含一個非零解。又…是齊次方程組的一個非零解，所以

工=旦=…

AiA24”

習(xí)題四

1.設(shè)%=(2,5,1,3),a2=(10,1,5,10),a3=(4,1,-1,1)。且向量a滿足

3(臼-a)+2(%+a)=5(%+。)，求a。

解：a=(1,2,3,4)o

2.卜列向量組中，向量/能否可由四，a2，出線性表示？若能，寫出表示式，

并說明表示式是否唯一。

1)%=(1』』』)，a2=(1,1,-1,1),a3=(1,-1,1,-1),4=(1,2,1,2)；

2)a,=(1,2,1,3),a2=(l,-3,-4,-7),GCy=(2,1,—1,0),p=(4,—1,-5,—6)o

%

11)00

12000,,31

解：1)因?yàn)椋?n=5%一耳%。

1100-/

J2,000

1°7

表示式是唯一的。

(\124、10%:陰

2-31-1

2)因?yàn)?%:%,故表示式不唯一,

1-4-1-5

0000

3-70一6)

<000°>

其中一個表示為119

B=—CX,,H------0(f0

5?5一

3.判斷下列向量組是否線性相關(guān):

1)%=(2,3,6),%=(5,2,0),%=(7,5,6)；

2)?=(1,3,4,-2),a2=(2,1,3,-1),=(3,-1,2,0)：

3)%=(1,2,3),a2=(2,3,1),%=(l,3,r)；

4)=(l,c,c2)o

解：1)線性相關(guān)；2)線性無關(guān)；3)當(dāng)，=8時(shí)線性相關(guān)，當(dāng)，工8時(shí)線性無關(guān)。

4)當(dāng)a/,c有某兩個相等時(shí)線性相關(guān)，當(dāng)出"c互不相同時(shí)線性無關(guān)。

4.設(shè)%,%,%線性無關(guān)，證明/，/+%,0+%+。3也線性無關(guān)u

證明：設(shè)有+%2（%+%）+%（%+%+%）=°，即

（仁+&+%）?+（攵2+&）%+&%=°o由于%,%，%線性無關(guān)，所以

（占+&+%3）=（*2+23）=無3=°，推出仁=6=（=0。故%，《1+%，

四+%+%也線性無關(guān)。

5.設(shè)向量組/,,?,，/線性無關(guān)，而向量組…，4,《線性相關(guān)。證明"可

表示成囚，…，區(qū)的線性組合，且表示式是唯一的。

證明：因?yàn)橄蛄拷M囚，…，4,4線性相關(guān)，故存在不全為零的匕，…，匕火使

得K/+,,?+&q+〃/?=0o若％=0,則人%+…+人%=0。又名,…，as

線性無關(guān)，可得占=-=兒=0,此與《，?、4人不全為零矛盾，所以女工0。

從而有方=-1（攵臼+…+&q）,即月可表示成名,…，a,的線性組合。

k

下證表示式是唯一。設(shè)有尸=%烏++&q.=/臼+…,可得

（仁一/1）%+…+（《一《）4=0o由4線性無關(guān)，可得

kh=0,即表示式是唯一的。

6.判斷下列兩向量組是否等價(jià)：

>.=(1,1-1-1)

,=(1,2,1,1)

1)尸2=；

a=(1,1,1,1)

2A=(1-1-1,1)

4=(11,0)

4=(121)

2)a2=(0,1,1)

/72=(1-1-2)

3)ct19,a?。、—a1—a、,—a?一一°

111、U1111A

211-1-10-1-1-3-3

解：1）因?yàn)?故兩向量組

11-11-100101

-1-11;W001一匕

不等價(jià)。

01:11、01:11]

2)因?yàn)?10；2-1T01-151-2,故兩向量組等

,01-1i1-2,00；0°,

價(jià)。

3）因?yàn)?二—（見+夕3），所以無論名，%，%的相關(guān)性如何，片，&自都

是線性相關(guān)的，故%,%，％與回，聲2,四不等價(jià)。

7.求下列向量組的極天線性無關(guān)組，并用它來表示其余向量：

1）a,=（0,0,0,1）,a2=（1,1,0,1），a3=（2,1,3,1）,a4=（l,l,0,0）,

%=(0』,—1,-1)。

2)?,=(1,1,2,2,1),6f2=(0,2,1,5,-1),%=(2,。,3,—1,3),=(1,1,0,4,-1)o

9120、00-10

011101010

解：1）因?yàn)?所以a1,%，4，%是一

0030-100100

J110一"<00001

個極大線性無關(guān)組,且％=-a}+a2o

1021000、

20000

2）因?yàn)?30000,原向量組即為它的一個極大

25-140001

-13、0000;

線性無關(guān)組。

8.證明：秩（A+3）（秩（A）+秩（3）。

訐明：記4的行向量組為四,，極大線性無關(guān)組為%,%2,…，/人："的

行向量組為*夕2,…，片，極大線性無關(guān)組為斗,42,…，為。則A+3的句量

組為火+四,…,%十后,它可由%,%2,…，%t，%,月2,…，為線性表不。所以

秩（A+8）=秩（囚+4,,??,氏+瓦）?女+/=秩（A）+秩（8）。

9.用基礎(chǔ)解系表示下列方程組的解。

司+%—2芻-x4+x5=1

1)3X|一無2+尢3+4%+3天=4；

XX

芭+5X2-93-84+x5=0

X,+x2+x3+x4+x5=1

2)《X

2x+2X2-x3-x4+25=5o

天+%一天二-1

1-2-11

解：1)因?yàn)?-114340?。%

J5-9-8100000i0

記7=（%，%，l，°，0）',%=（—%，%，0，L0）'，%=（TO,0,0/）'

，7o=（%，一/，°，°，°）'，則通解為%+47+女2〃2+23/73（4，&，%3為任意數(shù)）。

Hill1](\1000；2

2)因?yàn)?2-1—12；5f()0110；-1記

；-1J1,00001；0

J)011-1

7=（—1,1,（）,0,0）',%=（°，0，T，l，°）'，缶=（2,0,—I,。,0）'，則通解為

%+31+%2〃2（人,但為任意數(shù)）。

10.設(shè)%是非齊次線性方程組=B的解，/，…，么是AX=0的基礎(chǔ)解系。證

明：7，,么,依線性無關(guān)。

證明：設(shè)有人,…人,左使得勺7+…+%么+切0=0（1）,若k彳。,則：

%二一;（仁7+…+%/），從而A〃O=-：（K47I+…+&A么）=°，即仇為

kk

AX=（）的解，矛盾。故左=0,代入（1）,由彷，…,么線性無關(guān)，知人二??4二0,

所以〃,,依線性無關(guān)。

11.設(shè)丫是一線性空間，…，%為V中一組向量，記

心（四,…,4）=伏烏+.?+人見|K，…人是任意數(shù)｝o證明￡（四,???,《）是V的子

空間（該子空間稱為生成子空間）。

證明：任意a,/7￡〃囚,?,?,4),則《=+…+%%,尸=/烏+??+/0,，從

而a+￡=(K+/])/+…+(8+()%￡〃《「??,4)o又對任意數(shù)A,

ka=kg+…+尿0,GL(a1,…,鬼)。所以L(?,…,a,)是V的子空間。

12.設(shè)丫={*[,工2，七)|2%一工2+3芻=°；%，X2，工3ER}。證明丫為一線性空間，求

V的一個基和標(biāo)準(zhǔn)正交基。

證明：因?yàn)閂為齊次線性方程組2%-/+3%3=0解，由齊次方程組解得線性組合

仍是齊次線性方程組的解知V為一線性空間。它的基礎(chǔ)解系為V的一個基：

131

7=(5,1,0)'，％=(-5,0，1)'。施密特正交化得：4=[彳(1,2,0)'，

夕2=—y=(-6,3,5)ro

4J5

13.在R3中，求由基?1=(1,2,-1),a2=(l,-l,l),6Z3=(-1,2,1)到基

川=(2,0,1),尸2=(0，覃)，43=(1，T2)的過渡矩陣。

'11-1:201^100:-%%%

解：因?yàn)?-12：01-1-010：%%%，所

，-53117

以所求過渡矩陣為:12412

8