PAGEPAGE1專題15平面對量概念及線性運算、平面對量基本定理考綱要求：1.了解向量的實際背景，理解平面對量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.駕馭向量加法、減法的運算，理解其幾何意義.3.駕馭向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.4.了解向量線性運算的性質及其幾何意義．二、概念駕馭及解題上的留意點：1.平面對量的線性運算方法①不含圖形的狀況：可干脆運用相應運算法則求解.②含圖形的狀況：將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質，把未知向量用已知向量表示出來求解.2.利用平面對量的線性運算求參數的一般思路①沒有圖形的精確作出圖形，確定每一個點的位置.②利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉化，轉化為要求的向量形式.③比較、視察可知所求.3.選取基向量，向量之間的相互表示，重視平行四邊形法則.4.|a＋b|與|a－b|的幾何意義：以向量a，b為邊所作平行四邊形的兩條對角線的長度.共線向量定理的三個應用1.證明向量共線：對于向量a，b，若存在實數λ，使a＝λb，則a與b共線.2.證明三點共線：若存在實數λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ\o(AC,\s\up6(→))，則A，B，C三點共線.3.求參數的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程組，求參數的值.三、高考考題題例分析：例1.(2015·全國卷Ⅰ)設D為△ABC所在平面內一點，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，則()A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))【答案】A【解析】：(1)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選A．例2.(2015高考新課標1)設為所在平面內一點，則（）（A）(B)（C）(D)【答案】A【解析】：由題知=，故選A.例3.(2015湖南)已知點，，在圓上運動，且，若點的坐標為，則的最大值為（）A.6B.7C.8D.9【答案】B.例4.(2015高考北京)在中，點，滿意，．若，則 ； ．【答案】【解析】:特別化，不妨設，利用坐標法，以A為原點，AB為軸，為軸，建立直角坐標系，，，則，.例5.(2015江蘇高考)已知向量a=，b=,若ma+nb=(),則的值為______.【答案】【解析】:由題意得：例6．(2015高考新課標2)設向量，不平行，向量與平行，則實數_________．【答案】【解析】:因為向量與平行，所以，則所以例7.（2024全國卷I）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則=（）A．﹣ B．﹣C．+ D．+【答案】A．例8.（2024全國卷III）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），則λ=．【答案】例9.（2024天津卷）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若點E為邊CD上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．3【答案】【解析】：如圖所示，以D為原點，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，過點B做BN⊥x軸，過點B做BM⊥y軸，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，∴AN=ABcos60°=，BN=ABsin60°=，∴DN=1+=，∴BM=，∴CM=MBtan30°=，∴DC=DM+MC=，∴A（1，0），B（，），C（0，），平面對量概念及線性運算練習選擇題：1．D是△ABC的邊AB的中點，則向量eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) B．－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) D．eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))【答案】A【解析】：如圖，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)).2．給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是隨意的；②若a，b都是單位向量，則a＝b；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))相等．則全部正確命題的序號是()A．① B．③C．①③ D．①②【答案】A3.設a0為單位向量，下述命題中：①若a為平面內的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個數是()A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】：向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不肯定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種狀況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數是3.4.設a是非零向量，λ是非零實數，則下列結論正確的是()A．a與－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|C．a與λ2a的方向相同 D．|－λa|≥|λ|a【答案】C【解析】：A中，當λ＜0時，a與－λa方向相同，故A不正確；B中，當－1＜λ＜1時，|－λa|＜|a|，故B不正確；C中，因為λ2＞0，所以a與λ2a方向相同，故C正確；D中，向量不能比較大小，故D不正確，故選C．5.給出下列四個命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號是()A．②③B．①②C．③④D．②④【答案】A③正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c.④不正確．當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．綜上所述，正確命題的序號是②③.故選A．6．已知eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則下列等式中成立的是()A．c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)aB．c＝2b－aC．c＝2a－bD．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b【答案】A【解析】：因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a，故選A．7.設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內的隨意一點，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A．eq\o(OM,\s\up6(→)) B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→)) D．4eq\o(OM,\s\up6(→))【答案】D【解析】：因為M是平行四邊形ABCD對角線AC，BD的交點，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝4eq\o(OM,\s\up6(→)).8．(2024·全國卷Ⅱ)設非零向量a，b滿意|a＋b|＝|a－b|，則()A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|＞|b|【答案】A9．如圖所示，矩形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ為實數)，則λ2＋μ2＝()A．eq\f(5,8)B．eq\f(1,4)C．1D．eq\f(5,16)【答案】A【解析】：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，故λ2＋μ2＝eq\f(5,8)，故選A．10．在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up6(→))，若P是直線BN上的一點，且滿意eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實數m的值為()A．－4 B．－1C．1 D．4【答案】B11.已知向量i，j不共線，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝i＋mj，eq\o(AD,\s\up6(→))＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三點共線，則實數m，n應滿意的條件是()A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1C．mn＝1 D．mn＝－1【答案】C【解析】：因為A，B，D三點共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→))，存在非零實數λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，即i＋mj＝λ(ni＋j)，所以(1－λn)i＋(m－λ)j＝0，又因為i與j不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λn＝0，,m－λ＝0，))則mn＝1，故選C．12．設O在△ABC的內部，D為AB的中點，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為()A．3 B．4C．5 D．6【答案】B【解析】：如圖，∵D為AB的中點，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴O為CD的中點，又∵D為AB中點，∴S△AOC＝eq\f(1,2)S△ADC＝eq\f(1,4)S△ABC，則eq\f(S△ABC,S△AOC)＝4.二、填空題13．已知O為四邊形ABCD所在平面內一點，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))滿意等式eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形態為________．【答案】平行四邊形【解析】：由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，所以四邊形ABCD為平行四邊形．14．(2015·全國卷Ⅱ)設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數λ＝________.【答案】12【解析】：∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))15．在△ABC中，點M，N滿意eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→)).若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則x＝________；y＝________.【答案】eq\f(1,2)－eq\f(1,6)16．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于點H，M為AH的中點．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________.【答案】eq\f(2,3)【解析】：因為AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.因為BC＝3，所以BH＝eq\f(1,3)BC．因為點M為AH的中點，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BH,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,6)，所以λ＋μ＝eq\f(2,3).三、解答題17．在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).【答案】eq\o(AD,\s\up6(→))eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.18．設e1，e2是兩個不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2.(1)求證：A，B，D三點共線；(2)若eq\o(BF,\s\up6(→))＝3e1－ke2，且B，D，F三點共線，求k的值．【解析】(