《數理金融學》題庫(含)答案

第一章練習及參考答案

1.假設1期有兩個概率相等的狀態a和bo1期的兩個可能狀態的狀

態價格分別為a和b。考慮一個參與者，他的稟賦為(eoga&b)。其效用函數

是對數形式

1

U(Co；Cia；Gb)logCo2(PgGalogGb)

問：他的最優消費/組合選擇是什么？

解答：給定狀態價格和他的稟賦，他的總財富是we°aeab&b他的最優

化問題是

1

maxlogo.-(logAalogGb)

s-t."WGac1abclb)0

G,Ga-cib°

其一階條件為：

1/Co

1

y/Cla)

獷"6b

2bcibW

00acla-

0,a,b

iCo,i

給定效用函數的形式，當消費水平趨近于0時，邊際效用趨近于無窮。

因此，參與者選擇的最優消費在每一時期每一狀態都嚴格為正，即所

有狀態價格嚴格為正。在這種情況下，我們可以在一階條件中去掉這些約

束(以及對應的乘子)而直接求解最優。因此，iGO(iO,a,b)o對

于C我們立即得到如下解:

把c的解代人預算約束，我們可以得到的

最后，我們有

IW

cib

可以看出，參與者把一半財富用作現在的消費，把另外一半財富作為未來

的消費。某一狀態下的消費與對應的狀態價格負相關。狀態價格高的狀

態下的消費更昂貴。結果，參與者在這些狀態下選擇較低的消費。

2.考慮一個經濟，在1期有兩個概率相等的狀態a和b。經濟的參

與者有1和2,他們具有的稟賦分別為：

0200e：100,e?:0

0'50

兩個參與者都具有如卜?形式的對數效用函數:

U(c)logcg-(logcalogCD)

在市場上存在一組完全的狀態或有證券可以交易。因為有兩個狀態，因而

只有兩個狀態或有證券。試分析這個經濟的均衡。

解答：考慮一個經濟，在1期有兩個概率相等的狀態a和b。經濟中

有參與者1和2,他僅具有的稟賦分別為:

200

e:100e.:050

兩個參與者都具有如卜?形式的對數效用函數：

1

U(c)logc-(logCalogCb)

在市場上存在一組完全的狀態或有證券可以交易。因為有兩個狀態，因而

只有兩個狀態或有證券。

現在我們開始分析這個經濟的均衡。從給定交易證券價格下參與者的

最優化問題開始。記[a；臼為狀態價格(向量)，即兩個狀態或有

證券的價格。我們可以定義每個參與者的財富為w$Te,這里$[1；]；而

e是他的稟賦。這時，最優化問題變成了：

1logcb)

maxlogco-(logCac2

S.t.℃a，a

11Wk

qo

4a

這里w-i100而W2200a50bo

該問題的解為

均衡由市場出清決定。有兩個交易證券，每一市場都應該出清:

200

50

1/4和

均衡價格的解為參與者2的財富為

W2200(1/4)(50)(1)100因此，參與者2和參與者1的財富相同,

均衡配置是G盡管他們的稟賦非常不同c[50;[100;25]]o這并不奇

怪。給定他們具有相同的偏好和財富，他們的消費計劃也應該相同。

現在讓我們來看看均衡配置。對于每個參與者，他的相對邊際效

用為

1

..22，W)Wk/2

wuk?k,0UCk0

(1/Ck.O)2Ck.w2Wk/(4w)

k(Ck)1/4,a

w

1,b

這對于兩個參與者來說是一樣的

3.一個投資者有本金x,可以投資的錢數在0到x之間，如果投資了

V，則會以概率P獲益y，以ip損失y。如果pi2,投資者的效用函數是

對數的，則投資者應該投入多少？

解：設投入金額是ax,0a1,投資者的投資結果記為X,它等于xax

Plog((1a)x)(1p)log((1a)x)

或xax,出現這兩種結果的概率分別是p,1p,它們的期望效用為：

a)(1P)log(x)plog(1a)plog(x)(1p)log(1log(x)plog(1a)(1p)log(1a)?

為求出a的最優值，對上式關于a求導

Plog(la)(1p)log(1a)

d

da(plog(1a)(1p)log(1a))

得：

a2p1o

pap1

所以投資者每次都應投資他現有財富的100(2p1)%o例如，如果

令上式等于0,得：

獲利的概率P0.6,則投資者應該投資全部財富的20%。如果P0.7,

他應該投資40%。(當P1/2時，容易證明最優投資數量為0o)

第二章練習及參考答案

1.設當前無風險利率為6%,市場回報率的均值和標準差分別為

0.10,0.20o如果給定股票的回報率與市場回報率的協方差為0.05,

求該股票回報率的期望值。

0.05

。20)21.25,

解:由于

所以

n0.061.25(0.100.0610.11。

即股票的期望回報率為11%。

第三章練習及參考答案

L考慮用100的資本投資兩種證券，它們回報率的均值和標準

差分別為：

n0.15,v0.20；「20.18,V20.25。

若兩個回報率的相關系數04投資者的效用函數為：

0.005X

U(x)e

求這兩個證券的最優組合

解：設W1y,W2100y,由式

n

E[W]wWin

得：Var(W稠ay)2(0.0625)2y(100y)(0.02)

E[W]0.15y0.18(100y)1180.03yo

又由于c(1,2)ViV2由式

Var(W)WWC(i,j)

i

得：

(100

i1

2

0.1425y16.5y625。

所以我們應該選擇y,使下式的值達到最大：

1180.03y0.005(0.1425y216.5y625)/2

或等價的，最大化

0.01125y0.0007125y/2o

簡單計算后得知y取下值時，上式達到最大：

V衛咤伍789o

0.0007125

即，當投資15.789于證券1,投資84.211于證券2時，期末財富的

期望效用達到最大。將y15.789代入前面等式，得E[W]117.526,

Var(W)400.006,最大期望效用等于：

1exp{0.005(117.5260.005(400.006)/2)}0.4416。

這可以和下述投資組合的效用比較一下：將100全部投資到證券1時，期

望效用為0.3904；當100全部投資到證券2時，期望效用為0.4413c

2.給投資人一個機會，他可以在6年之后取得20000美元。假如

他能取得1096的回報，那么現在他最多愿意付多少錢來取得這個機會？

解答：為了回答這一問題，必須以10%的折現率計算6年之后收到的

20000美元的現值。F6為20000,i為10%,即口0.1,n為6年。PVIFWQ

為0.564o

1美元的現值(PVIF)

1

P$20000----------------6$20000(PVIF106)

10.1

$20000(0.564)$11280

既然這兩個值在考慮了時間因素后是等價的，那么這意味著對能夠

從她的投資中取得10%的回報來說，選擇現在收到11280美元還是選擇6

年之后得到20000美元并沒什么不同。換句話說，投資人可以在今天以

10%的利率投資11280美元，那么在6年之后就會得到20000美元。

3.計算利率為4%時，750美元6個月的單利終值是多少？

解答：其中，P750,r0.04,且于是

IPrt750(0.04)2$15

并且

SPI75015$765

4.如果你借款1000美元，并以年利率8%按每季度計息1次的復利形

式支付利息，借期1年，那么1年后你欠了多少錢？

解：每季度計息一次的8%的年復合利率，等價于每個季度以2%的單

利利率支付一次利息，而每個季度索要的利息，不僅要考慮原有的本金,

而且還要加上累計到該時刻的利息。因此，一個季度后你的欠款為：

1000(1+0.02);

兩個季度后你的欠款為：

2

1000(1+0.02)(1+0.02)1000(1+0.02)：

三個季度后你的欠款為：

1000(1+0.02)2(10.02)1000(1+0.02)3;

四個季度后你的欠款為：

34

1000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)1082.40o

5.許多信用卡公司均是按每月計息1次的18%的年復合利率索要利

息的。如果在1年的年初支付金額為P,而在這1年中并沒有發生支付,

那么在這1年的年末欠款將是什么？

解：這樣的復合利率相當于每個月以月利率1812%1.5%支付利

息，而累計的利息將加到下一個月所欠的本金中。因此，一年后你的欠款

為：

P(1+0.015)121.1956Po

6.如果一家銀行所提供的利息是以名義利率5%連續地計算利息，

那么每年的有效利率應該是多少？

解：有效利率應為：

0.05

reff-e°0510.05127o

即有效利率是每年5.127%o

7.一家公司在未來的5年中需要一種特定型號的機器。這家公

司當前有1臺這種機筆，價值6000美元，未來3年內每年折舊2000美元，

在第三年年末報廢。該機器開始使用后第一年運轉費用在該年

年初值為9000美元，之后在此基礎上每年增加2000美元。在每年的年初

可以按固定價格22000美元購買1臺新機器。1臺新機器的壽命是6年,

在最初使用的兩年中每年折舊3000美元，這之后每年折舊4000美元。新

機器在第一年的運轉成本是6000美元，在隨后的每年中將增加1000美

元。如果利率為10%,公司應在何時購買新機器？

解：這家公司可以在第1、2、3、4年的年初購買新機器，其對應的

六年現金流如下(以1000美元為單位)：

在第一年的年初購買新機器：22,7,8,9,10,-4;

在第二年的年初購買新機器：9,24,7,8,9,-8;

在第三年的年初購買新機器：9,11,26,7,8,-12;

在第四年的年初購買新機器：9,11,13,28,7,-16o

為了驗證上面所列現金流的正確性，假設公司將在第三年的年初購買

新機器，則公司在第一年的成本為舊機器9000美元的運轉成本；在第二

年的成本為舊機器11000的運轉成本；在第三年的成本為新機器22000的

購買成本，加上6000美元的運轉成本，再減去從替換機器中得到的2000

美元；在第四年的成本是7000美元的運轉成本；在第五年的成本是8000

美元的運轉成本；在第六年的成本是T2000美元，它是已經使用了三年

的機器價值的負值。其他的三個現金流序列可以通過相似的方法推得。

對于年利率r=0.10,第一個現金流序列的現值為

22+Z二二J.壬46.083o

1.1(1.1)2(1.1)3(1.1)4(1.1)5

其他現金流的現值可用同樣的方法計算出。這四個現金流的現值分別

是

46.083,43,794,43,760,45.627.

因此，公司應在兩年后購買新機器。

8.一個捫算在20年后退休的人，決定在今后240個月的每月月初

在銀行存款A,使得他可以在隨后的360個月的每月月初提款1000美元。

假設每月計息1次的名義年利率為6%,那么A的值應該為多少？

解：「=0.0612=0.005是月利率。令一，他所有存款的現值為

1r

240

22391

AAALAA..............................................o

1

類似地，如果W是在隨后的360個月中每月的提款額，那么所有的提

款額的現值為

360

2402415992401

WWIW。

1

這樣，如果滿足以下等式，他就可以實現所有的提款(同時他的賬戶

中也不再有任何錢)：

240360

"12401

AW-

對于W1000,1.1,005,可以得到

A360.99o

這就是說，在240個月中每月存款361美元，就可以使得他在隨后的

360個月中每月提取1000美元。

注在這個例子中，我們使用了以下的代數恒等式：

21b

1+b+bLbn--------

1b

為了證明這個等式，我們令

x=1+b+b2Lbn

注意到

x-仁b+b2Lbn

b(1+bLb)b(xnb")

因此，

(1-b)x1bn1,

這就證明了該等式。

利用相同的方法，或者令n趨向于無窮，可以證明當b1時有

1+b+b2L

9.終身年金給其持有者在未來每一年年末領取數額c款項的權

利。這就是說，對于每一個i12L,在第i年的年末要向持有者支付

Co如果利率為r,每年計息1次，那么這個現金流序列的現值是多

少？

解：該現金流可以被復制為初始時刻在銀行存入本金cr,并在

每一年的年末提取所得的利息(保留本金不動)，但是在初始階段存入任

何少于cr的金額都無法復制這個現金流，因此這個無限期現金流的現值

為cr。這個結論可以由下式推得：

CCC

pv=1+r(1r)2(1r)3

r1

第四章練習及參考答案

1.考慮3個資產A、B以及C。它們具有如下的風險特征：它們年收益率

的標準差為50%;值分別為0、L5以及-1.5。另外，市場年收益率的均

值為m12%,標準差為M20%,無風險利率為4%。

由CAPM,這三個資產的風險溢價是多少？

解答：首先，市場組合的風險溢價是rM*0.120.048%o我

們有

rArF(0)(0.08)0

rBrF(1.5)(0.08)12%rerP(1.5)(0.08)12%

盡管資產A有相對較高的波動率，但它全是剩余風險，因而沒有溢價。

它的期望收益將和無風險利率一樣，都是4%o資產B和C的

資產收益波動率有很大一部分來自市場風險。特別地，市場回歸的R2

都是(1.5)2(0.2)2/(0.5)20.36o然而，它們的溢價卻不相同。資產A有正

的12%的溢價，而資產B有負的12%的溢價。

如用收益的方差來度量，盡管三個資產有完全相同的總風險，但

是風險的構成是不一樣的。資產A的風險與市場風險完全無關。因此，它

沒有風險溢價。資產B和C都有很大的市場風險。但是，它們的風險溢價

不同。資產B的值為正，因而它的收益與市場收益正相關。給定參與者

都持有市場組合，資產B的風險是不受歡迎的。因此，它有正的溢價。資

產C的值為負，即它的收益與市場收益負相關。也就是說，當市場表現好

時它的收益較低，但市場表現差時它的收益反而較高。對于一個持有市場

組合的參與者來說，資產C實際上提供了

一個保險。因此，它有負的溢價。也就是說，參與者愿意為了持有它而付

出一個溢價。事實上，資產C的期望收益是7c4%12%8%,

它是負的。也就是說，排除了不確定性，資產C得到的平均回報是每年

8%,而市場中的無風險收益率是4%o如果理解了資產C提供的實質上是

對市場風險的一個保險，那么這個結論就不足為奇了。

2.計算在超常

增長時期末股票的價格。如果股票第3年的股利

為:

D3DI(1g)$3.125(10.05)$3.28

其中g5%,試求3年期末股票的價格。

解答：股利的現值

DiD2$2.50$3.125

122

(1r)(1r)(10.12)(10.12)

$2.05(PVIFI2%,J$3.125(PVIFI2%.2)

$2.50(1.25)$3.125(0.797)

$2.23$2.49$4.72

因為股票的價格為：

D3$3.28

3

F2$46.86

rg0.120.05

所以股票價格的現值

$46.86(PVIFI2%,2)$46.86(0.797)$37.35

將得到的這兩個現值相加得到普通股的價值。

Fo$4.72$37.35$42.07

3.(股票定價)企業1在時期11將發行100股股票，該種股票在時期

t2的價值為隨機變量切(2)。企業的資金都是通過發行這種股票而籌集的，

以至于股票持有者有資格獲得完全的收益流。最后給出的有關數據是

1000,P-

y(2)-Cov(XFX2)0.045,、var(XM)0.3.

800,P-

2

r0.10,E(XM)0.20

0.200.10

0.10~~oA0.0450.15$o

即普通股所需的收益率為15%,這就意味著市場將以15%的貼

試用資本資產基本定價方程求出該股票的合理價值。

現EM(2)]，以確定股票在時期

1的市場價格，于是我們有

解：應用證券市場線性方程

E(X-)r-44v4^rcov(Xi,XM)

11

E[M(2)]—1000—800900$o

22

以15%貼現,V；1)900/1.15$,因有100股，故每股價值為7?83$

第五章練習及參考答案

1.二項分布的期望值。一個三期的二叉樹，股價的參數為S：20,

u1.1,d0.9,q0.8,如果期權在到期日的收益為：

(S321)

求其期望值。

解答:S3的可能值為26.62、21.78、17.82、14.58,分別對應于X取

值3、2、1、0,將這些值代人公式(5—18)求得概率為0.512、0.374、0.096、

0.008.到期時期權的收益分別為5.62.0.78,0、0,因此期

望收益是

5.62(0.512)0.78(0.374)03.17(美元)

2.考慮一個普通股，在開始的兩年內其股利預期增長率為25%,隨后,

預期增長率下降到5機上期支付股利為2美元。投資者希望取得12%的回

報。計算該股票的價值。

解答：考慮一個普通股，在開始的兩年內其股利預期增長率為

25%,隨后，預期增長率下降到5%。上期支付股利為2美元。投資者希望

取得12%的回報。為了計算該股票的價值，可采用如下步驟：第一步，計

算在超常增長時期的股利，并求出其現值。假定D。為2

美元，g為15%,r為12%:

DiDo(1g)$2(10.25)$2.50

2

D2D-(1g)$2(1.563)$3.125

或D?Di(1g)$2.50(1.25)$3.125

股利的現值

DiD2$2.50$3.125

(1r)1(1r)2(10.12)(10.12)2

$2.05(PVIFI2%,I)$3.125(PVIFI2%,2)

$2.50(1.25)$3.125(0.797)

$2.23$2.49$4.72

第二步，計算在超常增長時期末股票的價格。第三年的股利為：

D3DI(1g)$3.125(10.05)$3.28

其中，g5%

因此股票的價格為:

D3$3.28$46.86

rg0.120.05

股票價格的現值

$46.86(PVIF.2%,2)$46.86(0.797)$37.35

第三步，將從步驟1和步驟2得到的這兩個現值相加得到普通股的價值。

Fo$4,72$37.35$42.07

3.股票現在的價值是50元。一年后，它的價值可能是55元或40

元。一年期利率是4機假設希望計算兩種看漲期權的價格，一種的執行

價為48元，另?種的執行價為53元。我們也希望?執行價為45元的看

漲期權。問，應該如何用

rt

V.e[PU(1P)D]e"EP|Vi]

求出這三個價格？其中的P、U和D如圖

I

解答：股票現在的價值為50美元。一年后，它的價值可能是55美

元或40美元。一年期利率為4%。假設我們希望計算兩種看漲期權的價格,

一種執行價格為48美元，另一種執行價為53美元。我們也希望為一種執

行價為45美元的看漲(書中是“漲”字)期權定價。

第1步：從股票二叉圖得到q

由于55

1.045055q40(1q)q

從

5255q40(1q)

我們得到

1255q40q15q

40

12

1508

所以

第2步：對衍生產品價值U和D求平均。

1.如果看漲期權執行價為48美元，那么U7以及D0,

』、—B5.3（美元）

rmTn7Mq）m1.04

2.如果看漲期權執行價為53美元，那么U2,看漲期權

的價格為：

116

仙心820）1.04B1.54；美元）

3.0以及D5,

看跌期權的價格

〔^00.25）^BO.96（美元）

看漲期權的價格為：

4.我們考慮這樣的期權定價問題：股票的初始價格是100并且假設一

段時間后股票的價格只可能是200或者50。如果在0時刻我們能以每股

C的價格買入一個期權，這個期權使我們在時刻1能以每

如果看跌期權執行價為45美元，那么U

股150的價格購買股票，那么當C的值為多少時穩贏的賭博不可能存在？

解：在本章的背景下，試驗的結果是時刻1時的股票價格，因此，有

兩種可能的結果。與此同時也存在兩種不同的賭博：買(或者賣)股票和

買(或者賣)期權。由套利定理我們知道，如果在結果集上存在概率(P,1P)

使得這兩種賭博的期望收益現值為零，那么就不會有穩贏的情況出現。

購買一股該股票收益的現值為：

F200(1r)1100如果在時刻1時的價格是

收益=丹

200,I

50(1r)1100如果在時刻1時的價格

是50。

因此，若在時刻1時股票價格是200的概率為p,那么

E［收益］p〃100(1p*100

15050

1r1r10°。

1r1r

令這個式子等于零，我們就得到：

12r

3

由此可見，若賭博為購買股票，那么使得該賭博的期望收益是零的概率

向量(P,1P)只可能是P(12r)/3

此外，購買一個期權收益的現值為：

「50(1r)1C如果在時刻1時的價格是200,

收益="

1C如果在時刻1時的價格是

50o

12r50

E［收益］3Tr

根據套利定理，我們就得到了不可能存在穩嬴策略時C的唯一值是：

因此，當p(12r)/3時、購買一個期權的期望收益是：

12r50

3

即，

5。100r

3(1r)

5.假設一個證券現在的售價是30,名義利率是8%(單位時間為1年),

這種證券的波動率是0.20。求一個3個月后到期且執行價為34的買入期

權的無套利價格。

解：本題中的參數是：

10.25,r0.08,0.20,K34,S(0)30,

所以我們就有

0.020.005log(34/30)ioo16

(0.2)(0.5).o

由此得到C30(1.0016)34e002(1.1016)

30(0.15827)34(0.9802)(0.13532)

0.2383o

這個期權合適的價格就應該是24美分

6.函數f(x)稱為是凸的是指，如果對所有的x和y,以及01,

都有

f(x(1)y)f(x)(1)f(y)

函數凸性的幾何解釋是，f(x)(1)f(y)是f(x)和f(y)連線上的點，

它給f(x)的權重與在x和y的連線上的點x(1?所給予點x的權重是相同

的。因此，凸性的幾何解釋又是，連接曲線f(x)上任意兩點的直線總在這

段曲線之上。

試證明下面的結論。

命題令C(K,t)是以某種特定證券為標的買入期權的價格，這

個期權的敲定價為K,到期日為￡

(a)對于固定的到期日t,C(K,t)關于K是凸的非增函數。

(b)對于任意的SO,有C(K,t)C(Ks,t)So

解：凸函數的幾何意義如下圖所示

?f(y)f(x(1)y)

xx(1)y

凸函數的幾何意義

如果用S⑴來表示標的證券在t時刻的價格，那么在t時刻買入期

權的回報是：

rS(t)K若S(t)K,

期權的回報:

Io若S(t)Ko

這就是說，

期權的回報=(S(1)K),

其中，x(稱為x的正部)定義為：當xO時取值x,當xO時取值0。對于固

定的S(t),從回報函數(S(t)K)的圖像，它是關于K的凸函數。

S(t)

函數(S(t)K)的圖像

為了證明C(K,t)是關于K的凸函數，假設

KKi(1)松，01o

現在考慮以下兩個投資：

1)購買1(K,t)買入期權。

2)購買(Ki,t)買入期權和(1)(K2,t)買入期權。

因為投資1)在t時刻的回報為(S(t)K),而投資2)在t時刻的回報為

(S(t)Ki)(1)(S(t)心),由函數(S(t)K)的凸性可知，投資2)的回報至少應該

和投資1)的回報一樣大。因此，由廣義一價律，要么投資2)的成本至少

和投資1)的成本相等，要么存在套利。這就是說，要么

C(K,t)C(Ki,t)(1)C(K2,t)

要么存在套利。這證明了函數C(K,t)的凸性。對于C(K,t)關于K的非增函數

的證明，作為練習留給讀者。

要證明b)部分，應該注意到，如果C(K.t)C(Ks,t)s,那么通過賣出一

個t時刻到期、敲定價為K的買入期權，并買入一個t時刻到期、敲定價

為Ks的買入期權，就可以得到套利機會。因為敲定價為K的期權的回報

比敲定價為Ks的期權的回報，最多多出s,因此從這個投資組合總會得

到正的利潤。

第六章練習及答案

1.計算與每月按復利計息的5%的利率等價的有效利率r0

解答：在?年中，有效利率為「的1期終值為1r,按5%的利率每

月計息的復利終值為(10.05/12)12o令

1r(10.05/12)

得出

r(10.05/12)121

1.0511619010.05116190

或5.116%

2.假設我們對債券市場建立模型.選擇a0.005和b0.03,我們

知道今天的利率是M.052.那么5年和10年的零息券的今日價格分

別是多少？這些債券的當前收益率是多少？

解答：價格只受到到期日的影響，我們取Tt5和Tt10。5

遨738瞠就是說，一張耐帕為1000美元的5

50.05226

0.30375

所以P(t,t

年債券：

的價格應該是738美元.它的當前收益率是0.30375

年債券今天

率是6.07%.

/5=0.0607,持有至到期日的年收益

10年債券：

100.0520.00251020.000151030.62

所以P(t,t10)A0620.538.就是說,一張面值為1000美元的10年債券今

天的價格應該是538美元.它的當前收益率是0.62/10,持有至到期目的

年收益率是6.2%.

3.計算等價于5%的有效利率的按復利每季計息的名義利率J

解答：在一年中，按j的利率每季計息的復利終值為(1j/4)4,

并且有效利率為5%的1其終值為1.05。令

(1j/4)41.05

得到

1

1j/4(1.05)4

于是

1

j4[(1.05P1]

4(0.01227223)0.04908892

或4.909%

4.已知

r(s)FT2

求出收益曲線和現值函數。

解：改寫r(s)為

..A「2

「⑸工

則可以給出以下的收益曲線

r(t)

互iog(1t)o

因此，現值函數為

P(t)

exp{at}exp{log((l/")}

exp{at}(1t)r1r2

5.(債券定價)有一個面值為100元的債券，約定到期付息8%,假定在

債券有效期內有709伯勺時間可以贖回本金并獲得利息，30%的時間不能還

本付息，但將制伏0元的承保金，即可將債券在時期2的價值表示為

108,P0.70

50,P0.30

設COV(B,XM)7,其它數據如上題，試確定債券在時期1的合理價值

E(Pe)COV(Pe,XQ

1rp

1的合理價值由此結果得債券在時期

E(B)[E(XM)r2(x,,)COV(B,XM)

1r

PB

90.60(0.200.1C)0.097

1.10

90.607.7882.82

75.29$o

1.101.10

市場所需的期望收益率為

解由證券市場線性方程可得確定等價定價公式

90.6075.2915.3120.33%

E(XB)75.2975.29

第七章練習及參考答案

1.某公司在時期1的市場價值為900元。現有一項目，其在時

期2的期望收益為

E(V)1000,E(XM)0.15,r0.05

公司現在考慮一個新的投資項目，其單位成本為60元。在時期2的

現金收益流為E(F)130,COV(F,XM)J2(XM)250,試回答，該公司管

理者應該怎樣考慮這個項目？

解由確定等價定價公式

E(Vi)E-；—；-)-4COVMXM)(XM)

得

900

1.05

求解上式得

COV(Vi,

550$o

XM)

又

cov(ViFI.XM)cov(Vi,Xw)COV(R,XM),

故

CO理f腫)泳1250耽$

T7

1r

假如投資新項目，那么公司在時期1的總收入(不考慮投資成本)是

E(\%F%10001301130,

廠(VF)對斗，一(廠(丫)r)E(ViFi)2

(E(XM)r)

(XM)

11308000.101050

1000$o

1.051.05