初中數學校本教材

前言《教學課程標準》中指出：“數學可以幫助人們更好地探求客觀

世界的規律，并對現代社會中大量紛繁復雜的信息作出恰當的選擇和

判斷，進而解決問題，直接為社會創造價值”O這說明教學來源于社

會，同時也反作用于社會，社會生活與數學關系密切，它已經滲透到

生活的每個方面，我們的衣食住行都離不開它。現代數學論認為：

教學源于生活，又運用于生活，生活中充滿數學，數學教育寓于生活

實際。有意識地引導學生溝通生活中的具體問題與有關數學問題的聯

系，借助學生熟悉的生活實際中的具體事例，激發學生學習數學的求

知欲，幫助學生更好的理解和掌握數學基礎知識，并運用學到的數學

知識去解決實際生活中的數學問題。

數學家克萊因認為：“數學是人類最高超的智力成就，也是人類

心靈最獨特的創作。音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩

歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但教學能

給予以上的一切。”美作為現實的事物和現象，物質產品和精神產

品、藝術作品等屬性總和，具有：勺稱性、比例性、和諧性、色彩變

幻、鮮明性和新穎性。作為精神產品的數學就具有上述美的特點。

簡練、精確是數學的美。數學的基本定理說法簡約，卻又涵蓋真

理，讓人閱讀簡便卻又印象深刻。數學語言是如此慎重的、有意的而

且經常是精心設計的，憑借數學語言的嚴密性和簡潔性，我們就可以

表達和研究數學思想，這種簡潔性有助于思維的效率。

教學很講究它的邏輯美。數學的應用是被人們廣泛認同的，可學

習教學還能訓練人的邏輯思維能力。尤其是幾何的證明講究前因后

果，每一步都要前后呼應，抽象的數學也顯示它模糊的美。抽象給我

們想象的余地，讓我們思維海闊天空，給學生留有了思索和創新的空

間。抽象的數學不正展示它的魅力嗎？

第一部分最完美的數

完美數又稱為完全數，最初是由畢達哥拉斯(Pythagoras)的信徒

發現的，他們注意到：

數6有一個特性，它等于它自己的因子(不包括它自身)的和：

6=1+2+3,

下一個具有同樣性質的數是28,28=1+2+4+7+14

接著是496和8128.他們稱這類數為完美數.

歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了：

若2~1是素數，則數

2n-1[2n-1](1)是完全數.

兩千年后，歐拉證明每個偶完全數都具有這種形式.這就在完全數

與梅森數(形式為2”—1的素數)之間建立了緊密的聯系，到

1999年6月1日為止，共發現了38個梅森素數，這就是說已發現了38

個完全數.

1:完全數是非常奇特的數，它們有一些特殊性質，例如每個完全

教都是三角形數，即都能寫成n(n+1)/2.

6=1+2+3=3*4/2

28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2

496=1+2+3+4+...+31=31*32/2....

2n-1(2-1)=1+2+3+...+(2-1)=(2-1)272

2：把它們(6除外)的各位數字相加，直到變成一位數，那么這個一位

數一定是1;它們都是連續布數的立方和(6除外)，

22(2-1)=28=13+33

24(2-1)=496=13+33+53+73

26(2-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+153....

n333<n1)/23

(2-l)=1+3+5+...+(2*-D

3：除了因子1之外，每個完全數的所有因子(包括自身)的倒數和等

于1,比如：

172+1/3+1/6=1

1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1...

4：完全數都是以6或8結尾的，如果以8結尾，那么就肯定是以28結

尾.

注意以上談到的完全數都是偶完全數，至今仍然不知道有沒有奇完全

數,如果真的存在奇完全數.

第二部分歸納與發現

歸納的方法是認識事物內在聯系和規律性的一種重要思考方法，

也是數學中發現命題與發現解題思路的一種重要手段.這里的歸納指

的是常用的經驗歸納，也就是在求解數學問題時，首先從簡單的特殊

情況的觀察入手，取得一些局部的經驗結果，然后以這些經臉作基礎，

分析概括這些經臉的共同特征，從而發現解題的一般途徑或新的命題

的思考方法.下面舉幾個例題，以見一般.

例1如圖2-99,有一個六邊形點陣，它的中心是一個點，算作

第一層；第二層每邊有兩個點（相鄰兩邊公用一個點）；第三層每邊有

三個點，…這個六邊形點陣共有n層，試問第n層有多少個點？這個

點陣共有多少個點？

分析與解我們來觀察點陣中各層點數的規律，然后歸納出點陣

共有的點數.第一層有點數：1;

第二層有點數：1X6;

第三層有點數：2X6;

第四層有點數：3X6;

第n層有點數：(n-1)X6.

因此，這個點陣的第n層有點(nT)又6個.n層共有點數為

l+lX6+2X6+3X6+-+(n-l)X6

=l+6[l+2+-+(n-l)]

[l+(n-l)]x(n-l)

=l+6x-

=1+3(n-l)n.

例2在平面上有過同一點P,并且半徑相等的n個圓，其中任何

兩個圓都有兩個交點，任何三個圓除P點外無其他公共點，那么試問：

pp

圖2-100

(1)這n個圓把平面劃分成多少個平面區域？

(2)這n個圓共有多少個交點？

分析與解(1)在圖2700中，設以P點為公共點的圓有1,2,3,

4,5個(取這n個特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區域

有多少個？為此，我們列出表18.1.

表18.1

圓的個數n12345???n

平面區域數sn2471116????

由表18.1易知

S2-SF2,

S3-S2=3,

S「S3=4,

Ss-S4=5,

由此，不難推測

Sn-Sn-1

把上面（n-1）個等式左、右兩邊分別相加，就得到

S「Si=2+3+4+…+n,

因為SE2,所以

Sn=2+2+34--+n=l+(l+2+3+-+n)

2

這就證明了當n個圓過P點時，可把平面劃分為一三個平面區域.

2下

面對S-Sn-Fn,即S尸Se+n的正確性略作說明.

因為Se為nT個圓把平面劃分的區域數，當再加上一個圓，即

當n個圓過定點P時，這個加上去的圓必與前nT個圓相交，所以這

個圓就被前n-1個圓分成n部分，加在Se上，所以有Sn=Se+n.

（2）與（1）一樣，同樣用觀察、歸納、發現的方法來解決.為此，

可列出表18.2.

表18.2

圓的個數k12345???n

圓的交點數ak124711???紂？

由表18.2容易發現

ai=1,

a2-ai=1,

a「a2=2,

a「a3=3,

as-^4=4,

an-i-an-2=n—2,

an-an-i=n-1.

n個式子相加

%=1+[l+2+3+-+(n-l)]

_(n-l)nn2-n+2

=1+---------=------------

22

所以，當有滿足條件的n個圓過P點時，這n個圓共有土產個交點.

注意請讀者說明a產aeI(n-1)的正確性.

例3設a,b,c表示三角形三邊的長，它們都是自然數，其中a

WbWc,如果b=n(n是自然數)，試問這樣的三角形有多少個？

分析與解我們先來研究一些特殊情況:

(1)設4『1,這時b=1,因為aWbWc,所以a=1,c可取1,2,

3,….若c=1,則得到一個三邊都為1的等邊三角形；若c22,由

于a+b=2,那么a+b不大于第三邊c,這時不可能由a,b,c構成

三角形，可見，當b=n=1時，滿足條件的三角形只有一個.

(2)設b=n=2,類似地可以列舉各種情況如表18.3.

表18.3

aC三角形個數

22,32

121

這時滿足條件的三角形總數為：1+2=3.

(3)設b=n=3,類似地可得表18.4.

表18.4

aC三角形個數

33,4,53

23,42

131

這時滿足條件的三角形總數為：1+2+3=6.

通過上面這些特例不難發現，當b二n時，滿足條件的三角形總數

為：

__n(n+1)

1+2+3+…+n=.

2

這個猜想是正確的.因為當b=n時，a可取n個值(1,2,3,

n),對應于a的每個值，不妨設a=k(1WkWn).由于bWcVa+b,

即nWcVn+k,所以c可能取的值恰好有k個(n,n+1,n+2,…,

n+k-1),所以，當b二n時，滿足條件的三角形總數為：

,__n(n+l)

1+2+3+…+n='-

2

例4設1X2X3X???Xn縮寫為n!(稱作n的階乘)，試化簡：1!

X1+2!X2+3!X3H------bn!Xn.

分析與解先觀察特殊情況：

(1)當n=1時，原式二仁(1+1)!-1;

(2)當n=2時,原式二5二(2+1)!-1；

(3)當『3時,原式二23二(3+1)!-1；

⑷當n=4時,原式=119=(4+1)!-1.

由此做出一般歸納猜想：原式二(n+1)!-1.

下面我們證明這個猜想的正確性.

1+原式=1+(1!X1+2!X2+3!X3+…+n!Xn)

=1!X2+2!X2+3!X3+…+n!Xn

=2!+2!X2+3!X3+…+n!Xn

=2!X3+3!X3+…+n!Xn

—3!+3!X3+,,，+n!Xn=?,,

=n!+n!Xn=(n+1)!,

所以原式二(n+1)!-1.

例5設x>0,試比較代數式Y和x4x+2的值的大小.

分析與解本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設x等于

某些特殊值，代入兩式中做試驗比較，或許能啟發我們發現解題思

路.為此，設x=0,顯然有

X3<X2+X+2.①

設x=10,貝”有x'lOOO,X2+X+2=112,所以

X3>X2+X+2.②

設x=100,則有:>x?+x+2.

觀察、比較①，②兩式的條件和結論，可以發現：當x值較小時,

x3<x2+x+2；當x值較大時，X3>X2+X+2.

那么自然會想到：當X二？時，x3=x?+x+2呢？如果這個方程得解,

則它很可能就是本題得解的“臨界點”.為此，設X-X2+X+2,則

X3-X2-X-2=0,

(X3-X2-2X)+(x-2)=0,

(x-2)(x2+x+1)=0.

因為x>0,所以x2+x+1>0,所以x-2=0,所以x=2.這樣

(1)當x=2時，X3=X2+X+2;

(2)當0VxV2時，因為

x-2VO,X2+X+2>0,

所以(x—2)a+x+2)VO,

即

3

x-(X2+X+2)<0,

所以X3<X2+X+2.

(3)當x>2時，因為

x-2>0,X2+X+2>0,

所以(x-2)(X2+X+2)>0,

即

X3-(X2+X+2)>0,

所以X3>X2+X+2.

綜合歸納(1),(2),(3),就得到本題的解答.

練習七

1.試證明例7中：

p_n2+1

.=8+1)2

2.平面上有n條直線，其中沒有兩條直線互相平行(即每兩條直

線都相交)，也沒有三條或三條以上的直線通過同一點.試求：

(1)這n條直線共有多少個交點？

(2)這n條直線把平面分割為多少塊區域？

然后做出證明.)

3.求適合x'656356768的整數x.

(提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：505V

656356768<605,所以5()2VxV602.)

第三部分生活中的數學（儲蓄、保險與納稅）

儲蓄、保險、納稅是最常見的有關理財方面的數學問題，幾乎人

人都會遇到，因此，我們在這一講舉例介紹有關這方面的知識，以增

強理財的自我保護意識和處理簡單財務問題的教學能力.

1.儲蓄

銀行對存款人付給利息，這叫儲蓄.存入的錢叫本金.一定存期

（年、月或日）內的利息對本金的比叫利率.本金加上利息叫本利和.

利息二本金X利率X存期，

本利和二本金X（1+利率經X存期）.

如果用p,r,n,i,s分別表示本金、利率、存期、利息與本利

和，那么有

i=prn,s=p（1+rn）.

例1設年利率為0.0171,某人存入銀行2000元，3年后得到利

息多少元？本利和為多少元？

解i=2000X0.0171義3=102.6（元）.

s=2000X（1+0.0171X3）=2102.6（元）.

答某人得到利息102.6元，本利和為2102.6元.

以上計算利息的方法叫單利法，單利法的特點是無論存款多少

年，利息都不加入本金.相對地，如果存款年限較長，約定在每年的

某月把利息加入本金，這就是復利法，即利息再生利息.目前我國銀

行存款多數實行的是牟利法.不過規定存款的年限越長利率也越

高.例如，1998年3月我國銀行公布的定期儲蓄人民幣的年利率如

表22.1所示.

表22.1

存期1年2年3年5年

年不蟀(%)5.225.586.216.66

用復利法計算本利和，如果設本金是p元，年利率是r,存期是n

年，那么若第1年到第n年的本利和分別是由，S2,…，sn,則

sFp(1+r),

2

s2=si(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r),

+3

s3=s2(1+r)=p(1+r)2(1r)=p(1+r),

n

...,sn=p(1+r).

例2小李有20000元，想存入銀行儲蓄5年，可有幾種儲蓄方

案，哪種方案獲利最多？

解按表22.1的利率計算.

(1)連續存五個1年期，則5年期滿的本利和為

20000(1+0.0522)5=25794(元).

(2)先存一個2年期，再連續存三個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0558X2)?(1+0.0522)3心25898(元).

(3)先連續存二個2年期，再存一個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0558X2)2?(1+0.0552)=26003(元).

(4)先存一個3年期，再轉存一個2年期，則5年后的本利和為

20000(1+0.0621X3)?(1+0.0558X2)七26374(元).

(5)先存一個3年期，然后再連續存二個1年期，則5年后本利

和為

20000(1+0.0621X3)?(1+0.0522)2226268(元).

(6)存一個5年期，則到期后本利和為

20000(1+0.0666X5)726660(元).

顯然，第六種方案，獲利最多，可見國家所規定的年利率已經充

分考慮了你可能選擇的存款方案，利率是合理的.

2.保險

保險是現代社會必不可少的一種生活、生命和財產保護的金融事

業.例如，火災保險就是由于火災所引起損失的保險，人壽保險是由

于人身意外傷害或養老的保險，等等.下面舉兩個簡單的實例.

例3假設一個小城鎮過去10年中，發生火災情況如表22.2所

示.

表22.2

總家數365371385395412418430435440445

被燒家數1012021202

試問：（1）設想平均每年在1000家中燒掉幾家？

（2）如果保戶投保30萬元的火災保險，最低限度要交多少保險費

保險公司才不虧本？

解（1）因為

1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11（家），

365+371+385+395+412+418+430+435+440+445=4096（家）.

114-4096^0.0026.

（2）300000X0.0026=780（元）.

答（1）每年在1000家中，大約燒掉2.6家.

（2）投保30萬元的保險費，至少需交780元的保險費.

例4財產保險是常見的保險.假定A種財產保險是每投保1000

元財產，要交3元保險費，保險期為1年，期滿后不退保險費，續保

需重新交費.B種財產保險是按儲蓄方式，每1000元財產保險交儲

蓄金25元，保險一年.期滿石不論是否得到賠款均全額退還儲蓄金，

以利息作為保險費.今有兄弟二人，哥哥投保8萬元A種保險一年，

弟弟投保8萬元B種保險一年.試問兄弟二人誰投的保險更合算些？

（假定定期存款1年期利率為5.22%）

解哥哥投保8萬元A種財產保險，需交保險費

800004-1000X3=80X3=240（元）.

弟弟投保8萬元B種財產保險，按每1000元交25元保險儲蓄金

算，共交

80000-F1000X25=2000（元）,

而2000元一年的利息為

2000X0.0522=104.4（X）.

兄弟二人相比較，弟弟少花了保險費約

240-104.4=135.60（元）.

因此，弟弟投的保險更合算些.

3.納稅

納稅是每個公民的義務，對于每個工作人員來說，除了工資部分

按國家規定納稅外，個人勞務增收也應納稅.現行勞務報酬納稅辦法

有三種：

(1)每次取得勞務報酬不超過1000元的(包括1000元)，預扣率

為3%,全額計稅.

(2)每次取得勞務報酬1000元以上、4000元以下，減除費用800

元后的余額，依照20%的比例稅率，計算應納稅額.

(3)每次取得勞務報酬4000元以上的，減除20%的費用后，依

照20%的比例稅率，計算應納稅額.

每次取得勞務報酬超過20000元的(暫略).

由(1),(2),(3)的規定，我們如果設個人每次勞務報酬為x元，

y為相應的納稅金額(元)，那么，我們可以寫出關于勞務報酬納稅的

分段函數：

x?3%,x<1000；

<y(x)=(x-800)?20%,1000<x<4000；①

x(1-20%)?20%,4000<x<20000.

例5小王和小張兩人一次共取得勞務報酬10000元，已知小王

的報酬是小張的2倍多，兩人共繳納個人所得稅1560元，問小王和

小張各得勞務報酬多少元？

解根據勞務報酬所得稅計算方法（見函數①），從已知條件分析

可知小王的收入超過4000元，而小張的收入在1000?4000之間，如

果設小王的收入為x元，小張的收入為y元，則有方程組：

x+y=10000,Q）

,x（l-20%）20%+（y-800）20%=1560.②

由①得y=10000r,將之代入②得

x（1-20%）20%+（10000-X-800）20%=1560,

化簡、整理得

0.16x-0.2x+1840=1560,

所以

0.04x=280,x=7000（元）.

則y=10000-7000=3000（元）.

所以

'X=7000（兀），

y=3000（元）.

答小王收入700。元，小張收入3000元.

例6如果對寫文章、出版圖書所獲稿費的納稅計算方法是

((x-800)?20%?(1-30%),K4000；

83=\x=(1-20%)?20%*(1?30%),x>4000.

其中y(x)表示稿費為x元應繳納的稅額.

那么若小紅的爸爸取得一筆，稿費，繳納個人所得稅后，得至U6216

元，問這筆稿費是多少元？

解設這筆稿費為x元，由于x>4000,所以，根據相應的納稅

規定，有方程

x(1-20%)?20%X(1-30%)=x-6216,

化簡、整理得

0.112x=x-6216,

所以0.888x=6216,

所以x=7000(元).

答這筆稿費是7000元.

練習八

1.按下列三種方法，將100元存入銀行，10年后的本利和各是

多少？(設1年期、3年期、5年期的年利率分別為5.22%,6.21%,

6.66%保持不變)

(1)定期1年，每存滿1年，將本利和自動轉存下一年，共續存

104；

(2)先連續存三個3年期，9年后將本利和轉存1年期，合計共

存10年;

(3)連續存二個5年期.

2.李光購買了25000元某公司5年期的債券，5年后得到本利

和為40000元，問這和債券的年利率是多少？

3.王芳取得一筆稿費，繳納個人所得稅后，得到2580元，問這

筆稿費是多少元？

4.把本金5000元存入銀行，年利率為0.0522,幾年后本利和

為6566元(單利法)？

第四部分了解中外著名數學家

1、韋達（15407603）,法國數學家。

年青時學習法律當過律師，后從事政治活動，當過議會議員，在

西班牙的戰爭中曾為政府破譯敵軍密碼。韋達還致力于數學研究，第

一個有意識地和系統她使用字母來表示已知數、未知數及其乘賽，帶

來了代數理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的多種有理變換，

發現了方程根與分數的關系，韋達在歐洲被尊稱為“代教學之父”。

1579年，韋達出版《應用于三角形的數學定律》

2、帕斯卡（1623——1662年）是法國數學家、物理學家和哲學家.

16歲的時候就發現了著名的“帕斯卡定理”，即“圓錐曲線內接

六邊形的三組對邊的交點共線”，對射影幾何學作出了重要貢獻.19

歲時，發明了一種能做加法和減法運算的計算器，這是世界上第一臺

機械式的計算機.他對連續不可分量、微分三角形、面積和重心等問

題的深入研究，對微積分學的建立起到了積極的作用.帕斯卡對數學

的最大貢獻是創立概率論，為了解決概率論和組合分析方面的問題，

帕斯卡廣泛應用了算術三角形（即二項式定理系數表，西方稱帕斯卡

三角，我國稱賈憲三角或楊輝三角），并深入研究了二項展開式的系

數規律以及這個三角形的構造及其許多有趣的性質。帕斯卡在物理學

方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著《思想錄》和《致鄉人書》

對法國散文的發展產生了重要的影響。

3、在數學史上，很難再找到如此年輕而如此有創見的數學家。他就

是出生在法國的伽羅華(1811——1832)

伽羅華才華橫溢，思維敏捷，十七歲時就寫了一篇關于《五次方

程代數解法》這個世界數學難題的論文，最先提出了近代數學的一個

基本概念——“群可是這篇論文被法國科學院一位目空一切的數

學家丟失了。次年，他又寫了幾篇數學論文送交法國科學院，不料主

審人因車禍去世，論文也不知所蹤。再過兩年，他被近把自己的研究

再次寫成簡述，寄往法國科學，他去信尖銳地提醒權威們：“第一，

不要因為我叫伽羅化，第二，不要因為我是大學生，''而"預先決定

我對這個問題無能為力。”在這封咄咄逼人的書信面前，有兩位數學

家不得不宣讀了他的研究簡述，但隨即又以“完全不能理解”予以否

定，其實，他們并沒有讀懂伽羅華的論文。

伽羅華二十一歲那年死于決斗。臨死前他對守在旁邊的弟弟說：

“不要忘了我，因為命運不讓我活到祖國知道我的名字的時候。”在

決斗前夜，他給友人寫了著名的“科學遺囑”，其中充滿自信地說：

“我一行中不只一次敢于提出我沒有把握的命題，我期待著將來總會

有人認識到：解開這個謎對雅可比和高斯是有好處的。”

他的預言成為現實，那是在二十八年他的六十頁厚的論文終于出

版的時候，從此，他被認為“群論”的奠基人。

4、劉徽

劉徽（生于公元250年左右），是中國數學史上一個非常偉大的

教學家，在世界數學史上，也占有杰出的地位.他的杰作《九章算術

注》和《海島算經》，是我國最寶貴的數學遺產.

《九章算術》約成書于東漢之初，共有246個問題的解法.在許

多方面：如解聯立方程，分數四則運算，正負數運算，幾何圖形的體

積面積計算等，都屬于世界先進之列，但因解法比較原始，缺乏必要

的證明，而劉徽則對此均作了補充證明.在這些證明中，顯示了他在

多方面的創造性的貢獻.他是世界上最早提出十進小數概念的人，并

用十進小數來表示無理數的立方根.在代教方面，他正確地提出了正

負數的概念及其加減運算的法則；改進了線性方程組的解法.在幾何

方面，提出了“割圓術"，即將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種

求圓面積和圓周長的方法.他利用割圓術科學地求出了圓周率TT

=3.14的結果.劉徽在割圓術中提出的“割之彌細，所失彌少，割之

又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，這可視為中國古代極

限觀念的佳作.

《海島算經》一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題

目的創造性、復雜性和富有代表性，都在當時為西方所矚目.

劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀.他是我國最

早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人.

劉徽的一生是為數學刻苦探求的一生.他雖然地位低F,但人格

高尚.他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華

民族留下了寶貴的財富.

5、賈憲

賈憲，中國古代北宋時期杰出的數學家。曾撰寫的《黃帝九章算

法細草》（九卷）和《算法教古集》（二卷）（數XiQ0,意：數導）

均已失傳。

他的主要貢獻是創造了“賈憲三角”和增乘開方法，增乘開方法即

求高次森的正根法。目前中學數學中的混合除法，其原理和程序均與

此相仿，增乘開方法比傳統的方法整齊簡捷、又更程序化，所以在開

高次方時，尤其顯出它的優越性，這個方法的提出要比歐洲數學家霍

納的結論早七百多年。

6、秦九韶

秦九韶（約1202—1261）,字道古，四川安岳人。先后在湖北，

安徽，江蘇，浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州，（今廣東梅縣），

不久死于任所。他與李冶，楊輝，朱世杰并稱宋元數學四大家。早年

在杭州“訪習于太史，又嘗從隱君子受數學”，1247年寫成著名的《教

書九章》。《數書九章》全書凡18卷，81題，分為九大類。其最重要

的數學成就——“大衍總數術”（一次同余組解法）與“正負開方術

”（高次方程數值解法），使這部宋代算經在中世紀世界數學史上占有

突出的地位。

7、李冶

李冶（1192——1279）,原名李治，號敬齋，金代真定欒城人，曾

任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居治

學，被元世祖忽必烈聘為翰林學士，僅一年，便辭官回鄉。1248年

撰成《測圓海鏡》，其主要目的是說明用天元術列方程的方法。“天元

術”與現代代數中的列方程法相類似，“立天元一為某某”，相當于“設

x為某某“，可以說是符號代數的嘗試。李冶還有另一步教學著作《益

古演段》（1259）也是講解天元術的。

8、朱世杰

朱世杰（1300前后），字漢卿，號松庭，寓居燕山（今北京附近），“以

數學名家周游湖海二十余年”，“踵門而學者云集”（英若、祖頤：《四

元玉鑒》后序）。朱世杰數學代表作有《算學啟蒙》（1299）和《四元

玉鑒》（1303）。《算術啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影

響了朝鮮、日本數學的發展。《四元玉鑒》則是中國宋元數學高峰的

又一個標志，其中最杰出的數學創造有“四元術”（多元高次方程列

式與消元解法）、“垛積術”（高階等差數列求和）與“招差術”（高次

內插法）.

9、祖沖之

祖沖之（公元429?500年）祖籍是現今河北省洙源縣，他是南北朝

時代的一位杰出科學家。他不僅是一位數學家，同時還通曉天文歷法、

機械制造、音樂等領域，并且是一位天文學家。

祖沖之在數學方面的主要成就是關于圓周率的計算，他算出的圓

周率為3.1415926<n<3.1415927,這一結果的重要意義在于指出誤

差的范圍，是當時世界最杰出的成就。祖沖之確定了兩個形式的n值，

約率355/173（心3.1415926）密率22/7（心3.14）,這兩個數都是n的

漸近分數。

10、祖咂

祖隨，祖沖之之子，同其父祖沖之一起圓滿解決了球面積的計算

問題，得到正確的體積公式。現行教材中著名的“祖咂原理二在公

元五世紀可謂祖咂對世界杰出的貢獻。

11、楊輝

楊輝，中國南宋時期杰出的數學家和數學教育家。在13世紀中

葉活動于蘇杭一帶，其著作甚多。

他著名的數學書共五種二十一卷。著有《詳解九章算法》十二卷

（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通變本末》三卷（1274

年）、《田擊比類乘除算法》二卷（1275年）、《續古摘奇算法》二卷

（1275年）。

楊輝的教學研究與教育工作的重點是在計算技術方面，他對籌算

乘除捷算法進行總結和發展，有的還編成了歌決，如九歸口決。他

在《續古摘奇算法》中介紹了各種形式的“縱橫圖”及有關的構造方法，

同時“垛積術”是楊輝綱沈括”隙積術“后，關于高階等差級數的研究。

楊輝在“幕類”中，將《九章算術》246個題目按解題方法由淺入深的

順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二表分、疊積、盈不足、

方程、勾股等九類。

他非常重視數學教育的普及和發展，在《算法通變本末》中，楊

輝為初學者制訂的“習算綱目”是中國數學教育史上的重要文獻。

12、趙爽

趙爽，三國時期東吳的數學家。曾注《周髀算經》，他所作的《周

髀算經注》中有一篇《勾股圓方圖注》全文五百余字，并附有云幅插

圖（已失傳），這篇注文簡練地總結了東漢時期勾股算術的重要成果，

最早給出并證明了有關勾股弦三邊及其和、差關系的二十多個命題，

他的證明主要是依據幾何圖形面積的換算關系。

趙爽還在《勾股圓方圖注》中推導出二次方程（其中a>0,A>0）

的求根公式

在《日高圖注》中利用幾何圖形面積關系，給出了“重差術”的證

明。（漢代天文學家測量太陽高、遠的方法稱為重差術）。

13、華羅庚

華羅庚，中國現代數學家。1910年11月12日生于江蘇省金壇縣。

1985年6月12日在日本東京逝世。華羅庚1924年初中畢業之后，

在上海中華職業學校學習不到一年，因家貧輟學，他刻苦自修數學，

1930年在《科學》上發表了關于代數方程式解法的文章，受到專家

重視，被邀到清華大學工作，開始了數論的研究，1934年成為中華

教育文化基金會研究員。1936年作為訪問學者去英國劍橋大學工作。

1938年回國，受聘為西南聯合大學教授。1946年應蘇聯普林斯頓高

等研究所邀請任研究員，并在普林斯頓大學執教。1948年始，他為

伊利諾伊大學教授。

1924年金壇中學初中畢業，后刻苦自學。1930年后在清華大學任教。

1936年赴英國劍橋大學訪問、學習。1938年回國后任西南聯合大學

教授。1946年赴美國，任普林斯頓數學研究所研究員、普林斯頓大

學和伊利諾斯大學教授，1950年回國。歷任清華大學教授，中國科

學院數學研究所、應用數學研究所所長、名譽所長，中國數學學會理

事長、名譽理事長，全國數學競賽委員會主任，美國國家科學院國外

院士，第三世界科學院院士，聯邦德國巴伐利亞科學院院士，中國科

學院物理學數學化學部副主任、副院長、主席團成員，中國科學技術

大學數學系主任、副校長，中國科協副主席，國務院學位委員會委員

等職。曾任一至六屆全國人大常務委員，六屆全國政協副主席。曾

被授予法國南錫大學、香港中文大學和美國伊利諾斯大學榮譽博士學

位。主要從事解析數論、矩陣幾何學、典型群、自守函數論、多復變

函數論、偏微分方程、高維數值積分等領域的研究與教授工作并取

得突出成就。40年代，解決了高斯完整三角和的估計這一歷史難題，

得到了最佳誤差階估計（此結果在數論中有著廣泛的應用）；對G.

H.哈代與J.E.李特爾伍德關于華林問題及E.賴特關于塔里問題

的結果作了重大的改進，至今仍是最佳紀錄。代數方面，證明了歷

史長久遺留的一維射影幾何的基本定埋；給出了體的正規子體一定包

含在它的中心之中這個結果的一個簡單而直接的證明，被稱為嘉當-

布饒爾-華定理。其專著《堆壘素數論》系統地總結、發展與改進了

哈代與李特爾伍德圓法、維諾格拉多夫三角和估計方法及他本人的

方法，發表40余年來其主要結果仍居世界領先地位，先后被譯為俄、

匈、日、德、英文出版，成為20世紀經典數論著作之一。其專著《多

個復變典型域上的調和分析》以精密的分析和矩陣技巧，結合群表示

論，具體給出了典型域的完整正交系，從而給出了柯西與泊松核的表

達式。這項工作在調和分析、復分析、微分方程等研究中有著廣泛深

入的影響，曾獲中國自然科學獎一等獎。倡導應用數學與計算機的

研制，曾出版《統籌方法平話》、《優選學》等多部著作并在中國推

廣應用。與王元教授合作在近代數論方法應用研究方面獲重要成果，

被稱為“華一王方法”。在發展數學教育和科學普及方面做出了重要

貢獻。發表研究論文200多篇，并有專著和科普性著作數十種。

14、陳景潤

數學家，中國科學院院士。1933年5月22日生于福建福州。1953

年畢業于廈門大學教學系。1